廣東省佛山市南海區(qū)教育發(fā)展研究中心(528200) 鄭喜中

2017年高考文科數(shù)學(xué)全國卷(I)第12題是一道值得研究的好題.此題入門寬,解答方法多,有不同的運算路途和解法.通過不同的解法可以考查學(xué)生的思維層次.題目體現(xiàn)解析幾何的思想,可化靜為動,運用運動變化的思想解決問題.考查的知識點多,考查三角形的分割法,正切函數(shù)的定義,兩角和正切公式,斜率公式,解二元二次方程組,根據(jù)橢圓的范圍列不等式,運用均值不等式,參數(shù)方程等知識和數(shù)形結(jié)合的思想,分類討論的思想,綜合度大.如果運用直接法,考查運算求解能力和邏輯推理能力,能力要求高.

一、研究對象

題目1(2017年文科數(shù)學(xué)全國卷I第12題)設(shè)A、B是橢圓長軸的兩個端點,若C上存在點M滿足∠AMB=則m的取值范圍是.

學(xué)生解決題目1的思路是將點M位置放在特殊位置.當(dāng)m ＜ 3時,點M 落在y軸上,∠AMO=60?,得m=1.當(dāng)m＞3時,點M 落在x軸上,∠AMO=60?,得m=9.

圖1

圖2

學(xué)生選擇A,但是這種做法是不完整,得出的結(jié)論是靠猜測,沒有達(dá)到考查的目的.因此題目1的選擇支的設(shè)置有問題,可改進(jìn)為

這樣4個選擇項均含有1和9,可避免學(xué)生利用極端情況猜得答案.

在解決題目1的過程中,學(xué)生如果知道如下的3個結(jié)論,可快速解決題目1.

結(jié)論1 在△ABM中,如果已知一邊AB和它的頂角M為定值,頂點M的軌跡是圓弧.

結(jié)論2過點A(-3,0),B(3,0),M(0,1)的圓弧和橢圓的位置關(guān)系是圓弧上的點在橢圓內(nèi).

結(jié)論3當(dāng)橢圓上的點M在短軸的端點上,M對橢圓長軸AB的張角∠AMB是最大.

對以上的3個結(jié)論說明如下:

說明1 建立坐標(biāo)系,求點M軌跡方程得軌跡是圓弧,或者根據(jù)正弦定理也可知△ABM的外接圓的直徑為定值,圓心位置是確定的,故知點M軌跡是圓弧;用此結(jié)論解決如下的

題目 (2013年高考新課標(biāo)卷2理科第17題)△ABC在內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

(I)求B; (II)若b=2,求△ABC面積的最大值.

說明2畫圖3知圓弧在橢圓內(nèi)部,

圖3

證明 過點A,B,M的橢圓和圓弧的方程分別為:

在OB上任取一點G,過點G作垂線交圓弧和橢圓上的點,不妨設(shè)點(x,y1),y1＞0在橢圓上,點(x,y2)在圓弧上,代入方程得:

前式兩端分別乘以3與后式兩端分別相減得

因為0＜y1≤1,所以+2(y1-y2),0＜ (y1+y2+2)(y1-y2);因為0＜y1＜1,0＜y2＜1,所以0＜y1-y2,y1＞y2.因此圓弧上的點在橢圓內(nèi).

說明 3 圖4中,在圓弧上有 ∠AMB= ∠AFB,而∠AFB ＞ ∠AEB,所以 ∠AMB=∠AFB ＞ ∠AEB,

圖4

點E在橢圓上,由此可看到當(dāng)點E運動到點M處,點M對橢圓長軸AB的張角最大.

圖5

如圖5,知∠AEB ＜ ∠ACB＜ ∠AMB=120?所以在橢圓上不存在點M 滿足∠AMB=120?.

圖6

直接法有三種解法,在后面對類似的問題——題目3作研究.

