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        滲透數(shù)學(xué)文化 發(fā)展核心素養(yǎng)

        2018-02-05 16:29:36林京榕
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2017年7期
        關(guān)鍵詞:概念數(shù)學(xué)教學(xué)

        林京榕

        數(shù)學(xué)文化在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育中扮演著重要角色,如何把數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中,“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”般地讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶,在發(fā)揮數(shù)學(xué)文化育人功能的同時(shí),追求學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展,是每一位數(shù)學(xué)教師都必須直面的問(wèn)題,筆者依托《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施,對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行了探討,取得了較好的效果,現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)與同行進(jìn)行交流.

        1教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

        數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)教材中典型的富有濃厚數(shù)學(xué)思想與文化的內(nèi)容,復(fù)數(shù)概念的發(fā)展具有豐富的歷史背景,涉及到數(shù)學(xué)中類比、抽象、符號(hào)化等重要的數(shù)學(xué)思想,是典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程,是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化的最好契機(jī).

        1.1教材分析

        數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造,復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充.本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心教育價(jià)值是理解復(fù)數(shù)的基本概念和感受數(shù)系擴(kuò)充的數(shù)學(xué)文化,認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展既來(lái)自于外部的動(dòng)力,也來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部的動(dòng)力,形成正確的數(shù)學(xué)觀.

        1.2學(xué)情分析

        在學(xué)習(xí)本節(jié)之前,學(xué)生已學(xué)過(guò)實(shí)數(shù),理解各種數(shù)集之間的包含關(guān)系,但對(duì)數(shù)的發(fā)展歷史和生成規(guī)律還缺乏整體認(rèn)識(shí)與理性思考.本節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)困難主要表現(xiàn)在:為什么要引入i?如何引i?i是什么?

        1.3教學(xué)任務(wù)

        本節(jié)課的核心教學(xué)任務(wù)是在問(wèn)題情境中引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程與復(fù)數(shù)的概念,體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,滲透數(shù)系擴(kuò)充的基本思想.

        1.4教學(xué)目標(biāo)

        (1)學(xué)生通過(guò)具體問(wèn)題情境感受引入復(fù)數(shù)的必要性,類比實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充,感受類比思想在數(shù)學(xué)研究中的重要作用.

        (2)在復(fù)數(shù)概念的形成階段,通過(guò)提供典型豐富的具體例證,讓學(xué)生進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合,歸納,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng);

        (3)理解復(fù)數(shù)的基本概念,引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述(文字的、符號(hào)的),培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

        1.5教學(xué)重點(diǎn)

        充分展現(xiàn)從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程,理解復(fù)數(shù)的基本概念.

        1.6教學(xué)難點(diǎn)

        數(shù)系擴(kuò)充的基本思想及虛數(shù)單位i的理解.

        2教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

        情境導(dǎo)入教師講授無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程,引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程的興趣.

        (一)概念引入

        問(wèn)題1數(shù)學(xué)家Cardan在《重要的藝術(shù)》(1545年)中出了這么一個(gè)題目:把10分成兩部分,使其乘積為40.

        他按照自己的習(xí)慣,設(shè)其中一部分為x.列出方程x(10-x)=40.但求出的根令他大為不解,甚至感到有些恐慌,你知道這是為什么嗎?

        師生活動(dòng):因?yàn)榉匠蘹(10-x)=40,即X2-10x+40 =0在實(shí)數(shù)集內(nèi)無(wú)解,雖然我們認(rèn)為不可能的,但卡爾丹卻自豪地認(rèn)為,他找到了解決方法,那就是10=(5+√一15)(5-√15),40=(5+√-15)(5-√-15),但卡爾丹寫(xiě)得并不輕松,“不管良心受到多大的責(zé)備”也要寫(xiě)出這兩個(gè)怪東西,而且發(fā)現(xiàn)它們的之和為10,之積為40,正是要找的數(shù).

        你認(rèn)為√-15能作為“數(shù)”嗎?它表示什么意義?

        設(shè)計(jì)意圖一是激發(fā)學(xué)生學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法做到,產(chǎn)生認(rèn)知沖突;二是充分暴露數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程,

        問(wèn)題2根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn),你認(rèn)為怎么辦就可以解決Cardan的問(wèn)題?回顧數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充?每一次擴(kuò)充分別解決了哪些問(wèn)題?

        師生活動(dòng)讓學(xué)生充分交流、合作、討論,感受到每一次擴(kuò)充都要引入新數(shù),與此同時(shí),感受到數(shù)系擴(kuò)充是社會(huì)發(fā)展的需要,如計(jì)數(shù)、平均分配、測(cè)量等,同時(shí)也是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要,如:不夠減了、不能整除了、不能總可以開(kāi)方了等,特別強(qiáng)調(diào):在正數(shù)范圍內(nèi),方程x+2=0有解嗎?我們是怎樣讓它有解的?類似地,在有理數(shù)范圍內(nèi),X2=2有解嗎?我們又是怎樣讓它有解的?

