陶群仙

高中物理難學(xué)的困惑緊緊困擾著一屆又一屆的學(xué)生，這種現(xiàn)象是由學(xué)生身心發(fā)展不夠完善、物理學(xué)科要求學(xué)生應(yīng)有嚴(yán)密的邏輯思維、深厚的數(shù)學(xué)功底等特點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法的變化等多方面原因造成的。我覺得高中物理的學(xué)習(xí)應(yīng)在深刻理解物理基本概念、基本規(guī)律、原理的基礎(chǔ)上更應(yīng)該重視對(duì)物理方法、物理思想的歸納和整理。在運(yùn)用物理知識(shí)解決實(shí)際問題的過程中，人們逐步積累和形成了物理學(xué)中處理問題的方法，在物理教學(xué)中，我們一定要使學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)和掌握這些方法。在具體問題中我們常用的處理方法有理想模型法、等效替代法、微元法、圖像法、近似處理法、逆向思維法、極限法、比例法、賦值法、類比法等等。其中微元法在實(shí)際問題中如能巧妙運(yùn)用就能在解決問題中找到突破口。下面在實(shí)際情境中看一下微元法的妙用。

微元法，就是將研究對(duì)象（物體或物理過程）進(jìn)行無限細(xì)分，從其中選取某一微小單元進(jìn)行分析和討論，從而找出研究對(duì)象（物體或物理過程）變化規(guī)律的一種解題方法。微元法是解決物理問題的基本思想方法，它貫穿于高中階段的物理知識(shí)體系，滲透于一些物理概念、公式中。取微元作為研究對(duì)象，可準(zhǔn)確地描述變化的物理過程中瞬間狀態(tài)，微元再求和更是解決物理過程中變量積累問題的重要方法。嚴(yán)格說，微元法是利用微積分來處理物理問題的一種解題思維方法，對(duì)中學(xué)生來說顯得有一定的難度（屬于較高要求）。但在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡x擇一些物理問題，有針對(duì)性地進(jìn)行分析，對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生的思維能力和綜合分析能力是有益的。下面舉幾例來說明微元法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用，希望起“拋磚引玉”之作用。

一、物理概念中滲透微元法的基本思想

平均速度只是粗略地描述物體運(yùn)動(dòng)快慢，要準(zhǔn)確的描述物體運(yùn)動(dòng)快慢，應(yīng)該用瞬時(shí)速度。課本中瞬時(shí)速度定義是：運(yùn)動(dòng)物體在某時(shí)刻（某一位置）的速度，可進(jìn)一步理解為：平均速度=△x/△t中，當(dāng)時(shí)間非常短接近于零表示某一瞬時(shí)速度，或位移非常小，表示某一點(diǎn)的瞬時(shí)速度。這里時(shí)間非常短，或位移非常小，已滲入了取時(shí)間微元或位移微元的思想。勻速直線運(yùn)動(dòng)指：任何相等的時(shí)間內(nèi)位移相等。這里“任何相等的時(shí)間”也包含了很短的時(shí)間微元，當(dāng)然也可取較長的時(shí)間段。

大家在學(xué)習(xí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度時(shí)同樣接觸到微元方法，勻速圓周運(yùn)動(dòng)中線速度的大小雖不改變但方向不斷改變。為了準(zhǔn)確描述向心加速度的方向，我們?nèi)∫灰詷O小的△θ使其趨于零，弦長趨于弧長。再利用三角形相似知識(shí)可得向心加速度的表達(dá)式a=v2/r=ω2r。學(xué)習(xí)磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)我們同樣取一微電流元去探測(cè)空間某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，學(xué)習(xí)通電圓環(huán)在磁場(chǎng)中的受力情況時(shí)，我們把圓環(huán)分解為無數(shù)段微電流元從而來了解安培力。在對(duì)導(dǎo)體中的電流進(jìn)行微觀解釋時(shí)，我們?nèi)∫恍《螌?dǎo)體認(rèn)為這段導(dǎo)體中的所有電荷從一端移動(dòng)到另一端時(shí)這些電荷全穿過某一橫截面。可見微元法在物理概念的學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛。

