廣東省惠州市惠東縣惠東中學(516300) 張海波

全國卷近幾年壓軸題都比較穩(wěn)定,都是以函數(shù)導數(shù)為背景而命制的,壓軸題中出現(xiàn)的函數(shù)都是含有ex型,lnx型,或者ex與lnx兩者都含有(我們把這類函數(shù)叫做超越函數(shù)),所以我們要把握有關(guān)這幾類超越函數(shù)的常見處理方法.

策略一 超越函數(shù)常用變形技巧

含有ex型一般變形為:ex×g(x),g(x)為多項式函數(shù);含有l(wèi)nx型一般變形為:lnx+f(x),f(x)為多項式函數(shù)或者xlnx.

下面我們簡單解釋下為何要如此變形,首先要清楚,在解決函數(shù)導數(shù)問題時有兩個個重要的標準:導函數(shù)的零點要容易求、導函數(shù)的正負要便于判斷！

以下就含有ex型的超越函數(shù)為例來說明.

若 f(x)=ex+g(x),則 f′(x)=ex+g′(x). 此時f′(x)=ex+g′(x)=0的零點我們是無法準確求出來的(可以就任一高于1次的多項式g(x)進行嘗試);但是若 f(x)=ex× g(x),則 f′(x)=ex(g(x)+g′(x)),此時f′(x)=ex(g(x)+g′(x))=0的根就與 ex無關(guān)了,并且 ex是大于零的.所以ex與一個多項式函數(shù)的乘積,不僅導函數(shù)的零點易于求得,導函數(shù)正負也好判斷.

例1(2013年遼寧理科第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(1+x)e-2x,當x∈[0,1],求證:

思路 如果直接構(gòu)造函數(shù)求導,導函數(shù)很復雜,導函數(shù)的根和正負無法判斷(讀者可以自行嘗試),則可先等價變形為:指數(shù)型ex與某函數(shù)的乘積的形式,再來求導解決.

證明 先證左邊.欲證:1-x≤f(x)且x∈[0,1],即(1+x)e-2x≥1-x(此時要注意變形的形式ex與某函數(shù)的乘積),則只需證

例2 (2010新課標I理科第20題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-x+1.

(1)略. (2)證明:(x-1)f(x)≥0.

思路 如果直接求導,導函數(shù)非常復雜,無法求出導函數(shù)的根,也很難判斷導函數(shù)正負,所以先要將函數(shù)等價變形為:lnx與某個函數(shù)之和的形式,然后求導解決！

證明 (2)易見,f(x)的定義域是(0,+∞).

①當x≥1時,欲證(x-1)f(x)≥0,x-1≥0,即f(x)=(x+1)lnx-x+1≥ 0,即(x+1)lnx ≥ x-1,且

②當0＜x＜1時,同理變形可證原不等式也成立(讀者可自行完成)..綜上所述可得:(x-1)f(x)≥0成立.

策略二 探根法、設(shè)根法(主要針對導函數(shù)零點無法求出)

例3(2013新課標II理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當m≤2時,證明f(x)＞0.

解 (1)m=1,增區(qū)間(0,+∞),減區(qū)間(-1,0).

(2)當m≤2時,x+m≤x+2,ln(x+m)≤ln(x+2),-ln(x+m)≥ -ln(x+2),所以f(x)≥ ex-ln(x+2).令

而g′(x)的正負和零點都無法求,繼續(xù)對其導函數(shù)求導以g′(x)在 (-2,+∞)單調(diào)遞增,g′(-1)=e-1-1＜0,且g′(0)=＞ 0,所以存在x0∈ (-1,0),使得g′(x0)=0(設(shè)出導函數(shù)的根,設(shè)根法！)所以當-2＜ x＜ x0時,g′(x0) ＜ 0,g(x)單調(diào)減,當 x ≥ x0時,g′(x0)＞ 0,g(x)單調(diào)增,所以 gmin(x)=g(x0)=ex0-ln(x0+2),又 g′(x0)=g(x)＞0,又f(x)＞g(x),故f(x)＞0.

點評 由于導函數(shù)的零點無法求,導函數(shù)正負無法判斷(且一般其二階導數(shù)恒大于或小于0),采用設(shè)根法,整體代入則可判斷最小值大于零,本題還可以用常見的重要超越不等式(詳見下面的策略三)來解決.

策略三 利用常見超越不等式放縮,達到化復雜為簡單

如常見重要不等式:

A-G-L不等式等等.

我們僅就①給出證明,借助①,不難給出其余不等式的證明.

證明 令 f(x)=ex-x-1,則 f′(x)=ex-1.由f′(x)＞ 0得x ＞ 0,由f′(x)＜ 0得x ＜ 0,所以f(x)在(-∞,0)為減函數(shù),在(0,+∞)為增函數(shù).所以f(x)＞f(0)?ex-x-1＞e0-0-1,所以ex≥x+1.

例4(2014新課標I理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.

(1)求a,b; (2)證明:f(x)＞1.

點評 該題主要應用了超越不等式的一個結(jié)論○2:ex-1≥x,將題目中的復雜結(jié)構(gòu)變成簡單結(jié)構(gòu)了！所以這些不等式取到一個非常重要的作用就是將含有ex、lnx等復雜結(jié)構(gòu)變成簡單結(jié)構(gòu),進而變成容易解決的問題！

例5(2013新課標II理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當m≤2時,證明f(x)＞0.

解 (1)m=1,函數(shù)增區(qū)間:(0,+∞),減區(qū)間:(-1,0),過程從略.

(2)由m≤2可得ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),所以要證:ex-ln(x+m)＞0,只需證ex-ln(x+2)＞0.由上面重要不等式①:ex≥x+1,所以ex-ln(x+2)≥x+1-ln(x+2),則只需證:

x+1-ln(x+2)＞0.

由重要不等式④:ln(x+1)≤x,則ln(x+2)≤x+1.所以-ln(x+2)≥-(x+1),所以x+1-ln(x+2)＞0.所以原不等式成立.

點評 因此我們只有積累了常見的重要超越不等式,解決這類壓軸題的時候才能有一個方向,達到更好的變形,以起到化繁為簡的功效,使得夠迅速解決出來.另外還要注意題目中出現(xiàn)超越不等式的形式,然后選擇恰當?shù)淖冃畏较蜻M行變形.(請讀者思考:如何選擇恰當?shù)姆椒ǚ趴s不等式?)

策略四 分開超越部分,構(gòu)造兩個函數(shù)

例6(2014新課標I理科第21題)設(shè)函數(shù)

曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.

(1)求a,b; (2)證明:f(x)＞1.

解 (1)a=1,b=2.(2)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).要證即證:

點評 本題將兩個復雜的超越函數(shù)分開,構(gòu)造出兩個相對簡單的超越函數(shù),進而就很容易求出它們的最值,證明出所要的結(jié)果.本題還可利用重要不等式放縮來證明(即利用策略三),請讀者自行嘗試.