沈惠平 許 可 楊廷力 邵國為

常州大學現(xiàn)代機構學研究中心，常州,213016

0 引言

KRUT等提出了一類可實現(xiàn)3T1R的四自由度I4L[1]、I4R[2]、Par4[3]、Heli4[4]并聯(lián)機器人，其中，I4機械手在兩相鄰支鏈末端安裝子平臺，兩子平臺通過齒輪齒條傳動，將兩子平臺間的相對移動轉化為末端執(zhí)行器繞z軸的轉動，但這種結構使動平臺整體尺寸增大；趙鐵石等[5]提出了一種4-URU型3T1R并聯(lián)機器人構型；楊廷力等[6]基于單開鏈理論提出了一類3T1R并聯(lián)構型；黃田等[7]發(fā)明了3種Cross-IV的3T1R型四自由度高速并聯(lián)機械手；劉辛軍等[8]研制出具有一個動平臺的X4型并聯(lián)機器人樣機；FANG等[9]基于螺旋理論，提出了具有相同支鏈的4-DOF和5-DOF的并聯(lián)機構；ANCUTA等[10]提出了一種實現(xiàn)Sch?nflies運動的λ-四滑塊四自由度并聯(lián)機構，并給出了該機構的位置正反解、機構奇異位形和工作空間分析；RICHARD等[11]對一種部分解耦的3T1R并聯(lián)操作手樣機進行了運動學分析。

上述3T1R機構具有如下特點：①4條支鏈結構完全相同，多為約束支鏈，制造、裝配較復雜；②4條支鏈對靜平臺的幾何中心(或2條以上中心線)完全對稱布置(簡稱全對稱)；③耦合度κ較大，為κ=2[12]，機構位置正解、動力學求解較為復雜。

為此，本文首先提出一種含不同支鏈結構(2條約束支鏈、2條無約束支鏈)的3T1R并聯(lián)機構，且僅對靜平臺的對角線對稱布置(簡稱非全對稱)，耦合度較高(κ=2)。為此，采用拓撲結構降耦方法來使機構的耦合度降至為1，但保持其基本功能——方位特征(position and orientation characteristics, POC)及自由度(degree of freedom, DOF)不變；然后，給出了該降耦機構位置正解求解的一維搜索法及其數(shù)值解；最后，分析了該降耦機構的工作空間、轉動能力及奇異性條件。

1 基于POC方程的并聯(lián)機構拓撲設計理論[13]

機構末端運動輸出的POC方程為

(1)

(2)

式中，MJi為第i個運動副的方位特征集；Mbi為第i條支鏈末端的POC集；MPa為機構動平臺的POC集。

并聯(lián)機構的自由度公式為

(3)

(4)

由基于有序單開鏈(single-open-chain，SOC)的機構組成原理知，任一機構可分解為一系列約束度為正、零、負的三種有序單開鏈，單開鏈可視為斷開了某個構件的回路，因此，第j個SOC的約束度定義為

(5)

式中，mj為第j個SOC的運動副數(shù)；fi為第i個運動副的自由度(不含局部自由度)；Ij為第j個SOC的驅動副數(shù)。

進一步，一組有序的υ個SOC可組成一個獨立回路數(shù)為υ的基本運動鏈(basic kinematics chain，BKC)，對一個BKC而言，須有

因此，其耦合度為

(6)

2 3T1R機構設計及其拓撲特性分析

2.1 3T1R機構的設計及特點

由式(1)所示的串聯(lián)機構的POC方程的“并運算”規(guī)則易知，圖1a所示的含4個球副S的平行四邊形復雜支鏈未端產(chǎn)生的POC集為三平移兩轉動(3T2R)，兩轉動(2R)的軸線分別為R21、R22的軸線；由式(2)所示的并聯(lián)機構的POC方程的“交運算”規(guī)則知，當2條這樣的3T2R復雜支鏈在靜平臺0上的轉動副軸線不平行(R21、 R11不平行)時，即可消除其一個轉動而保持繞動平臺1法線(R22或R12)的轉動，從而獲得3T1R輸出；進一步，因該機構的自由度為4，為使每條支鏈僅具有1個驅動副，其他的2條支鏈可由S-P-S、S-S-R等無約束支鏈來實現(xiàn)，因此，本文提出的非全對稱3T1R機構如圖1b所示[14-15]。

(a)產(chǎn)生3T2R的復雜支鏈(b)3T1R機構圖1 3T1R并聯(lián)機構設計Fig.1 The design of a novel 3T1R parallel mechanism

