福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉 陳藝平

試題 (2017江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上且位于第一象限,過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線l1,l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 本題分為兩小步,第一步屬于常規(guī)題型,主要考查橢圓中基本量的求解,容易求出橢圓E的方程第二步構(gòu)思較為巧妙,以學(xué)生熟悉的幾何元素為載體,考查求點(diǎn)P的坐標(biāo),關(guān)鍵在于準(zhǔn)確表示出Q的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)均在橢圓上來(lái)求解.試題清新不落俗套,平凡中隱含著大智慧,具有一定的探究意義.

解析 由已知有F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)P(x0,y0),則x0＞0,y0＞0.

證明 由已知有F1(-c,0),F2(c,0).設(shè)P(x0,y0),則x0＞0,y0＞0.

圖1

由已知有F1(-2,0),F2(2,0).設(shè)P(x0,y0),經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算可得(仿照上例的方法,過(guò)程從略):與命題1結(jié)論相符.最后,利用Geogebra軟件畫(huà)圖檢驗(yàn),如圖2,3所示.

圖2

圖3

證明 由已知有F1(-c,0),F2(c,0).設(shè)P(x0,y0),則x0＞0,y0＞0.

圖4

最后,利用Geogebra軟件畫(huà)圖檢驗(yàn),如圖5,6所示.

圖5

圖6