二、物理公式中的微元思想

1.勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式的推導(dǎo)

微元法指的是我們把研究對(duì)象或過程分隔成小塊的（微元）來加以研究。利用微元法處理問題時(shí)往往起到化變?yōu)楹悖鸀橹钡男Ч?。例如在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系時(shí)，如右圖1將v-t圖象中整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程劃分的非常非常細(xì)，很多很多小矩形。雖然整個(gè)過程是變速的運(yùn)動(dòng)，但在極短的時(shí)間內(nèi)可以近似認(rèn)為該過程為勻速運(yùn)動(dòng)過程。某一時(shí)間間隔內(nèi)的位移即為該時(shí)間對(duì)應(yīng)小矩形的面積，若△t→0這時(shí)“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來了，小矩形合在一起成了一個(gè)梯形，位移即為該矩形所圍的面積，從而推導(dǎo)出位移時(shí)間公式：[x=v0t+12at2]。

微元法實(shí)際上是一種微分的思想，在中學(xué)物理問題中是一種常用的處理方法。在上述公式的推導(dǎo)中如果我們已深刻理解其中的思想，我們即能得出結(jié)論變速直線運(yùn)動(dòng)中位移即為v-t圖像所謂的面積這更廣泛適用的結(jié)論。而學(xué)生卻沒能掌握這種方法往往死記硬背公式。在計(jì)算勻變速直線運(yùn)動(dòng)中我們首次接觸到了微元的思想，此后微元法在力學(xué)、電學(xué)、電磁學(xué)中我們會(huì)屢屢碰到這種思想。但教材中往往沒明確說明要我們師生自己歸納總結(jié)。

2.彈性勢(shì)能公式的推導(dǎo)

彈性勢(shì)能究竟跟哪些因素有關(guān)？從理論上來講它跟彈簧的形變量、彈簧本身的勁度系數(shù)有關(guān)，那么彈簧的彈性勢(shì)能究竟如何表達(dá)呢？要推出彈性勢(shì)能的表達(dá)公式同樣要用到微元法，大家知道功和能密切相關(guān)，能量即為某物體做功能力的大小。我們先把彈簧拉長使其伸長量為△x，放手后彈簧將把物塊拉動(dòng)對(duì)物塊做功，那么如何得知該過程彈力所做的功就需用到微元法。整個(gè)過程中彈力是一個(gè)變力，但在極小的一段位移內(nèi)我們可以把彈力看作是恒力，此時(shí)我們就可以運(yùn)用恒力做功公式W=FS來求彈力所做的功了。如下圖：彈力隨形變的逐漸恢復(fù)而逐漸減小F=k△x，而W=FS在極小的一段小位移范圍內(nèi)即為小矩形的面積。

故形變量為△x在恢復(fù)原狀的整個(gè)過程中彈力所做的功為三角形所圍的面積：[EP=12k?x2]。

3.轉(zhuǎn)動(dòng)物體的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式

如圖所示的一段導(dǎo)體在紙面內(nèi)繞端點(diǎn)O以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，磁場(chǎng)垂直紙面向里且磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，棒的長度為l，則這根棒兩端產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多大呢？許多同學(xué)會(huì)認(rèn)為E=Bl2ω，因?yàn)樗麄冊(cè)谶@里生搬硬套公式E=Blv而沒有理解該公式的確切含義。要解決這個(gè)問題就得把導(dǎo)體棒看做無數(shù)段微元，每一小段繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v=ωr各不相同，整根導(dǎo)體棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可看成無數(shù)個(gè)電源串聯(lián)而成，跟前述的方法一樣感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和即為E=Bl（v1+v2+v3+…+vn），而速度之和為v-r圖像所圍的面積，故E=1/2Bl2ω，這里微元思想的靈活運(yùn)用會(huì)使我們更深刻地理解概念和公式的含義。