二、研究方法

2.1 題目溯源

題目2是在《高中數(shù)學(xué)解題題典》(主編李盤喜,東北師大出版社2001.5)P647中的一道題,題目2與題1極為相似.

2.2 學(xué)生測試

為了了解教師與學(xué)生對這一問題的認(rèn)識,利用大規(guī)模的摸底考試,在2017年8月29日對我區(qū)2018屆高三學(xué)生進(jìn)行測試,測試題由課本例題和題1改編,如下:

題目3設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)直線AP,BP相交于點P,且它們的斜率之積是(0＜b＜5).

(I)求點P的軌跡方程;

(II)在點P的軌跡上有一點M且點M在x軸的上方,有∠AMB=120?,求b的范圍.

(II)(方法1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0,y0),過點M,作MH垂直于x軸,垂足為H,

圖7

因為點M 的坐標(biāo)為(x0,y0)在點P的軌跡上,所以

②代入①得4

○代入③得

2.3 測試的結(jié)果

得分不理想,在1萬多考生中沒有滿分.學(xué)生的主要錯誤有:沒有畫圖就進(jìn)行解題,不會運用數(shù)形結(jié)合的方法;不會運用條件∠AMB=120?,不會對幾何條件作代數(shù)化轉(zhuǎn)換,如用斜率表示角,或者將三角形分割成兩個直角三角形,而是運用余弦定理進(jìn)行表示,造成運算困難而不能完成解決問題;沒有說明為什么當(dāng)橢圓上的點M在y軸上,點M對橢圓長軸AB的張角∠AMB是最大,思維不嚴(yán)密,對這一結(jié)果是猜測的.

2.4 教師講評情況

教師對試題的評講主要是講了方法1和2,其實方法3更有一般性.教師在備講評課時要對3種方法進(jìn)行比較,看看哪種方法更讓學(xué)生容易習(xí)得,了解學(xué)生不會做題的原因.題3的難點是學(xué)生不會運用題目的條件∠AMB=120?.

為了了解評講的效果,筆者在2018年9月16日再測試40位學(xué)生.測試題是:

?1長軸的兩個端點,若C上存在點M 滿足∠AMB=120,求m的取值范圍.

測試結(jié)果是2.5%的學(xué)生能正確解決題目4.說明學(xué)生的模型識別比較差,不會辨別題3與題4的關(guān)系.這與教師的評講教學(xué)有關(guān)系,教師教學(xué)的針對性不強(qiáng),對幾何量的代數(shù)表征沒有足夠的重視,缺乏個性化的教學(xué),對沒有掌握的學(xué)生缺乏相應(yīng)的幫助,沒有讓學(xué)生重做錯題的習(xí)慣,也沒有找出相關(guān)的題目評價教學(xué)的效果.如要看看此題的教學(xué)效果,看看如何用代數(shù)的方法表征角,用題目5讓學(xué)生再練習(xí),以達(dá)到教學(xué)的效果.

(1)(略); (2)y軸上是否存在點P,使得當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

三、結(jié)論

3.1 教師的教學(xué)

(1)選擇“好”題進(jìn)行教學(xué) 從題目溯源知在教學(xué)中的選材要選擇有價值的題,選擇“好”題進(jìn)行教學(xué),如教師在題海中,特別是在全國高考數(shù)學(xué)題中,篩選出能進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的“好”題,這有利于提高尖子學(xué)生的水平.

(2)根據(jù)學(xué)生的作答情況進(jìn)行教學(xué) 關(guān)注學(xué)生的答題情況,要了解學(xué)生不能作答的原因,是答題時間不夠還是有足夠的時間也沒辦法作出解答.如果是答題時間不夠,在測試后讓學(xué)生再獨立完成作答;如果是無法作答,教師要研究學(xué)生存在的問題,并將題目的答案印發(fā)給學(xué)生自學(xué),讓學(xué)生看過答案后,再作答.教師根據(jù)學(xué)生的再作答情況進(jìn)行評講,這樣能對學(xué)生開展個性化的教與學(xué),也能提高學(xué)生的自學(xué)能力和數(shù)學(xué)的閱讀能力.

