王遠(yuǎn)帆

【摘要】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位，誘導(dǎo)公式之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，其推導(dǎo)方法也是教學(xué)中的一個(gè)重頭戲，在誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程中主要是引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對(duì)稱(chēng)性和任意角終邊的對(duì)稱(chēng)性中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出研究方法.推導(dǎo)過(guò)程中涉及數(shù)形關(guān)系的轉(zhuǎn)換和符號(hào)的判定，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化及化歸的思想方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力、掌握數(shù)學(xué)的思維方法具有重大的意義，并且很好地體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念.

【關(guān)鍵詞】誘導(dǎo)公式；5H2W分析；對(duì)稱(chēng)思想；核心素養(yǎng)

一、問(wèn)題分析

教材利用單位圓中角α的終邊與-α，π±α，π2±α的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，得到角α的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得到誘導(dǎo)公式一到五，但是教材在對(duì)于公式六的推導(dǎo)是“由于π2+α=π-π2-α得到”，在課堂講授時(shí)，學(xué)生對(duì)于此種推導(dǎo)方法仍然存在疑惑，因?yàn)榇朔椒ɑ诠剿暮臀?，?dāng)學(xué)生對(duì)于公式一到五還不太熟悉的情況下，用此種方法進(jìn)行推導(dǎo)，無(wú)疑對(duì)學(xué)生的認(rèn)知設(shè)置了障礙，不利于學(xué)生對(duì)公式的理解與記憶.

二、解決思路

（一）理解教學(xué)，促進(jìn)思考

數(shù)學(xué)教學(xué)要為學(xué)生的長(zhǎng)期利益服務(wù)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考.因此，本節(jié)課在教學(xué)的處理上應(yīng)該提高立意，強(qiáng)調(diào)“研究三角函數(shù)的性質(zhì)”，體現(xiàn)“變換的觀(guān)點(diǎn)”，不必過(guò)分突出與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系.也就是說(shuō)，要注意引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角函數(shù)的定義，做好“從角的終邊（自變量）的對(duì)稱(chēng)性到函數(shù)值的關(guān)系”的過(guò)渡，要圍繞“函數(shù)性質(zhì)”“圓的對(duì)稱(chēng)性的解析表示”去設(shè)計(jì)啟發(fā)性的問(wèn)題串.

（二）理解學(xué)生，有效突破難點(diǎn)

學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)主要包括：函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程與方法、任意角的三角函數(shù)概念、圓的對(duì)稱(chēng)性及其坐標(biāo)表示等.

學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的難點(diǎn)主要有：

（1）公式有多個(gè)，增加了學(xué)生認(rèn)知的負(fù)擔(dān)，容易遺忘和記憶不準(zhǔn)確；

（2）學(xué)生難以獨(dú)立從函數(shù)性質(zhì)的角度提出誘導(dǎo)公式的問(wèn)題、研究思路與方法；

（3）在以往的學(xué)習(xí)中，對(duì)直角坐標(biāo)系中關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)間的關(guān)系沒(méi)有進(jìn)行過(guò)透徹研究.

突破難點(diǎn)的策略：

（1）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)任意角三角函數(shù)概念與“圓的對(duì)稱(chēng)性”的聯(lián)系探究三角函數(shù)的性質(zhì)，形成“一線(xiàn)串通”的思考鏈；

（2）在誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)教學(xué)中，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性關(guān)系的難易，采取不同的教學(xué)方式，通過(guò)教師的指導(dǎo)加以調(diào)控；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“從角的終邊（自變量）的對(duì)稱(chēng)性到函數(shù)值的關(guān)系”的探究過(guò)程，并通過(guò)觀(guān)察思考角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，概括公式.

（三）滲透對(duì)稱(chēng)思想

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式具有周期性以及對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知任意角的三角函數(shù)值是由角的終邊位置決定的，以360°為周期，任意角的三角函數(shù)值都能化為0～360°的內(nèi)角的三角函數(shù)值.根據(jù)數(shù)學(xué)中對(duì)角的定義，任意角α的終邊和-α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，π+α角的終邊與α角的終邊是反向延長(zhǎng)的關(guān)系，π-α角的終邊與-α角的終邊也是反向延長(zhǎng)的關(guān)系.根據(jù)任意角的對(duì)稱(chēng)性以及周期性來(lái)對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行理解就比較簡(jiǎn)單，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到180°的三角函數(shù).

單位圓中，

sinα=y，cosα=x，tanα=yx

由角α的終邊與-α，π±α的對(duì)稱(chēng)關(guān)系得到公式一到四

α180°+α

終邊關(guān)系角180°+α的終邊就是角α終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)

點(diǎn)的關(guān)系P（x，y）P′（-x，-y）

函數(shù)關(guān)系sinα=ycosα=xsin（180°+α）=ycos（180°+α）=-x

απ-α

終邊關(guān)系關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)的關(guān)系P（x，y）P′（-x，y）

函數(shù)關(guān)系sinα=ycosα=xsin（π-α）=ycos（π-α）=-x

α-α

終邊關(guān)系關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)的關(guān)系P（x，y）P′（x，-y）

函數(shù)關(guān)系sinα=ycosα=xsin（-α）=-ycos（-α）=x

（四）化歸遷移

公式一到四的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷了“突出知識(shí)形成過(guò)程，滲透化歸思想”的轉(zhuǎn)變.公式一到四的結(jié)論都是三角函數(shù)名不變；而公式五就開(kāi)始出現(xiàn)函數(shù)名發(fā)生改變的公式，而此時(shí)，雖然公式表征發(fā)生變化，但是其核心的數(shù)學(xué)思維仍然是對(duì)稱(chēng)思想，這可以作為學(xué)生對(duì)于公式一到四研究方法的一個(gè)檢測(cè).