這樣，該機構的靜平臺0與動平臺1之間僅用2條相同的含4個球副的平行四邊形復雜支鏈及2條S-S-R型無約束支鏈連接；靜平臺0上的R21與R11垂直布置，R3與R4可任意布置。從整體上看，該機構僅相對于靜平臺的對角線直線t-t對稱，與具有4條含4S的平行四邊形復雜支鏈的H4、IR4、Par4、X4等完全對稱機構相比，對稱性已有降低，介于完全對稱與完全不對稱之間，稱為非全對稱，但結構簡單，制造成本降低，裝配容易。

2.2 3T1R機構的拓撲特性分析

2.2.1確定并聯(lián)機構動平臺的POC集

4條支鏈的拓撲結構分別為bi：{Ri1(-:(4S))⊥Ri2}(i=1,2)；b3：{R3-S9-S10}；b4：{R4-S12-S11}。

選定動平臺1上的基點O′。確定支路末端構件的POC集。因平行四邊形(4S)的運動輸出等價于2T1R，所示由式(1)得

由式(2)得動平臺POC集：

因此，動平臺1可實現(xiàn)三平移一轉動輸出。

2.2.2確定并聯(lián)機構自由度

此機構可分解為3個獨立回路：

SOC1{-R11(-(4S))⊥R12∥R22(-(4S))⊥R21}

SOC2{-R3-S9-S10-}

SOC3{-R4-S12-S11-}

(1)確定第一個回路的獨立位移方程數(shù)ξL1。由式(3)、式(4)得

(2)確定第二個回路的獨立位移方程數(shù)ξL2。由式(3)、式(4)得

(3)確定第三個回路的獨立位移方程數(shù)ξL3。由式(3)得

(4)確定并聯(lián)機構自由度。由式(4)得

因此，當選取靜平臺0上的4個轉動副R11、R21、R3、R4為主動副時，動平臺1可實現(xiàn)三平移一轉動輸出。

2.2.3確定并聯(lián)機構耦合度κ

確定SOC1、 SOC2、 SOC3的約束度。因2.2.2節(jié)已求得各回路的獨立位移方程數(shù)，即ξLj=6(i=1，2，3)，因此，由式(5)得它們的約束度：

由式(6)得

可見，該機構僅包含一個BKC，但耦合度仍較高(κ=2)，因此，機構位置正解還較復雜[16]。為此，可通過機構拓撲結構降耦方法，將其耦合度降低為1，使其位置正解易用一維搜索法求出，而保持機構的運動輸出類型和自由度不變，即方位特征仍為三平移一轉動。

3 3T1R并聯(lián)機構的結構降耦設計

3.1 降耦機構的設計及POC集分析

現(xiàn)根據(jù)并聯(lián)機構的結構降耦原理和方法[17]，將動平臺1上兩條復雜支鏈末端R12副與R22副軸線重合，從而構成一條混合支鏈；兩條無約束S-S-R支鏈上的布置不變，這樣，可使機構耦合度從2降至為1，但其方位特征和自由度不變,簡稱為降耦機構[18]。降耦后的機構仍僅關于靜平臺對角線t-t對稱，也為非全對稱，如圖2所示。此時，該機構的三條支鏈為

b1：{-R11(-(4S))-R12⊥((4S))R21-R22}

b2：{-S10-S9-R3-}

b3：{-R4-S12-S11-}

圖2 低耦合度的3T1R降耦機構(κ=1)Fig.2 3T1R coupling-reducing PM(κ=1)

