摘 要：波利亞（G. Polya）“怎樣解題”表中的四個(gè)步驟：“理解問(wèn)題——制訂計(jì)劃——執(zhí)行計(jì)劃——回顧”，其中“回顧”即解題后的反思，是其中一個(gè)極其重要而又容易被忽視的環(huán)節(jié)。本文側(cè)重闡述解題后反思的課堂實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：習(xí)題；呈現(xiàn)；反思；鞏固

習(xí)題呈現(xiàn)：習(xí)題：在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，∠C=90°，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn)A、C不重合），Q點(diǎn)在BC上，（1）、（2）略，（3）試問(wèn)：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求PQ的長(zhǎng)。

習(xí)題解答：此題在作業(yè)中幾乎無(wú)人問(wèn)津，我把它放到課堂上進(jìn)行講解。讓學(xué)生再次審題，根據(jù)自己的理解畫(huà)出幾何圖形，并選擇兩位學(xué)生在黑板上畫(huà)出。

兩位學(xué)生畫(huà)完后，有學(xué)生舉手說(shuō)：“這兩種圖形都正確，應(yīng)該還有第三種，∠PQM可以是直角，因?yàn)椤鱌QM沒(méi)有指明哪個(gè)角是直角?！蔽覍?duì)三位學(xué)生的表現(xiàn)大為贊賞，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)一步分析，結(jié)合圖形進(jìn)行歸納，確定為二種情形：情形1，如上圖①（∠PQM=90°或∠QPM=90°歸為一類，PQ長(zhǎng)相等）；情形2，如上圖②（∠PMQ=90°為一類）。

通過(guò)商討，我們找到了解答此題的兩種方法。解題完畢后，我們一起對(duì)此題進(jìn)行回顧反思，以便找尋原因，總結(jié)方法。

解后反思：

（一） 反思題意的理解、思考過(guò)程：反思對(duì)條件的理解，條件呈現(xiàn)較明確；反思對(duì)結(jié)論的理解，發(fā)現(xiàn)有：

1. △PQM為等腰直角三角形，沒(méi)有指明哪個(gè)角是直角，結(jié)論的不確定性就會(huì)產(chǎn)生多種可能性；是此題無(wú)人問(wèn)津的原因之一。

2. 幾何圖形沒(méi)有呈現(xiàn)，由我們自己畫(huà)圖，由于幾何圖形的多樣性就有產(chǎn)生多種幾何圖形的可能性；是此題無(wú)人問(wèn)津的原因之二。

經(jīng)過(guò)對(duì)題意的反思，我們明確了此題屬于結(jié)論開(kāi)放型題，做題時(shí)要注意多種可能情況的出現(xiàn)，思考要周密，嚴(yán)防遺漏其他可能情況，同時(shí)對(duì)多種可能情況進(jìn)行歸納，確定最后情形。

（二） 反思解答過(guò)程

1. 反思知識(shí)的聯(lián)系，避免解題的盲目性：通過(guò)對(duì)解答過(guò)程的反思，發(fā)現(xiàn)此題的圖形呈現(xiàn)出相似三角形常見(jiàn)的基本圖形——“A”形，運(yùn)用了相似三角形的知識(shí)解決了問(wèn)題。由此如果把題中的條件與知識(shí)間的聯(lián)系搞清楚，以后碰到類似知識(shí)問(wèn)題時(shí)，便可嘗試使用此解法，以避免解題的盲目性，同時(shí)有利于提高自身的分析能力和歸納思維能力。

2. 反思解題的方法，促進(jìn)思維的拓展：通過(guò)對(duì)解答方法的反思，發(fā)現(xiàn)此題的解法有兩種（方法一：運(yùn)用兩次相似；方法二：運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高線之比等于相似比），兩種解法都適用于這兩種情形。兩種解法的知識(shí)上都運(yùn)用了相似的知識(shí)點(diǎn)，方法中都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，必要時(shí)添加了輔助線構(gòu)造了相似的基本圖形使解題更簡(jiǎn)便。這在促進(jìn)學(xué)生思維拓展的同時(shí)也使學(xué)生明白一些解題技巧：

（1） 一題出現(xiàn)多種可能性時(shí)，解題方法能否通用，可嘗試（此題得到體現(xiàn)）；

（2） 一題分為多個(gè)小題時(shí)，每小題間是否有聯(lián)系，前小題結(jié)論或方法能否為后小題服務(wù)？解題方法能否借鑒、遷移呢？也可嘗試（此題同樣得到體現(xiàn)）。

通過(guò)反思，發(fā)現(xiàn)此題的解法有兩種，比較難易，確定一種較簡(jiǎn)便的方法。也使學(xué)生明確：不少習(xí)題可有多種解法，因而解完一道題后，應(yīng)周密地反思是否還有其他別的求解途徑，以求最簡(jiǎn)捷的解法，使自己的思維空間得到拓展，防止思維定勢(shì)，使自己解題的能力得到提升。

