安徽省太和中學(xué) 阮 飛

處理三角恒等變換問(wèn)題的三個(gè)視角

安徽省太和中學(xué) 阮 飛

三角恒等變換問(wèn)題的綜合性往往很強(qiáng)。解題時(shí)，我們首先要記住六組誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式，然后從角、函數(shù)和次數(shù)這三個(gè)視角進(jìn)行分析，最后運(yùn)用角的變換、切弦轉(zhuǎn)換、降冪、升冪等技巧。下面結(jié)合典型例題予以說(shuō)明，供同學(xué)們參考。

視角一：關(guān)注角之間的聯(lián)系

角與角之間的差異和聯(lián)系是決定三角恒等變換方向的第一個(gè)因素。為消除角與角之間的差異，常對(duì)角進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃无D(zhuǎn)化，即進(jìn)行角的變換，如：

答案 （1）-3 （2）1

視角二：關(guān)注函數(shù)之間的聯(lián)系

函數(shù)之間的差異與聯(lián)系是決定三角恒等變換方向的第二個(gè)因素。為消除函數(shù)之間的差異，常利用公式將正切與正弦、余弦互換，即切弦轉(zhuǎn)換。

答案D

視角三：關(guān)注次數(shù)之間的聯(lián)系

三角函數(shù)次數(shù)之間的差異與聯(lián)系是決定三角恒等變換方向的第三個(gè)因素。為消除次數(shù)之間的差異，對(duì)于某些高次三角恒等變換問(wèn)題，我們常常利用相關(guān)公式將其降冪，一般化為模型y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c）和模型y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b），利用一次函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)處理。公式及其變式在降冪過(guò)程中，常常發(fā)揮重要作用。而對(duì)于像這種含有根號(hào)的式子，則需進(jìn)行整體平方運(yùn)算。類似地，形如的式子，都可以進(jìn)行平方運(yùn)算。

例3 已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0）對(duì)?x∈R恒成立，則A=_______，b=_______。

思路 降冪，利用公式2cos2x=cos2x+1消除2cos2x與sin2x次數(shù)上的差異，再利用輔助角公式消除等式兩側(cè)形式上的差異。

以上介紹了研究三角恒等變換問(wèn)題的三個(gè)視角，解題的關(guān)鍵在于選擇最優(yōu)的視角分析已知與未知之間的差異和聯(lián)系，進(jìn)而利用恰當(dāng)?shù)墓胶图记上鼈冎g的差異，這就需要我們熟練掌握三角公式的正用、逆用和變形用，有時(shí)候還需要多種技巧融為一體，共同發(fā)揮作用。