趙 燕 阮成明 王松偉

武漢理工大學機電工程學院，武漢，430070

0 引言

柔性機械手動力學行為表現(xiàn)為復雜的剛柔耦合現(xiàn)象[1-2]，其動力學模型具有時變、非線性、強耦合等特點，而模型的建立是對柔性機械手進行動力學研究分析的基礎。

目前，在柔性機械手理論建模的動邊界條件及變形理論方面均取得了一定的研究成果。描述柔性臂彈性變形主要有三種理論：經(jīng)典變形理論、綜合變形理論、二次變形理論。DE LUCA使用經(jīng)典變形理論進行單關節(jié)柔性機械手的建模，并用模型設計了一個理想的控制器。ABE[3]為了減小殘余振動，采用二次變形理論進行最優(yōu)軌跡的設計，所設計的最優(yōu)軌跡能夠有效抑制柔性機械手的殘余振動。在柔性臂動邊界理論方面，劉建英等[4]將柔性機械手視為包含邊界條件的懸臂梁和簡支-自由梁模型，采用假設模態(tài)法建立柔性臂的動力學模型并進行柔性欠驅動機械臂的動力學耦合分析。相對于傳統(tǒng)建模方法，精準建模的精準性主要體現(xiàn)在三個方面：①傳統(tǒng)建模一般選擇1階線性簡化模型，精準建模選擇2階非線性復雜模型；②傳統(tǒng)建模認為實驗的動邊界條件就是懸臂邊界條件，精準建模認為實驗的動邊界條件是4種邊界條件的耦合；③傳統(tǒng)建模選用經(jīng)典變形理論來建立動力學方程，精準建?？紤]3種變形理論。

柔性機械系統(tǒng)的建模方法主要有假想模態(tài)法、有限元法和集中質(zhì)量法。假想模態(tài)法、有限元法建立的模型只能做定量分析，不能做系統(tǒng)的參數(shù)化分析；集中質(zhì)量法是一種近似考慮方法。本文從理論建模和實驗驗證兩個方面展開，選取Euler-Bernoulli梁模型，結合假想模態(tài)法與拉格朗日法建立柔性臂的動力學模型。通過實驗驗證柔性臂的模態(tài)頻率，找出和實際工況更貼近的理論模型。

1 雙關節(jié)柔性機械手的精準建模

1.1 柔性梁的型函數(shù)

雙關節(jié)柔性機械手是由剛性關節(jié)和柔性關節(jié)組成的復雜剛柔耦合機械手系統(tǒng)。動力學建模的精準性受型函數(shù)類型的影響[5]，而型函數(shù)選擇和動邊界條件又有密切的聯(lián)系[6-7]，下面首先建立不同動邊界條件下的型函數(shù)。

均勻材料等截面梁的彎曲自由振動方程為

(1)

式中，ρ為材料密度；A為橫截面積；E為材料的彈性模量；I為機械手的截面慣性矩；w(x，t)是柔性機械手在任一點x上所對應的變形量。

本文采用假想模態(tài)法進行理論建模，即將每一階模態(tài)表示成模態(tài)坐標和模態(tài)型函數(shù)的乘積，將連續(xù)幾階模態(tài)相加就得到整個柔性機械手上任意一點的振動量：

(2)

式中，Wi(x)為型函數(shù)；qi(x)為Wi(x)對應的模態(tài)坐標。

(3)

λ的數(shù)學表達式為

(4)

式中，f為自然頻率;l為柔性機械手的長度。

柔性機械手的動邊界條件如圖1所示，其中，D、S、M、Q分別為撓度、轉角、彎矩和剪力。

(a)固定-自由D=0,S=0;M=0,Q=0(b)鉸接-自由D=0,M=0;M=0,Q=0

(c)滑動-自由S=0,Q=0;M=0,Q=0(d)轉動-自由S=0,M=0;M=0,Q=0圖1 4種邊界條件Fig.1 Four boundary conditions

將以上4種動邊界的位移、轉角、彎矩和剪力進行統(tǒng)計并列入表1。

表1 梁的4種邊界條件

表2 4種邊界條件對應的型函數(shù)

根據(jù)表2所示的型函數(shù)，由牛頓-二分法可以求解出表3所示的3種梁模型前兩階模態(tài)的相關參數(shù)，其中，ωi為角頻率、Wi(l)為柔性臂末端的型函數(shù)值。在圖1c、圖1d所示的邊界條件下，特征值λi存在為零的情況，所以頻率方程有零根即ω0=0，對應柔性機械手在這兩種邊界條件的剛體運動。