選定動平臺1上的基點O′，如圖2所示，確定支路末端構件的POC集。由式(1)，得

確定動平臺POC集。由式(2)，得

因此，動平臺1仍可實現(xiàn)三平移、一轉動輸出。

3.2 降耦機構的自由度分析

降耦機構的三個獨立回路為

SOC1{-R11(-(4S))-R12⊥(4S)⊥R21-}

SOC2{-R22-S10-S9-R3-}

SOC3{-R4-S12-S11-}

(1)確定第一回路的獨立位移方程數(shù)ξL1。由式(3)、式(4)得

(2)確定第二回路的獨立位移方程數(shù)ξL2。第二回路由SOC1、SOC2組成，也可看作由混合支鏈b1和無約束支鏈b2構成，由式(3)、式(4)得

(3)確定第三獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL3。由式(3)、式(4)得

(4)確定并聯(lián)機構自由度。由式(4)得

因此，當選取靜平臺0上的4個轉動副R11、R21、R3、R4為主動副時，動平臺1仍可實現(xiàn)三平移一轉動輸出。

3.3 降耦機構的耦合度κ計算

同樣，由式(5)，分別得確定SOC1、SOC2、SOC3的約束度：

由式(6)得

可見降耦機構也僅包含一個BKC，但其耦合度已降低為1。因此，用基于序單開鏈的一維搜索法較易求得其位置正解。

4 降耦機構的位置分析

4.1 序單開鏈法的位置正解求解原理

由式(5)、式(6)可知，單開鏈的約束度Δj為正值、零、負值三種形式，其物理意義是：

4.2 機構坐標系的建立與參數(shù)標注

如圖3所示，該機構靜平臺0為正方形，邊長為2l1；動平臺1為等邊三角形，邊長為l2。與靜平臺0相連接的4個轉動副R11、R21、R3、R4分布在各邊的中點。

圖3 降耦機構的結構參數(shù)及其標注Fig.3 Structure parameters of coupling-reducing PM

不失一般性，在靜平臺0上建立坐標系OXYZ，O為靜平臺的重心，X軸垂直于R11的軸線，Y軸平行于R11的軸線，Z軸由右手笛卡兒坐標系法則確定；在動平臺1上建立坐標系O′X′Y′Z′，O′為動平臺1的重心，X′軸垂直于R22S11，Y′軸與R22S11平行，Z′軸由右手笛卡兒坐標系法則確定。設R11c、R3S9和X軸正向的夾角分別為θ1、θ3；R21a、R4S12與Y軸正向的夾角分別為θ2、θ4；又設平行四邊形S5S6S7S8平面與Y軸正方向的夾角為虛擬角δ*，ab與X軸正方向的夾角為γ。

為理解方便，將圖3所示機構展開，得到其平面展開俯視圖(圖4)。其中，dR12和S3S4的夾角、和S8S7的夾角均為固定角β。設混合支鏈的各桿長分別為：R11c=R21a=l3，ab=cd=l4，R12b=R12d=l5，R22R12=l6；兩條無約束支鏈的桿長分別為R3S9=R4S12=l7，S9S10=S11S12=l8；設動平臺O′的坐標為(x，y，z)，R22S11與Y軸正向的夾角為動平臺姿態(tài)角α。

圖4 機構構型的俯視展開表達Fig.4 Expression of top view for decoupling mechanism

4.3 位置正解求解

已知輸入角θ1、θ2、θ3、θ4，求動平臺1上O′的坐標(x，y，z)和轉角α。

易知，在靜坐標系OXYZ下，靜平臺1上的4個轉動副R11、R21、R3、R4的坐標分別為(l1,0,0)、(0,-l1,0)、(-l1,0,0)、(0,l1,0)；點c、a及球副S9、S12的坐標分別為(l1+l3cosθ1，0，l3sinθ1)、(0，l3cosθ2-l1，l3sinθ2)、(l7cosθ3-l1，0，l7sinθ3)、(0，l1+l7cosθ4，l7sinθ4)。

(1)在Δ1>0的SOC1上，設定虛擬變量δ*，并求解中間變量γ。對于SOC1{-R11(-(4S))-R12⊥((4S))R21-}，點b、d及轉動副R12的坐標由幾何法求得

(7)

(8)

(9)

注：*表示與虛擬角δ*有關，下同。

由cd=l4，建立約束方程：

整理并化簡得

Asinγ+Bcosγ+C=0

(10)

令tanγ/2=u，則有

(11)

(12)

(13)

則動平臺上R22的坐標為

(14)

由式(8)、式(14)，可得

(15)

同理，可得動平臺1上S10、S11的坐標：

(16)

(17)

由S10S9=l8，建立約束方程：

整理并化簡得

Esinα+Fcosα+G=0

(18)

令tanα/2=tα，解得

(19)

(3)在Δ3<0的SOC3上，建立約束方程。對于SOC3{-R4-S12-S11-}，根據(jù)式(15)、式(17)，由S11S12=l8，建立位置約束方程：

(20)

通過一維搜索，改變虛擬角δ*的賦值，直至滿足式(20)，獲得真實的δ；將其代回位置正解求解式(6)～式(18)，即可求出各個運動副位置的真實值，從而得到該機構的位置正解。

4.4 位置逆解求解

已知動平臺1上O′的坐標(x，y，z)和轉角α，求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4。

4.4.1求機構各點坐標

根據(jù)式(12)、式(13)，可得點b、d的絕對坐標：

(21)

(22)

球副S10、S11的絕對位置坐標，見式(16)、式(17)。

4.4.2建立位置相容方程

由桿長條件，建立以下位置約束方程：

(23)

