☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)朱月鳳

得益于筆者所在學(xué)校是李庾南實(shí)驗(yàn)學(xué)校，經(jīng)常參加實(shí)驗(yàn)學(xué)校一些教學(xué)觀摩活動，有機(jī)會近距離接觸專家教師李庾南老師，特別是觀摩學(xué)習(xí)李老師的課堂，非常享受“行云流水”般的教學(xué)節(jié)奏，李老師將“有規(guī)則的自由課堂”演繹得令我們嘆為觀止.本文整理近期觀摩學(xué)習(xí)李老師一節(jié)“乘法公式”隨堂課的心得體會，與同行分享交流.

一、課例片段概述

教學(xué)活動（一）重點(diǎn)研究公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

教學(xué)片段1：從計(jì)算（x＋3）（x-4）開始.

生1：原式=x2＋3x-4x-12=x2-x-12.

師：（指著第二步）我能不能把這一步再簡化一下？

（生1有點(diǎn)茫然）

師：這兩項(xiàng)是什么項(xiàng)？

生1：同類項(xiàng).

師：我們怎么合并同類項(xiàng)？

生1：系數(shù)相加.

師：它們的系數(shù)是多少呢？

生1：一個(gè)是3，一個(gè)是-4.

師：-12是怎么得來的呢？

生：3和-4的積.

師：好，現(xiàn)在可整理得（x+3）（x-4）=x2+［3+（-4）］x+［3×（-4）］=x2-x-12.

師：我們來看這個(gè)式子，是二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式，而且這兩個(gè)二項(xiàng)式有共同點(diǎn)，你們覺得共同點(diǎn)在哪里？

生2：有相同字母.

師：對，都含相同的字母，（板書）而且這個(gè)相同字母的系數(shù)都是幾？

眾生：1.

師：這樣的一次二項(xiàng)式，既然是一次二項(xiàng)，那另一項(xiàng)肯定是常數(shù)吧，我們很快就能運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則來計(jì)算，二次項(xiàng)的系數(shù)、一次項(xiàng)的系數(shù)，還有常數(shù)項(xiàng)，分別是怎么得來的？

生3：二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是兩個(gè)常數(shù)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)常數(shù)的積.

師：（x-1）（x-5），你們能不能很快說出來呢？

生3：x2-6x+5.

師：你能說說具體的過程嗎？

生3：-6是-1與-5的和，5是-1與-5的積.

師：和是什么？

生3：和是一次項(xiàng)的系數(shù)，積是常數(shù)項(xiàng)的積.

師：這種類型是什么樣的類型嗎？

生4：一次二項(xiàng)式，所含字母相同，而且一次項(xiàng)的系數(shù)為1.

師：這種多項(xiàng)式是不是特殊形式？特殊在哪兒呢？得到的結(jié)果又有什么特征？

生：結(jié)果是二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)的系數(shù)是1.

師：我們將這種特殊形式的乘法運(yùn)算稱為乘法公式.我們以前用數(shù)a、b表示一個(gè)公式，那我們今天學(xué)習(xí)的這個(gè)能不能也用一個(gè)公式表示呢？

生4：感覺有困難.

生5：因?yàn)槭且粋€(gè)一次二項(xiàng)式，所以第一項(xiàng)不是一個(gè)數(shù)，所以我們不能用a表示，這里我們可用字母x表示，但是第二項(xiàng)是一個(gè)數(shù)，所以我們用a表示.它的結(jié)果就是一個(gè)二次三項(xiàng)式：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.

師：這個(gè)依據(jù)是什么？

生5：多項(xiàng)式的乘法法則.

教學(xué)片段2：對新得出的乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab進(jìn)行運(yùn)用.

師：每個(gè)人舉一個(gè)例子，用這個(gè)公式進(jìn)行運(yùn)算.在這個(gè)公式中，x一定就是一個(gè)字母嗎？（安排學(xué)生獨(dú)立思考）

師：還可以表示什么？

生6：多項(xiàng)式，也可以表示一個(gè)復(fù)雜的單項(xiàng)式，還可以表示一個(gè)具體的數(shù).

師：哪位同學(xué)能出一道可以利用這個(gè)公式解的題？

生6：（xy2-6）（xy2+2）.

師：好，你說說公式里的x是哪個(gè)，公式中的a是多少，b又是多少.

生6：x是xy2，a是-6，b是2.

師：你請一個(gè)同學(xué)回答這個(gè)問題.

生7：（xy2-6）（xy2+2）=x2y4-4xy2-12.

師：對不對？

生6：對！

師：你認(rèn)為他是對的，你怎么解釋他是對的？

生6：運(yùn)用今天學(xué)的方法，第一項(xiàng)是x2y4，第二項(xiàng)的系數(shù)是-6與2的和，第三項(xiàng)是-6與2的積.

師：他是懂的，但是沒有用今天學(xué)的方法講清楚，大家想一下，它的積是關(guān)于哪個(gè)二次三項(xiàng)式的？

眾生：xy2.

教學(xué)活動（二）變式研究，生成其他乘法公式

教學(xué)片段3：學(xué)生舉例生成其他乘法公式.

師：你再舉個(gè)例子.

生8：［（a+b）2-3］［（a+b）2+3］.

師：這個(gè)里面的x是哪一個(gè)？

生8：（a+b）2.

師：現(xiàn)在看來是二次二項(xiàng)式，但是我們將（a+b）2作為一個(gè)整體來看，不就是關(guān)于（a+b）2的一個(gè)一次二項(xiàng)式嗎？也請一個(gè)同學(xué)回答.

生9：a加b括號的四次方減9.