三、習(xí)題中微元法的巧妙運(yùn)用

微元法在具體習(xí)題中應(yīng)用非常廣泛，在解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題時(shí)通常取時(shí)間微元△t、角度微元△θ、位移微元△x等。我們時(shí)常會(huì)遇到彈力、安培力、萬有引力等隨形變量、速度、相距距離而變化的變力問題。在計(jì)算變力做功時(shí)可以將整個(gè)做功過程劃分為許多的微小過程，在每個(gè)微小過程中將力視為一個(gè)恒力，解變力做功問題就可以轉(zhuǎn)化為求恒力做功。另一種情形下我們時(shí)常把物體本身分割成無數(shù)個(gè)小單元，如質(zhì)量隨長度呈線性分布的物體平衡問題、電荷連續(xù)分布的帶電體其周圍的電場(chǎng)分布問題、電阻率隨x的關(guān)系呈線性變化求導(dǎo)體電阻的問題我們往往采用微元方法來解決，因此就出現(xiàn)了質(zhì)量微元、電荷微元、電流微元等處理方法。endprint

例1，假想把一物體放在地球的球心，已知地球的質(zhì)量為M，該物體的質(zhì)量為m，萬有引力常數(shù)為G，那么該物體受到的萬有引力多大？

解析：這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的物理問題，但根據(jù)[F=GMmr2]公式此時(shí)兩物體間相距的距離為零由此得出物體所受的萬有引力無窮大，粗略一看該結(jié)論好像沒任何問題。這是因?yàn)閷W(xué)生沒有深入理解該公式的含義和適用條件。而把地球看成無數(shù)個(gè)質(zhì)量微元，它們又關(guān)于球心對(duì)稱分布對(duì)該物體的萬有引力大小相等、方向相反。故該物體所受的萬有引力為無數(shù)個(gè)質(zhì)量微元對(duì)其萬有引力的合力為零。

例2，均勻帶電圓環(huán)，中軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度帶電量是Q庫侖，半徑是R，場(chǎng)點(diǎn)P到圓心O的間距是a。

用庫侖定律的微分形式，將帶電環(huán)分割為無限多份，進(jìn)行積分，可得帶電圓環(huán)中軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，與電量成正比，與距離與正比，與半徑、距離平方和的二分之三次方成反比。

解：將圓環(huán)分割成無限多份，每一份的帶電量為dq，圓周長l=2πR，單位長度的電量λ=Q/l，dq=λdl，該點(diǎn)電荷到P點(diǎn)的距離是（R2+a2）1/2，在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為dE=kλdl/（R2+a2），由于電荷分布的對(duì)稱性，除了沿軸線方向的電場(chǎng)強(qiáng)度分量外，其他方向的分量均相互抵消；在軸線方向的分量是dEx=dEcosθ。

則圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度為：[Ex=dEx=KQ（R2+a2）32]。

四、過程微元的思想應(yīng)用

例1，一條粗細(xì)均勻的銅制導(dǎo)線彎成如圖所示的形狀，其質(zhì)量為m。長為L的一段水平放置，處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，B與導(dǎo)線垂直，導(dǎo)線的下面兩端分別插在淺水銀槽里，兩水銀槽與帶開關(guān)的電源聯(lián)接。當(dāng)K接通的瞬間，導(dǎo)線便從水銀槽里跳離。設(shè)跳起的高度為h，求在這過程中，通過銅導(dǎo)線截面的電量是多少？

分析：銅導(dǎo)線跳起的過程所需雖然很短（瞬間完成），但是由于跳離時(shí)銅導(dǎo)線具有一定的速度，即在跳起的過程中銅導(dǎo)線的速度是隨時(shí)間變化的，在這過程中由于銅導(dǎo)線的切割磁感線運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)線中的電流也隨時(shí)間變化著。顯然電量的求解只能用微元法才行，很多參考資料給的答案如下：