(3)關(guān)注教學(xué)方法 評講抓住解決問題的關(guān)鍵,教會學(xué)生運用題目的條件和挖掘題目中的隱含條件.教師要對題目中的多種解答方法進(jìn)行比較,找出能使學(xué)生最容易掌握和習(xí)得的方法,在題3的第2問的解答中,方法3是最容易掌握的方法,且具有一般性,可以用此方法解決題6(將題2推廣)、題7.

圖8

(4)關(guān)注不同題型的不同解題策略和方法 教師要教會學(xué)生對待選擇題與解答題的不同解題策略,選擇題一般采用小題巧做的方法,解答題要注重思維嚴(yán)密,書寫規(guī)范,教學(xué)中教師要有書寫示范讓學(xué)生學(xué)習(xí)書寫表達(dá).從上面可以看出,題1以選擇題與解答題的形式出現(xiàn),解答的方法是不同的.

(5)關(guān)注教學(xué)效果 要對教學(xué)的效果作檢驗,檢查教過后,學(xué)生是否學(xué)會了,教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度有多大.檢查的方法就是給出相對應(yīng)的練習(xí)題讓學(xué)生再練習(xí).

(6)深入研究試題,將試題作變式、推廣.

(1)求∠AMB的范圍;

(2)若∠AMB=120?,求△AMB的外接圓的方程;

(4)是否存在橢圓C上的點M,使得它在x軸上的射影是橢圓的焦點,且∠AMB=120?,若存在求出點M的坐標(biāo),若不存在,試說明理由.

3.2 學(xué)生的學(xué)習(xí)

(1)注意監(jiān)控自己的解題策略,學(xué)會調(diào)整解題方向 學(xué)生要學(xué)會在解題過程中監(jiān)控自己的解題策略,學(xué)會調(diào)整解題方向.不要一種方法做到底,如果此方法不能奏效,能否思考運用別的方法. 如部分學(xué)生運用余弦定理進(jìn)行解答,而無法完成,主要受題目9這類題的影響,

題目9 F1,F2是離心率e1(a＞b＞0)的兩焦點,點M 是橢圓C上的一點,∠F1MF2=120?,求點M 的縱坐標(biāo).

(2)學(xué)會對比 學(xué)生學(xué)會根據(jù)自己(新手)的思考與教師(專家)的解答作對比,看看自己與教師的差別在什么地方,思考自我改進(jìn)的方向和方法;

(3)關(guān)注錯題 學(xué)生要堅持錯題重做的策略.學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到困難,要有堅持的精神,可在教師的啟發(fā)幫助下或者閱讀教師提供的問題答案后再重做錯題,直至?xí)鉀Q問題為止.

(4)學(xué)會提出問題 學(xué)生要學(xué)會提出問題,如在圖3中,當(dāng)點G在點O和點B位置時,|EF|=0.當(dāng)點G在點O向點B運動時,|EF|不斷變大,然后不斷變小.因此通過觀察圖3學(xué)習(xí)提出問題:

題目10 在圖9中過點A(-3,0),B(3,0),M(0,1)的橢圓和圓弧,在第一象限內(nèi)過橢圓上一點F作x軸的垂線,與圓弧相交于E,試問|EF|是否有最值,若有求出最值.

圖9

解答 過點A,B,M的橢圓和圓弧的方程分別為:

總之,數(shù)學(xué)教學(xué)中對一道題的研究,一般是研究題目考查的知識目標(biāo)和能力目標(biāo),研究教學(xué)方法,研究如何讓學(xué)生學(xué)會,分析學(xué)生是否具備解決問題的數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗,重點培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)材料的能力,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.在關(guān)鍵的地方給學(xué)生以幫助,重視教后檢查學(xué)生學(xué)習(xí)的效果.教師能對問題從多層次多角度提出新的問題,教會學(xué)生提出問題和解決問題.