(24)

(25)

(26)

4.4.3求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4

由式(23)～(26)，可得

(27)

i=1,2,3,4

t1=l3zdt2=l3zbt3=l7zS10t4=l7zS11

綜上可知，當動平臺O′的坐標(x，y，z)和轉角α已知時，輸入角θ1、θ2、θ3、θ4各有兩組解。故逆解數(shù)為16，因此，機構有16種構型。

4.5 正逆解驗證

參考ABB機器人I4R的結構參數(shù)，本機構的2個平行四邊形的尺寸參數(shù)取與之相同[19]，即l1=l2=400 mm，l3=l5=l7=375 mm，l4=l8=800 mm，l6=100 mm，β=90°。

輸入角(θ1，θ2，θ3，θ4)分別取兩組數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)Ⅰ(43.211 5°，141.543 3°，111.793 3°，66.921 9°)；數(shù)據(jù)Ⅱ(50°，120°，120°，60°)。

由MATLAB計算得機構位置正解，見表1。

表1 機構的位置正解

?、裰械?組的正解數(shù)值，代入到逆解求解公式(式(27))中，得到θ1、θ2、θ3、θ4的16組逆解，如表2所示。

表2機構的位置逆解

Tab.2 Numerical solutions of the inverse kinematics (°)

表2中，第10組數(shù)據(jù)θ1=43.211 5°，θ2=141.543 3°，θ3=111.793 3°，θ4=66.921 9°，和正解求解時第Ⅰ組的4個輸入角一致；同樣，用第Ⅱ組中的正解數(shù)據(jù)，也驗證了4個輸入角的一致性，因此，正逆解公式導出正確。

5 降耦機構的工作空間和轉角能力分析

5.1 工作空間分析

降耦機構動的工作空間分析，采用極坐標三維搜索法[20]。先將搜索范圍限制在：300 mm≤z≤1 200 mm，-π≤θ≤π，0≤ρ≤1 000 mm；運用MATLAB軟件編程，得到降耦機構工作空間的三維立體圖(圖5)，圖6為Z向不同高度的X-Y截面圖。

(a)z=300 mm(b)z=460 mm

(c)z=700 mm(d)z=900 mm圖6 降耦機構工作空間的Z截面圖Fig.6 Cross-section of the workspace

圖5、圖6可以看出：

(1)該機構工作空間整體呈近似圓柱狀，對稱性較好，表面光滑。

(2)當300 mm≤z≤460 mm時，該機構的工作空間X-Y截面圖不連續(xù)，存在空洞；當460 mm≤z≤1 175 mm時，截面連續(xù)，且形狀比較規(guī)則，輪廓圓滑；從z=460 mm開始，隨著高度的增加，截面面積逐漸減小。

(3)與同類3T1R機構工作空間體積的比較，由文獻[19]，不考慮轉動副的轉角約束，當高度500 mm≤z≤1 200 mm時，本文計算出I4R機構與降耦機構的工作空間體積分別為6.168 8×108mm3、7.556 3×108mm3；由文獻[21]，當高度766 mm≤z≤1 016 mm時，Cross IV-3機器人與降耦機構工作空間體積分別為4.427 4×108mm3、5.152 9×108mm3。

因此，降耦機構比I4R、CrossIV-3工作空間分別增加了22.53%、16.39%。

5.2 轉動能力分析

轉動能力分析就是評估并聯(lián)機構動平臺的轉動角度范圍，當并聯(lián)機構動平臺基點處于工作空間內(nèi)某一位置時，其姿態(tài)角存在一定范圍。根據(jù)逆解公式，采用極限邊界搜索法，可求出基點處于工作空間內(nèi)任一點時的轉角范圍。

現(xiàn)取z=1 000 mm，分別計算降耦機構和H4機構[22](動平臺未加齒輪傳動)在工作空間內(nèi)X-Y平面上各點轉角最大值αmax與最小值αmin(單位為(°))的分布，如圖7所示。

(a)H4機構的αmax分布

(b)H4機構的αmin分布

(c)降耦機構的αmax分布

(d)降耦機構的αmin分布

分別取兩機構工作空間內(nèi)的相同位置，例：A(100,225,1 000)，得H4機構、降耦機構在該點位置的轉角范圍分別為[-40°,40°](圖7a、圖7b)、[-40°,102°](圖7c、圖7d)，因此，降耦機構轉角范圍增加了77.5%。

同樣，用該方法可求得這兩機構在工作空間內(nèi)其他位置的轉角范圍，對比得：降耦機構的轉角范圍大，因此，降耦機構動平臺無需特殊轉動放大裝置，便可獲得較大的轉角范圍。