表3 柔性機械手模態(tài)參量值

1.2 雙關節(jié)柔性機械手動力學方程的建立

模型由柔性臂、剛性臂、剛性基座、柔性基座組成。OXY坐標系是固定于平面的慣性參考坐標系；oxy是固定于柔性機械手基座的局部坐標系，會隨著柔性機械手基座的轉動而轉動。3種變形理論下的坐標原理圖分別為圖2～圖4。經(jīng)典變形中，任意點的變形w(x，t)垂直于局部坐標系的x軸，如圖2所示；綜合變形當中，變形量w(x，t)垂直于位置矢量r，如圖3所示；二次變形理論較經(jīng)典變形理論，唯一不同的是在二次變形中考慮柔性機械手的軸向伸長量u，如圖4所示。

圖2 經(jīng)典變形Fig.2 Classical deformation

圖3 綜合變形Fig.3 Comprehensive deformation

圖4 二次變形Fig.4 Secondary deformation

選用廣義坐標來確定系統(tǒng)的空間坐標位置，用拉格朗日方程來描述物體的運動規(guī)律。雙關節(jié)柔性機械手的動能包括柔性臂、剛性梁、剛性梁末端電機等三部分的動能，具體表達式為

(5)

式中，J1為剛性梁繞基座上轉軸的轉動慣量；J2為柔性梁繞基座上轉軸的轉動慣量；θ1、θ2分別為桿1和桿2的剛性旋轉角度；m1為剛性梁末端電機的質(zhì)量；r為柔性臂任意點的位置矢量。

本文所研究的柔性機械手在水平面內(nèi)轉動，可忽略重力影響，故柔性機械手的勢能只包含彈性勢能[8]：

(6)

(7)

i=1,2,…,n

得到系統(tǒng)的拉格朗日動力學方程：

(8)

式中，qi為模態(tài)坐標，i=1,2。

這里取前二階模態(tài)w(x,t)=W1(x)q1(t)+W2(x)q2(t)。

1.2.1雙關節(jié)柔性機械手經(jīng)典變形

根據(jù)圖2可得r在全局坐標系的表達式：

(9)

θ=θ1+θ2

對位置矢量r求導就可以得到相應的速度分量：

(10)

將式(9)、式(10)代入式(5)、式(6)整理化簡，再將化簡后的結果代入式(8)，得到經(jīng)典變形下雙關節(jié)柔性機械手的拉格朗日動力學方程：

(11)

1.2.2雙關節(jié)柔性機械手的綜合變形

根據(jù)圖3可得r在全局坐標系的表達式：

(12)

(13)

1.2.3雙關節(jié)柔性機械手二次變形

根據(jù)圖4可得r在全局坐標系的表達式：

(14)

(15)

(16)

(17)

1.3 理論計算及仿真

為了確定不同邊界條件和變形理論對建模精準性的影響就要進行理論求解和仿真。研究中選用梁的基本參數(shù)如下：梁厚度b=0.2 mm，梁長度L=40 mm，密度ρ=7.7×103kg/m3，橫截面積A=1.85×10-5m2，彈性模量E=200 GPa，中性軸慣性矩I=5.4×10-13m4。電機的輸入軌跡為

(18)

這里以懸臂梁為例計算出經(jīng)典變形理論下的拉格朗日動力學方程，并利用MATLAB求解柔性機械手末端的振動位移。由表2、表3可知，一端固定、一端自由的懸臂梁的前兩階型函數(shù)分別為

W1(x)=cosh4.688x-cos4.688x-
0.734(sinh4.688x-sin4.688x)

(19)

W2(x)=cosh11.735x-cos11.735x-
1.019(sinh11.735x-sin11.735x)

(20)

將以上型函數(shù)以及模型參數(shù)代入式(11)，得到經(jīng)典變形理論下的理論模型：

(21)

(22)

運用MATLAB龍格-庫塔函數(shù)求出對應的模態(tài)坐標q1、q2，通過公式w(x,t)=W1(x)q1(t)+W2(x)q2(t)可以計算出雙關節(jié)柔性機械手末端振動位移并得到其隨時間變化的振動位移-時間圖。同理可得到懸臂梁在二次變形理論和綜合變形理論下的振動位移-時間圖。結合滑動梁、鉸接梁、轉動自由梁這3種動邊界條件下的型函數(shù)，按照上述方法亦可求出雙關節(jié)柔性機械手在另外3種動邊界條件下分別對應不同變形理論時的振動位移-時間曲線，如圖5～圖8所示。從橫向(動邊界條件固定對應不同變形理論)和縱向(變形理論固定對應不同變形理論)兩個角度對理論計算結果進行分析。