3. 反思解題的規(guī)律，促進(jìn)能力的遷移

反思此題，我們有無(wú)解題規(guī)律可循呢？引導(dǎo)學(xué)生歸納出這樣的規(guī)律：線平行可得三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)高線之比等于相似比；結(jié)合題意添加必要的輔助線可構(gòu)造三角形相似；圖形中有沒(méi)有相似的基本圖形——“A”與“X”型可運(yùn)用等等。經(jīng)過(guò)這樣反思，讓學(xué)生領(lǐng)略其中的微妙，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，做到明一類，得一法，使這方法得到遷移來(lái)解決同一類型題目。

習(xí)題歸一：

（三） 反思題目的演變，強(qiáng)化開(kāi)拓探索

反思后，一位學(xué)生忽然站起來(lái)說(shuō)：“老師，這題跟我們后面做過(guò)的同步練習(xí)P57的第3題是同一類題?！蔽覀儙熒黄鹂磿?shū)，看到此題為：如圖①②Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，AC=3，BC=4，分別在兩個(gè)三角形中畫(huà)如圖所示的正方形DEFG和正方形C′MNP。通過(guò)計(jì)算比較一下，哪個(gè)正方形的邊長(zhǎng)大？

有些學(xué)生用疑惑的眼光看著她，她繼續(xù)說(shuō)，“情形1添加一條垂線，過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線QE就行，情形2去掉一條線段QP就行?！?/p>

聽(tīng)完后，學(xué)生們豁然開(kāi)朗，噢，原來(lái)如此。我們?yōu)榇藢W(xué)生的回答大力鼓掌、贊賞。之后我們一起來(lái)分析了這兩題間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)情形1與此圖①純屬同一種題，情形2與此圖②應(yīng)說(shuō)較接近同種題，因四邊形CQMP不一定是正方形，但它們的解題方法是一致的。我們進(jìn)一步探究它們間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)此類題可一般化，就如同頁(yè)中的第2題，如圖，有一塊三角形的余料ABC，它的一邊BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)這三道題可以從易到難，從淺到深演變；演變中探求到解題的一般方法：三角形相似，相似三角形的對(duì)應(yīng)高線之比等于相似比，貫穿始終。也深深體會(huì)到做題的樂(lè)趣，體會(huì)到做完一道題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生去探索、聯(lián)想、創(chuàng)新，要開(kāi)拓出一組新穎別致的習(xí)題，發(fā)揮典型習(xí)題在知識(shí)層面和能力層面的輻射功能，發(fā)揮學(xué)生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生探索精神，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性和深刻性。

習(xí)題鞏固：

我布置了一個(gè)任務(wù)：讓每位學(xué)生交一道類似于剛才所講的題目，以形成序列習(xí)題便于鞏固練習(xí)。

通過(guò)對(duì)此題的反思，我們學(xué)生今后碰到此類型題時(shí)，就會(huì)輕松地解決。

自身收獲：

（四） 反思教學(xué)過(guò)程，促進(jìn)教師的成長(zhǎng)

課后，反思了自己的教學(xué)過(guò)程，覺(jué)得自己在教學(xué)上基本體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)地位和學(xué)生的主體地位，采取了學(xué)生獨(dú)立自主、合作交流的教學(xué)手段，以培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、合作能力、探究能力為目的。教學(xué)中也暴露出自己備課不充分，以題論題，沒(méi)有把題進(jìn)行拓展、引申，加以聯(lián)系，缺少自我探索能力。反思自我教學(xué)過(guò)程，認(rèn)識(shí)和找到自身教學(xué)的不足，適時(shí)積累經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)自我成長(zhǎng)。

總之，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不但要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題后的反思，更重要的讓學(xué)生逐步養(yǎng)成自我反思的習(xí)慣。而我們教師更加要做反思型教師，孔子說(shuō)：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。”通過(guò)反思，有助于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，有助于拓開(kāi)研究教學(xué)過(guò)程，有助于提高教學(xué)水平，從而形成適合于自己、有益于學(xué)生的教學(xué)方式和教學(xué)特點(diǎn)。陶西平（聯(lián)合國(guó)教科文組織協(xié)會(huì)世界聯(lián)合會(huì)副主席，國(guó)家總督學(xué)顧問(wèn)）指出，教育需要在反思中創(chuàng)新，教師通過(guò)審視自己的教育習(xí)慣，尋找改革的切入點(diǎn)，又通過(guò)對(duì)自己教育習(xí)慣的理性思考，促進(jìn)自身教育觀念的轉(zhuǎn)變，再在這一基礎(chǔ)上建立新的習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)教育的創(chuàng)新。

積跬步以至千里，深愿在各位教師對(duì)自己教學(xué)習(xí)慣的反思中，實(shí)現(xiàn)我們自身的教學(xué)創(chuàng)新。

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作者簡(jiǎn)介：朱煒煒，中學(xué)高級(jí)教師，浙江省寧波市，浙江省象山縣丹城實(shí)驗(yàn)初中。endprint