潘 杰 王武杰 魏耀奇 陳軍斌 王亮亮

1.西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院/博士后創(chuàng)新基地 2. 中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油與天然氣工程博士后科研流動(dòng)站3.中國(guó)石油長(zhǎng)慶油田公司第四采氣廠

在有水氣藏開(kāi)發(fā)中后期，氣藏壓力逐漸降低、氣井產(chǎn)水量逐漸增大，使得氣流難以攜帶井底產(chǎn)出水到達(dá)地面，從而在井底產(chǎn)生積液[1]。氣井積液會(huì)增大井底回壓，導(dǎo)致氣井產(chǎn)量下降，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)核罋饩斐赏．a(chǎn)[2-3]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)氣井積液提出了不同的臨界攜液流速計(jì)算模型。Turner等[4]根據(jù)質(zhì)點(diǎn)力平衡理論首次提出了氣井連續(xù)攜液計(jì)算模型，但其預(yù)測(cè)值偏大。此后，許多學(xué)者對(duì)Turner模型進(jìn)行了修正[5-8]，其中李閩模型[6]在國(guó)內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用。王志彬和李穎川[9]、周瑞立等[10]和熊鈺等[11]基于橢球形液滴假設(shè)分別建立了具有良好通用性的臨界攜液流速計(jì)算模型。譚曉華和李曉平[12]基于液滴總表面自由能與氣流總湍流動(dòng)能的相等關(guān)系，建立了臨界攜液流速計(jì)算模型，但是該模型并沒(méi)有考慮液滴變形以及變形對(duì)液滴表面自由能的影響。本文基于液滴總表面自由能與氣流總湍流動(dòng)能的相等關(guān)系，建立了考慮液滴直徑、液滴變形及變形對(duì)液滴表面自由能影響的氣井臨界攜液流速計(jì)算模型。

1 模型建立

Taitel等[13]認(rèn)為：液滴尺寸由使其破碎的湍流力和使其保持完整的表面張力共同決定。在氣井井筒霧狀流條件下，液相主要以液滴的形式存在，當(dāng)氣相湍流力大于氣液相界面的表面張力時(shí)，液滴將破碎為更小直徑的液滴；反之，當(dāng)氣相湍流力小于氣液相界面的表面張力時(shí)，液滴會(huì)發(fā)生聚并，形成較大直徑的液滴。由此可知：穩(wěn)定存在的最大液滴，其湍流力與表面張力相等。受迎風(fēng)面與背風(fēng)面壓差影響，氣流中液滴會(huì)發(fā)生微小變形[1]，從而隨氣相雷諾數(shù)的改變呈現(xiàn)出不同的液滴形狀。液滴變形會(huì)直接導(dǎo)致：①迎風(fēng)面面積增加，曳力系數(shù)增大，液滴更易于被氣流攜帶；②單液滴的表面自由能增加，在氣相總湍流動(dòng)能不變時(shí)，液滴最大直徑也相應(yīng)增大。本文在建立模型時(shí)做出以下假設(shè)：①液相全部以最大液滴的形式存在；②液滴為橢球形，如圖1所示。

基于上述假設(shè)，分析了液滴變形對(duì)液滴的最大迎風(fēng)面直徑、臨界攜液流速、曳力系數(shù)的影響，提出了新的臨界韋伯?dāng)?shù)與液滴變形參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并采用了考慮壓力和溫度影響的表面張力計(jì)算公式，最終建立了考慮液滴形狀影響的氣井臨界攜液流速計(jì)算模型。

1.1 液滴最大迎風(fēng)面直徑

液相受氣流剪切作用會(huì)在井筒內(nèi)形成一定數(shù)量的液滴，單位時(shí)間所對(duì)應(yīng)的液滴數(shù)目如下：

圖1 液滴變形及受力分析示意圖

式中N表示液滴數(shù)目，個(gè)；vsl表示液相表觀流速，m/s；A表示流道截面面積，m2；d表示液滴的迎風(fēng)面直徑，m。

液滴變形參數(shù)定義如下：

式中K表示液滴變形參數(shù)，無(wú)量綱；dE為橢球形液滴的迎風(fēng)面直徑，m；dB為球形液滴的直徑，m。

單液滴表面積可按下式計(jì)算：

式中s表示單液滴表面積，m2；h表示橢球形液滴的短軸長(zhǎng)度，m。

由于液滴變形后體積不變，因此有：

將式（4）代入式（3），則單液滴表面積可進(jìn)一步表示為：

故液滴的總表面積計(jì)算如下：

式中S表示液滴總表面積，m2。

Adamson等[14]指出單位時(shí)間內(nèi)液滴的總表面自由能可按下式計(jì)算：

式中Es表示液滴總表面自由能，W；σ表示氣液界面的表面張力系數(shù)，N/m。

因此，單位時(shí)間內(nèi)液滴的總表面自由能為：

White 指出單位時(shí)間所對(duì)應(yīng)的單位體積內(nèi)氣相湍流動(dòng)能為：

式中eT表示單位體積氣相的湍流動(dòng)能，W/m3；ρg表示氣體密度，kg/m3； 表示徑向脈動(dòng)速度，m/s；表示切向脈動(dòng)速度，m/s； 表示軸向脈動(dòng)速度，m/s。