圖5 懸臂梁末端振動位移Fig.5 Vibration displacement at the end of a cantilever beam

圖6 滑動梁末端振動位移Fig.6 Vibration displacement at the end of sliding beams

圖7 鉸接梁末端振動位移Fig.7 Vibration displacement at the end of articulated beams

圖8 轉動梁末端振動位移Fig.8 Vibration displacement at the end of rotating beams

橫向分析，動邊界條件固定時，不同的變形理論對柔性機械手末端的邊緣振動位移影響十分的微小，這說明，動邊界一定的前提下，在低速(電機停止時,柔性機械手的轉動速度小于柔性機械手的一階固有角頻率)范圍內(nèi)，3種變形理論對于建模精準性有一定的影響，但是這種影響可以忽略不計?？v向分析，4種動邊界條件對柔性機械手的末端邊緣振動位移影響較大，不同邊界條件下柔性機械手邊緣振動的位移(從大到小)為：懸臂條件、滑動條件、轉動條件、交接條件。此外，動邊界條件對柔性機械手邊緣振動位移的模態(tài)頻率也有較大的影響。

2 雙關節(jié)柔性機械手的模型驗證實驗

從1.3節(jié)的結果分析得知，3種變形理論對理論模型的影響比較小。由于實驗設備局限性,這里只對模型動邊界條件進行驗證。

2.1 實驗目的

雙關節(jié)柔性機械手工作時的邊界條件是一種復雜的耦合狀態(tài)。因此實驗研究的目的是通過對比分析確定哪一種柔性機械手模型與實際工作狀況更為貼近。

2.2 雙關節(jié)柔性機械手實驗測量的基本原理

如圖9所示，利用PC機設定電機的輸入軌跡，電機驅動柔性機械手在1 s內(nèi)轉動π/2后停止轉動，電機停止轉動后雙關節(jié)柔性機械手開始自由振動。通過粘貼在柔性機械手上的電阻應變片測出柔性機械手自由振動的應變橋壓信號，應變橋壓信號經(jīng)過放大和濾波可以得到柔性機械手自由振動末端應變(包括優(yōu)化前應變、優(yōu)化后應變、HySMC優(yōu)化后的應變)。實驗裝置如圖10所示。

圖9 雙關節(jié)柔性機械手的實驗測量原理框圖Fig.9 Experimental measurement block diagram of biaxial joint flexible manipulator

圖10 雙關節(jié)柔性機械手的實物連接圖Fig.10 The connection diagram of the biaxial flexible manipulator

2.3 實驗結果分析

圖11是實驗條件下測得的雙關節(jié)柔性機械手自由振動的應變-時間圖。本文從模態(tài)頻率角度來對比驗證理論模型的正確性，為了方便和理論計算結果進行比較這里取一階模態(tài)。柔性機械手的模態(tài)頻率就是柔性機械手在1 s內(nèi)的振動次數(shù)。通過圖11，可以計算出在1 s 內(nèi)柔性機械手末端自由振動的次數(shù)接近8.5即頻率為8.5 Hz。結合表3的模態(tài)角頻率參數(shù)和公式ωi=2πfi可求出不同邊界條件下的模態(tài)頻率，對比實驗結果如表4所示。

圖11 雙關節(jié)柔性機械手的應變-時間圖Fig.11 Strain-time diagram of flexible manipulator with biaxial joints

懸臂梁滑動梁鉸接梁轉動梁實驗結果fi(Hz)3．054．8513．368．558．5

從表4可以看出，雙關節(jié)柔性機械手的實驗結果最接近于轉動自由梁動邊界條件下的理論建模計算值。

3 結論

(1)基于3種變形理論和4種動邊界條件建立了雙關節(jié)柔性機械手的動力學模型，通過理論計算分析發(fā)現(xiàn)3種變形理論對雙關節(jié)柔性機械手理論建模精準性影響較小，動邊界條件對雙關節(jié)柔性機械手理論建模精確性影響較大。

(2)通過實驗對比了雙關節(jié)柔性機械手在不同動邊界理論模型和實驗條件下的模態(tài)頻率，發(fā)現(xiàn)實驗結果和轉動-自由邊界條件下的理論建模仿真值最吻合，從而得出如下結論：轉動自由梁模型與實際工作狀況更為貼近，其適用于雙關節(jié)柔性機械手的理論建模。

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