6 降耦機構的奇異性分析

6.1 機構奇異性分析方法

JpV=Jqω

(28)

Jq=diag(u11，u22，u33，u44)

f11=xd-xc

f12=yd-yc

f13=zd-zc

f21=xb-xa

f22=yb-ya

f23=zb-za

f31=xS10-xS9

f32=yS10-yS9

f33=zS10-zS9

f41=xS11-xS12

f42=yS11-yS12

f43=zS11-zS12

u11=(zd-zc)l3cosθ1-(xd-xc)l3sinθ1

u22=(zb-za)l3cosθ2-(yb-ya)l3sinθ2

u33=(zS10-zS9)l7cosθ3-(xS10-xS9)l7sinθ3

u44=(zS11-zS12)l7cosθ4-(yS11-yS12)l7sinθ4

依據(jù)Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構的奇異位形分為如下三類：①det(Jq)=0時，機構發(fā)生輸入奇異；②det(Jp)=0時，機構發(fā)生輸出奇異；③det(Jq)=det(Jp)=0時，機構發(fā)生綜合奇異。

6.2 奇異性分析

6.2.1輸入奇異

當機構發(fā)生輸入奇異時，機構的動平臺將失去某個方向的運動能力，此時，至少有一個運動鏈到達了工作空間的邊界。此時det(Jq)=0，方程解的集合為

U={U1∪U2∪U3∪U4}

(29)

U1={(zd-zc)cosθ1-(xd-xc)sinθ1=0}，即R11、c、d三點共線；

U2={(zb-za)cosθ2-(yb-ya)sinθ2=0}，即R21、a、b三點共線；

U3={(zS10-zS9)cosθ3-(xS10-xS9)sinθ3=0}，即R3、S9、S10三點共線；

U4={(zS11-zS12)cosθ4-(yS11-yS12)sinθ4=0}，即R4、S12、S11三點共線；

例1 滿足子集U4的三維構型如圖8所示。

圖8 輸入奇異位形Fig.8 The input singularityof coulping-reducing PM

此時，支鏈R4-S12-S11已經(jīng)到達該支鏈的運動極限位置，即動平臺已經(jīng)到達機構工作的空間邊界。

6.2.2輸出奇異

當所有的主動件鎖住時，動平臺依舊可以產(chǎn)生局部運動，稱為機構發(fā)生輸出奇異。此時，若機構動平臺上作用有限的力，則主動件上將需無窮大的驅動力才能達到力平衡。矩陣Jp的每一行的前三個元素即對應一個向量，取

(f11,f12,f13)=cd

(30)

(f21,f22,f23)=ab

(31)

(f31,f32,f33)=S9S10

(32)

(f41,f42,f43)=S12S11

(33)

若det(Jp)=0，則向量cd、ab、S9S10、S12S11有如下兩種情況：①至少有兩個向量相互平行；②至少有三個向量線性相關。其中，兩個向量平行的幾何意義是：當ab∥S9S10時，有

式中，η為常系數(shù)。

整理得

(34)

對應的三維構型如圖9所示。

圖9 輸出奇異位形舉例(ab∥S9S10)Fig.9 Output singularity of coupling-reducing PM (ab∥S9S10)

即det(Jp)=0，對應的三維構型如圖10所示。

圖10 輸出奇異位形舉例(ab∥cd)Fig.10 Output singularity of coupling-reducing PM(ab∥cd)

6.2.3綜合奇異

綜合奇異時，det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發(fā)生。機構滿足U4且ab∥S9S10，則機構滿足R4、S12、S11三點共線且滿足式(33)，其三維構型，如圖11所示。

圖11 機構的綜合奇異位形舉例Fig.11 Synthetic singularity of coupling-reducing PM

7 結論

(1)設計出一種非全對稱、低耦合度(κ=1)的3T1R并聯(lián)操作手，并求解了其位置正逆解。

(2)工作空間分析表明：當460 mm≤z≤1175 mm時，該機構工作空間較規(guī)則，呈近似圓柱狀且連續(xù)；進一步，工作空間體積比相同參數(shù)的I4R機構大22.53%，比Cross IV-3大16.39%；同時，其轉角范圍大于同類3T1R的H4機構等。

(3)通過奇異位形分析，得到了降耦機構發(fā)生輸入奇異、輸出奇異和綜合奇異的條件。

(4)降耦機構含2條無約束支鏈，結構簡單、制造裝配方便，具有一定的研發(fā)價值。

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