        設(shè)計(jì)意圖一是幫助學(xué)生重新建構(gòu)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程,即自然數(shù)集一整數(shù)集一有理數(shù)集一實(shí)數(shù)集,并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則.這是本節(jié)課知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),二是使學(xué)生從(x - 5)2= -15出發(fā),自然想到只要“負(fù)數(shù)開(kāi)方”行得通,這樣的方程就能解了.

        問(wèn)題3()2=-15=15×(-l).

        設(shè)計(jì)意圖教師引領(lǐng)學(xué)生再現(xiàn)卡當(dāng)問(wèn)題,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x2=-1有解.

        教師講授i的引入歷史.簡(jiǎn)略介紹意大利數(shù)學(xué)家邦貝利給出了虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算;強(qiáng)調(diào)在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立.

        (二)概念形成

        問(wèn)題4在成功地引入i后,請(qǐng)說(shuō)出方程X2=-1的解?你能寫(xiě)出卡當(dāng)要找的數(shù)嗎?根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),我們希望i能與實(shí)數(shù)一起進(jìn)行運(yùn)算,你覺(jué)得會(huì)產(chǎn)生哪些類型的新數(shù)? 設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生自己“創(chuàng)造”出2i,31,2+3i,2-3i,-i,……

        追問(wèn)1這些“新數(shù)”能用一種統(tǒng)一的形式表示嗎?

        追問(wèn)2如果把實(shí)數(shù)與i進(jìn)行加、乘后得到的數(shù)集記作C,那么實(shí)數(shù)集R與集合C有什么關(guān)系?

        設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象,得出這種“新數(shù)”的一般符號(hào)表示a+bi(其中a,b為實(shí)數(shù)),感受為什么把集合{a+bi|a,b∈R}作為實(shí)數(shù)集擴(kuò)充后的新數(shù)集,并得出實(shí)數(shù)集R是C的子集.

        (三)概念固化

        (1)復(fù)數(shù)的定義;(2)復(fù)數(shù)的表示;(3)復(fù)數(shù)的分類;(4)復(fù)數(shù)集,

        問(wèn)題5閱讀教科書(shū)(人教版選修2-2第103頁(yè)第一、二自然段),復(fù)數(shù)的基本概念有哪些?endprint

        師生活動(dòng)學(xué)生自主完成復(fù)數(shù)的概念學(xué)案,教師介紹“復(fù)數(shù)”的概念,“實(shí)部”、“虛部”的概念及概念中的注意點(diǎn),并簡(jiǎn)單介紹德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯首先給出了復(fù)數(shù)的概念.

        設(shè)計(jì)意圖由特殊到一般,抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,初步理解復(fù)數(shù)概念,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力.

        問(wèn)題6形如a+bi(a,b,∈R)一定是虛數(shù)嗎?那么什么情況下是實(shí)數(shù)呢?有沒(méi)有比虛數(shù)更簡(jiǎn)單的虛數(shù)?

        師生活動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)a+bi中,a,b是否為零的討論的全過(guò)程,

        設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生由實(shí)數(shù)a,b的不同取值對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類,從而深化復(fù)數(shù)的概念,攻克本節(jié)課的重點(diǎn).

        問(wèn)題7請(qǐng)你說(shuō)出下列集合之間的關(guān)系:N,Z,Q, R,C.

        教師結(jié)合PPT簡(jiǎn)單介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史,

        設(shè)計(jì)意圖采用概念同化的方式完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),用符號(hào)語(yǔ)言重現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程,像樹(shù)的年輪一樣的生長(zhǎng).通過(guò)向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展史,說(shuō)明雖然現(xiàn)在看來(lái)簡(jiǎn)單的數(shù)系,但它的發(fā)展卻歷經(jīng)艱難與艱險(xiǎn).數(shù)學(xué)的發(fā)展如同數(shù)系的發(fā)展需要經(jīng)歷幾代數(shù)學(xué)家付諸于長(zhǎng)時(shí)間的努力與毅力才能得到完善,通過(guò)暗線的設(shè)置順利地完成了本節(jié)課的情感態(tài)度價(jià)值觀的教學(xué)目標(biāo).

        (四)概念應(yīng)用

        問(wèn)題8實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z=m2-1+(m-1)i?

        A.實(shí)數(shù) B.虛數(shù) C.純虛數(shù)

        設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生熟悉復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn),在解決問(wèn)題的過(guò)程中內(nèi)化復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,

        問(wèn)題9在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)解的情況如何?

        設(shè)計(jì)意圖首尾呼應(yīng),要讓學(xué)生自始自終地參與這一探索過(guò)程,激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展.

        (五)回顧反思

        問(wèn)題10請(qǐng)大家談?wù)勎覀冞@堂課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?運(yùn)用了哪些思想?又有哪些體驗(yàn)和感悟呢?