師：9怎么來的？這個(gè)9是一次項(xiàng)還是常數(shù)項(xiàng)？

生9：常數(shù)項(xiàng).

師：你怎么少了一次項(xiàng)呢？

生9：-3加＋3等于0.

師：哦，也就是a加b等于0，所以一次項(xiàng)就變成0了，到了這里，現(xiàn)在好不好算？

（眾生茫然）

師：現(xiàn)在有一個(gè)四次方，怎么算呢？

（眾生有點(diǎn)兒茫然）

師：如果能先算出（a+b）2，然后進(jìn)行平方就好了.要解決這個(gè)問題，現(xiàn)在要先學(xué)（a+b）2，能夠很快說出它的結(jié)果嗎？

生10：［（a+b）2］2=［a2+2ab+b2］2.

師：2ab從哪里來的？

生10：a乘b再乘2.

師：為什么？你怎么得到的？我們能不能用今天學(xué)的這個(gè)公式解決呢？

（小組討論，教師參與）

生10：（a+b）（a+b）=a2+（b+b）a+b2.（教師板書）

師：這是關(guān)于誰的一次二項(xiàng)式？

生10：關(guān)于a的一次二項(xiàng)式.

師：很好，這個(gè)等式可簡化為一個(gè)乘法公式（a+b）·（a+b）=a2+2ab+b2.這也是以后經(jīng)常使用的完全平方公式.

說明：限于篇幅，只概述以上一些教學(xué)片段.事實(shí)上，在該課后續(xù)教學(xué)進(jìn)程中，師生在對話互動中還得出了平方差公式.但是沒有進(jìn)行例題、習(xí)題訓(xùn)練，因?yàn)檫@是一節(jié)乘法公式單元教學(xué)的起始課，李老師的教學(xué)時(shí)間主要花在引導(dǎo)學(xué)生自主生成、構(gòu)建幾種乘法公式的框架與關(guān)系上.

二、課例賞析

1.從“三個(gè)理解”的角度看乘法公式課例

中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會理事長章建躍博士提出的“三個(gè)理解”指理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，在全國有很大的影響，突出體現(xiàn)在數(shù)學(xué)課例的設(shè)計(jì)與研究上，我們見到《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）就刊發(fā)了大量踐行“三個(gè)理解”的課例.從“三個(gè)理解”的角度賞析李庾南老師的乘法公式課例，這節(jié)乘法公式課例是深刻理解數(shù)學(xué)的，因?yàn)橹亟M了教學(xué)內(nèi)容，并沒有拘泥于教材，而且把幾種乘法公式之間的邏輯聯(lián)系、一般與特殊的關(guān)系揭示得很充分；從理解教學(xué)來看，李老師駕馭課堂的功力是深厚的，收放自如，行云流水，恰到好處；從理解學(xué)情來看，李老師善于安排學(xué)生獨(dú)立自學(xué)，又恰時(shí)恰點(diǎn)開展議論與小組交流，對大組匯報(bào)展示能跟進(jìn)追問，對學(xué)情的理解精準(zhǔn)到位.所以，這也是一節(jié)體現(xiàn)了“三個(gè)理解”的示范課.

2.“學(xué)材再建構(gòu)”單元教學(xué)值得深入學(xué)習(xí)

近年來，“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法提出“三學(xué)”（學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成），對課堂教學(xué)有很好的指導(dǎo)作用.像上面乘法公式這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，就是典型的“學(xué)材再建構(gòu)”課例，因?yàn)榻滩纳喜]有這樣安排教學(xué)進(jìn)程，教材上列出的乘法公式就“兩種”（平方差公式、完全平方公式），而像李老師這樣把兩個(gè)二項(xiàng)式相乘作為“第一個(gè)乘法公式”引入的做法是值得學(xué)習(xí)的，從數(shù)學(xué)知識的前后一致、邏輯連貫來看，完全平方公式與平方差公式確實(shí)與“第一個(gè)乘法公式”之間具有特殊與一般的關(guān)系.從上面我們整理的課堂實(shí)錄來看，李老師讓學(xué)生舉例理解，所舉例子就包含了完全平方公式、平方差公式.這樣自然而然引出新的公式，也應(yīng)該是李老師課前的精心預(yù)設(shè).從這個(gè)課例來看，我們對基于“學(xué)材再建構(gòu)”的單元教學(xué)的理解還很初步，需要教師在課前充分預(yù)設(shè)，而不是簡單的教材內(nèi)容先后順序的調(diào)整，還應(yīng)該充分考慮學(xué)生可能的生成，以及如何捕捉學(xué)生的有效生成，以服務(wù)于后續(xù)教程與學(xué)程.

3.“學(xué)程重生成”對教師的課堂駕馭能力要求高

在上面我們摘引的教學(xué)片段中，除了開課階段由李老師引出的一個(gè)簡單的計(jì)算，本課后續(xù)教學(xué)進(jìn)程中的問題都由學(xué)生自主生成，并不斷成果擴(kuò)大，形成知識框架.這種課型看似“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”，實(shí)質(zhì)上卻是：學(xué)生的生成都在李老師“如來佛手掌”里 ，最后都被采集到黑板相應(yīng)區(qū)域，漸次生成了“結(jié)構(gòu)化板書”.筆者也嘗試過這種課型，具體實(shí)施時(shí)，需要教師在課前對板書設(shè)計(jì)中每一個(gè)區(qū)域的內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)規(guī)劃，想清它們?nèi)绾螖[放，什么時(shí)候填寫，通過哪些追問生成，都要在課前做到心中有數(shù)，這樣才可能在課堂中恰時(shí)恰點(diǎn)地推進(jìn)教程和學(xué)程.