錯(cuò)解：根據(jù)動(dòng)量定理：BIL△t=mv ①

由機(jī)械能守恒定律：[12mv2=mgh] ②

根據(jù)電流的定義：I=△Q/△t ③

由①②③得：[?Q=m2ghBL]。

正解：將銅導(dǎo)線跳起的時(shí)間過程（瞬間）分為t1、t2、t3……tnn個(gè)過程，t1、t2、t3……tn極短（趨進(jìn)于零），每個(gè)過程銅導(dǎo)線中的電流I1、I2、I3……In可當(dāng)作為恒定的，設(shè)每個(gè)過程中銅導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)的末速度分別為v1、v2、v3……v。對(duì)每個(gè)過程應(yīng)用動(dòng)量定理：

BI1Lt1=mv1-0BI2Lt2=mv2-mv1，

BI3Lt3=mv3-mv2……BInLtn=mvn-mvn-1，

考慮：△Q=I1t1+I2t2+I3t3+……+Intn，

機(jī)械能守恒：[12mv2=mgh]，

由以上式子聯(lián)立得：[?Q=m2ghBL]。

順便說明一下：錯(cuò)解與正解的結(jié)論相同純屬巧合（物理學(xué)中象這樣的巧合還不少），如果安培力的規(guī)律不是BIL，而是BI2L，結(jié)論就不會(huì)巧合（相同）了。

例2，如圖所示，將質(zhì)量為m的物體沿地球半徑的延長線向遠(yuǎn)離地球的方向移動(dòng)，初始位置為r0，終態(tài)位置為r，與r均從地心算起。地球質(zhì)量為M。求萬有引力做的功。

解：將r0至r分割為n段，當(dāng)n足夠大時(shí)，每一小段中F可視為恒力，其大小可按中間位置上的引力計(jì)算，則在第一段有：[f1=GMm[r0+（r1-r0）/2]2=GMmr0r1]。

上述結(jié)果是在將分母的平方項(xiàng)展開后略去（r1-r0）的高次小量后得到的。

∴[W1=-f1r1-r0=GMmr1-GMmr0]，

同理：[W2=GMmr2-GMmr1]，[Wn=GMmrn-GMmrn-1]。

[∴W=W1+W2+…+Wn=GMmr-GMmrn]。

例3，質(zhì)量為m的跨接桿可以無摩擦地沿水平的平行導(dǎo)軌滑行，兩軌間寬為ι，導(dǎo)軌與電阻R連接，放在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，跨接桿的初速度為ν0，如圖所示，試求跨接桿到停下來所滑行的距離。

解：設(shè)某時(shí)刻跨接桿速度減小到υ，則此時(shí)刻回路中的電流：[I=BlvR]。

跨接桿所受的安培力[：I=BIl=B2l2R?v]，

在該時(shí)刻桿的加速度數(shù)值[a=Fm=B2l2mR?v]。

從該時(shí)刻經(jīng)起足夠短的時(shí)間△t，設(shè)桿的速度變化△v（△v<0），桿移動(dòng)的距離△v（△v>0），則上式可寫成[-?v?t=B2l2mR??v]，

即：[?x=-mRB2l2??v]，

桿滑行的距離[x=?x=-mRB2l2??v=mRv0B2l2]。

微元法作為一種重要的物理思想貫穿在高中物理的每一知識(shí)模塊內(nèi)，不能不引起大家的足夠重視。以上例子只是微元法應(yīng)用的一小部分，大家是否已能感受到掌握物理思想是一件多么美妙的事情。在平時(shí)教學(xué)過程中，教師應(yīng)有意點(diǎn)撥和訓(xùn)練學(xué)生的思維，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考和總結(jié)一些常見的處理物理問題的方法。這樣可使學(xué)生對(duì)物理的興趣更加濃厚，形成學(xué)習(xí)的良性循環(huán)。endprint