        其中,教師結(jié)合PPT展現(xiàn)復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)及其他學(xué)科中的應(yīng)用,例如,利用i2=一1由它所創(chuàng)造的復(fù)變函數(shù)理論,成為解決電磁理論、航空理論、原子能及核物理等尖端科學(xué)的數(shù)學(xué)工具,讓學(xué)生明白知識(shí)是什么?知識(shí)為什么?知識(shí)可怎么樣?知識(shí)有什么用?

        設(shè)計(jì)意圖對(duì)于數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程方面以及復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)理解方面的收獲進(jìn)行小結(jié)

        (六)布置作業(yè)(略)

        3教學(xué)反思

        3.1數(shù)學(xué)文化的傳播是自然流淌的

        數(shù)學(xué)文化的滲透以數(shù)學(xué)思想方法為主要載體.本節(jié)課的教學(xué)思路,就是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念來(lái)滲透數(shù)學(xué)文化,本節(jié)課的主要數(shù)學(xué)思想方法是類比,

        首先,類比“自然數(shù)一有理數(shù)一實(shí)數(shù)”的擴(kuò)充過(guò)程,教師從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展要求和解決實(shí)際問(wèn)題的需要出發(fā),闡述數(shù)系擴(kuò)充的歷史、原則與方法,引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)數(shù)及其運(yùn)算中得到啟發(fā),自然地提出數(shù)系如何擴(kuò)充、擴(kuò)充應(yīng)研究哪些問(wèn)題,學(xué)生借助具體事例,再創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念,感受類比在數(shù)學(xué)研究中的重要作用,感悟數(shù)學(xué)對(duì)人類及社會(huì)發(fā)展的價(jià)值.

        其次指導(dǎo)學(xué)生類比方程X2-2=0來(lái)解X2+1=0.再次,指導(dǎo)學(xué)生類比a+b√2(a,b∈Q)探討a+bi(a,b∈R).

        本節(jié)課的另一數(shù)學(xué)思想是分類.教師指導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分類解一元二次方程ax2+ bx+c=O(a≠0).學(xué)生在思考數(shù)學(xué)中,自然實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的熏陶,

        數(shù)學(xué)文化的滲透,以數(shù)學(xué)參與為主要途徑.在概念引入環(huán)節(jié),教師通過(guò)問(wèn)題1~問(wèn)題3的設(shè)置,從學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā),再現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)膯?wèn)題,讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)大師一起發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程,感受到數(shù)學(xué)家就在自己的身邊,數(shù)學(xué)大師并不神秘,他們也曾有解不開(kāi)的難題;在虛數(shù)單位i引入環(huán)節(jié):讓學(xué)生追隨數(shù)學(xué)大師的足跡一步一步接近復(fù)數(shù)與虛數(shù),慢慢地揭開(kāi)復(fù)數(shù)與虛數(shù)的神秘面紗,小小的“i”硬是經(jīng)過(guò)了兩個(gè)世紀(jì)的努力才被人接受;數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘,大師們通常是在別人習(xí)以為常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題并窮追不舍的精神,

        數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)的價(jià)值追求,是數(shù)學(xué)文化的重要體現(xiàn).在本堂課中,學(xué)生體會(huì)復(fù)數(shù)是包含實(shí)數(shù)的更大數(shù)系,體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.學(xué)生歸納出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性,公式e+1=0則向?qū)W生展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.

        3.2數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是水到渠成的

        數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,自然體現(xiàn)在學(xué)生的再創(chuàng)造復(fù)數(shù)過(guò)程中,復(fù)數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程是典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程.學(xué)生通過(guò)再創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念,培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).本節(jié)課從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要(社會(huì)需要、運(yùn)算需要、求解方程需要)出發(fā),構(gòu)建問(wèn)題情境1~3,提供契機(jī)讓學(xué)生思考每一次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因是什么?每一次擴(kuò)充遵循哪些規(guī)律?啟發(fā)學(xué)生從具體問(wèn)題中提出實(shí)數(shù)擴(kuò)充問(wèn)題,指導(dǎo)學(xué)生從歷次數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中抽象出數(shù)系擴(kuò)充的主要研究問(wèn)題:引入一個(gè)新的數(shù),就要定義其運(yùn)算;定義一種運(yùn)算,就要研究其運(yùn)算律.進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)系擴(kuò)充的基本原則:使算術(shù)的運(yùn)算律保持不變.引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題指引下,逐步抽象出“虛數(shù)單位”i,探討i的運(yùn)算及性質(zhì),在構(gòu)建復(fù)數(shù)有關(guān)概念這一核心環(huán)節(jié)中,通過(guò)設(shè)置問(wèn)題4—問(wèn)題9,引領(lǐng)學(xué)生合乎情理地建構(gòu)新知.其中問(wèn)題4的追問(wèn)具有概括性、抽象性和挑戰(zhàn)性,為攻克“復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為z=a+bi(a,b∈R)”這一難關(guān)奠定基礎(chǔ).學(xué)生在上述問(wèn)題的引導(dǎo)下,有充分的從具體進(jìn)入抽象規(guī)定的獨(dú)立認(rèn)識(shí)機(jī)會(huì),發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).endprint

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