從圖中發(fā)現(xiàn)角α的終邊

與π2±α的位置關(guān)系

由兩角的特殊關(guān)系，構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形，從對(duì)應(yīng)邊關(guān)系過(guò)渡到坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

利用坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出公式五、六

三、實(shí)施與改進(jìn)

采用“5H2W分析”法，對(duì)比兩次實(shí)施（見(jiàn)下表）：

第一次實(shí)施第二次實(shí)施為什么改變

What（對(duì)象）由π2+α=π-π2-α直接得出結(jié)論

利用單位圓分析變化前后坐標(biāo)的關(guān)系

從學(xué)生已有知識(shí)入手，有利于學(xué)生從圖形的對(duì)稱(chēng)性中發(fā)現(xiàn)規(guī)律

Who

教師講授，學(xué)生被動(dòng)接受

學(xué)生為探討主體

激發(fā)學(xué)生求知欲

When

誘導(dǎo)公式六的引入

理解誘導(dǎo)公式五的推導(dǎo)方法后

順序沒(méi)有發(fā)生變化，變化的是學(xué)生接受新公式的思維鋪墊

Where

課堂上，教師講授

課堂上，學(xué)生討論分析后總結(jié)

由教師主導(dǎo)轉(zhuǎn)向?qū)W生主導(dǎo)

Why

學(xué)生被動(dòng)接受新知

學(xué)生主動(dòng)分析，得出結(jié)論endprint

可檢測(cè)學(xué)生對(duì)于之前的推導(dǎo)理解與掌握程度

How

由公式四、五推導(dǎo)而得

利用全等三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，得出坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

揭示三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的對(duì)稱(chēng)本質(zhì)

層次分析

完全采用教材的方法，缺少加工，屬于層次二

從學(xué)生角度出發(fā)，“一線(xiàn)串通”，理解函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

為學(xué)生往后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)

四、收獲與反思

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求把三角函數(shù)作為一種描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究.在建立了三角函數(shù)的概念后，下面要研究的問(wèn)題理所當(dāng)然就應(yīng)該是“三角函數(shù)是如何刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的？”“刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的這一數(shù)學(xué)模型有著怎樣的性質(zhì)？”這是數(shù)學(xué)研究的基本過(guò)程.其實(shí)，無(wú)論是誘導(dǎo)公式，還是后面一章的“三角變換”，其本質(zhì)都是研究三角函數(shù)所具有的性質(zhì).

對(duì)數(shù)學(xué)元認(rèn)知起點(diǎn)的選擇要基于知識(shí)體系最本源的地方，以體現(xiàn)公式本質(zhì)的問(wèn)題串組織教學(xué)，努力揭示公式的形成過(guò)程.根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生一談到“誘導(dǎo)公式”，就有一種懼怕的心理，害怕公式記得不準(zhǔn)確.學(xué)生為什么害怕公式記得不準(zhǔn)確呢？因?yàn)閷W(xué)生腦海中僅僅是幾個(gè)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，缺乏對(duì)這些數(shù)學(xué)符號(hào)的具體經(jīng)驗(yàn)感受.因此，有必要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象這一過(guò)程，感受到公式的本質(zhì).正如蘇霍姆林斯基所說(shuō)的那樣：知識(shí)只有從人的內(nèi)在精神力量與人所認(rèn)識(shí)的世界的融合中產(chǎn)生出來(lái)時(shí)，知識(shí)才能成為一種福利.因而，領(lǐng)著學(xué)生到思維的源地去旅行是具有重大意義的.這些地方，形象地說(shuō)，就有滋養(yǎng)渴望知識(shí)的細(xì)根，這些地方就會(huì)使學(xué)生萌發(fā)出一種愿望，從數(shù)學(xué)理論內(nèi)部設(shè)置問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，數(shù)學(xué)理論的建立往往有兩條路徑：第一，源于解決實(shí)際問(wèn)題的需要；第二，源于數(shù)學(xué)理論內(nèi)部.而源于數(shù)學(xué)理論內(nèi)部的數(shù)學(xué)理論在建立時(shí)人們并不知道其有何作用，有些甚至到目前為止還不知道它們有何作用，這一點(diǎn)正是數(shù)學(xué)理性精神的體現(xiàn).

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)概念之后的新授課，所提出的問(wèn)題都是從數(shù)學(xué)概念內(nèi)部提出的問(wèn)題，其目的就是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)理論的建立不僅僅來(lái)源于解決實(shí)際問(wèn)題的需要，從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問(wèn)題也是建立數(shù)學(xué)理論的一種手段，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生理性精神的教學(xué)目的.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師引導(dǎo)下能動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使自己得到全面發(fā)展的過(guò)程.在這一過(guò)程中，學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)，知識(shí)是載體，發(fā)展是目的.endprint