新疆烏魯木齊新疆師范大學 李艷嫣 楊軍

2015年廣東省高考理科數(shù)學第21題第(3)問是一道有一定難度的數(shù)列不等式證明問題.試題參考答案提供的證明方法是“從天而降”般地構造了一個輔助函數(shù)f(x)=lnx+-1,利用該輔助函數(shù)最終得以證明.

試題 (2015年廣東卷)數(shù)列{an}滿足

(1)求a3的值;

(2)求{an}的前n項和Tn;

1.試題第(3)問中的數(shù)列不等式證明思路探源

其實,由題意出發(fā),要證Sn＜ 2+2lnn,只需證即證

觀察(1)式,發(fā)現(xiàn)其左邊有n-1項,右邊只有一項,故考慮將不等式(1)的右邊分裂成n-1項.注意到

2.試題第(3)問“數(shù)列不等式”背后的高觀點背景剖析

2.1 定積分定義的背景

在區(qū)間[1,n]所對應的n-1個矩形面積之和(如圖1).又根據(jù)定積分的幾何意義可知,定積分表示曲線與直線x=1,x=n以及x軸圍成的曲邊梯形的面積(如圖1).

圖1

2.2 調和級數(shù)背景

但另一方面,

故{Gn}有下界.而

因此{Gn}單調遞減.綜上{Gn}單調遞減有下界.

根據(jù)單調有界則有極限準則,即可知{Gn}極限存在.即

存在.

該極限值稱之為歐拉常數(shù),記作γ,其約等于0.57721.

這樣,我們可以將此不等式

加強為下面的形式

結束語

本文還原了試題所給的參考答案中輔助函數(shù)f(x)=lnx+-1(x＞1)的由來過程,并揭示了該數(shù)列不等式背后蘊含的定積分的意義以及調和級數(shù)的背景,從而為挖掘高等數(shù)學對中學數(shù)學解題教學的指導作用提供些許啟發(fā)與思考.

(本文通訊作者:楊軍)