考慮到井筒內(nèi)通常為湍流，且雷諾數(shù)較大，可認(rèn)為流動(dòng)具有各向同性，即因此

故單位時(shí)間連續(xù)氣相的總湍流動(dòng)能為：

式中ET表示氣相總湍流動(dòng)能，W；vsg表示氣相表觀速度，m/s。

Taitel和Dukler[16]指出，徑向湍流脈動(dòng)速度的均方根約等于摩擦速度，如下式：

式中v*表示摩擦速度，m/s；fsg表示氣相表觀流速下的摩擦系數(shù)。

將式（12）代入式（11）可得：

根據(jù)液滴的總表面自由能與氣相總湍流動(dòng)能相等的關(guān)系，可以得到液滴最大迎風(fēng)面直徑計(jì)算如下：

式中當(dāng)K＝1時(shí)，d表示球形液滴的直徑，m；當(dāng)K≠1時(shí)，d表示橢球液滴的迎風(fēng)面直徑，m。

1.2 臨界攜液流速

在垂直井筒中，液滴受浮力、曳力和重力的共同作用（圖1），在臨界攜液流速條件下單個(gè)液滴受力處于平衡狀態(tài)，即

式中Fg表示浮力，N；FD表示曳力，N；G表示重力，N。浮力計(jì)算公式為：

式中g(shù)表示重力加速度，m/s2。

重力計(jì)算公式為：

式中ρl表示液滴密度，kg/m。

曳力計(jì)算公式為：

式中CD表示曳力系數(shù)；SE表示液滴的迎風(fēng)面面積，m2；Δp表示液滴迎風(fēng)面與背風(fēng)面所受壓差，Pa。

橢球形液滴的迎風(fēng)面面積可按下式計(jì)算：

根據(jù)Bernoulli方程，液滴迎風(fēng)面與背風(fēng)面所受壓差：

式中vc表示臨界攜液流速，m/s。

將式（19）、（20）代入式（18）中，可得橢球形液滴的曳力計(jì)算公式為：

將式（16）、（17）和（21）代入式（15）中，整理可得：

根據(jù)Orkiszewski[17]流動(dòng)形態(tài)界限判別法和流型過(guò)渡準(zhǔn)則[18]，臨界攜液流速的表達(dá)式可進(jìn)一步表示為：

氣體臨界攜液流量表示如下：

式中qc表示臨界攜液流量，m3/d；Z表示氣體壓縮系數(shù)；T表示熱力學(xué)溫度，K；p表示壓力，MPa。

1.3 曳力系數(shù)

曳力系數(shù)與液滴形狀和雷諾數(shù)（Re）有關(guān)[11]。已有的曳力系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式較多，包括經(jīng)Brown和Lawler[19]驗(yàn)證過(guò)的Clift & Gauvin模型[20]、Flemmer& Banks模型[21]、Khan & Richardson模型[22]、Haider & Levenspiel模型[23]，以及GP模型[24]、邵明望模型[25]和Brauer模型[26]。本文參考文獻(xiàn)[11,27]認(rèn)為Brauer模型[26]的擬合效果最好。圖2給出了上述模型計(jì)算的曳力系數(shù)值隨雷諾數(shù)的變化曲線。對(duì)比發(fā)現(xiàn)經(jīng)Brown和Lawler驗(yàn)證過(guò)的前四種模型計(jì)算結(jié)果比較接近。在Re＜100時(shí)，Brauer模型、GP模型、邵明望模型的計(jì)算值偏差不大，但隨著Re的增大，邵明望模型的計(jì)算值急劇減小，與其他模型計(jì)算的結(jié)果差異較大。當(dāng)Re＜2×103時(shí)，Brauer模型和GP模型的計(jì)算結(jié)果比較接近。隨Re的增加，Brauer模型的計(jì)算值變化不大，在0.40～0.41之間，這也解釋了基于球形液滴假設(shè)的臨界攜液流速模型一般將曳力系數(shù)值取在0.4左右的原因。在高雷諾數(shù)（2×105≤Re＜1×106）范圍內(nèi)，GP模型的計(jì)算結(jié)果偏小，可靠性較低。本文分別將GP模型[24]、邵明望模型[25]、Brauer模型[26]和Clift & Gauvin模型[20]的擬合計(jì)算公式進(jìn)行驗(yàn)算，將結(jié)果與氣井實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比后發(fā)現(xiàn)針對(duì)氣井井筒的高雷諾數(shù)湍流流動(dòng)，Brauer模型的計(jì)算結(jié)果最為準(zhǔn)確。

圖2 不同模型曳力系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

上述模型均是基于剛性球體得到的，但是液滴變形后并非球體，且液滴內(nèi)部流動(dòng)的影響也勢(shì)必使得曳力系數(shù)值與上述模型計(jì)算的結(jié)果有偏差。Liu和Reitz[28]認(rèn)為扁平體曳力系數(shù)是圓球體的3.632倍，橢球體的曳力系數(shù)介于扁平體與剛性球體之間。Helenbrook和Edwards[29]指出由于液滴內(nèi)部流動(dòng)的影響使得液滴較相同尺寸的剛性球體的曳力系數(shù)小。王志彬和李穎川[9]將球形顆粒在高雷諾數(shù)的曳力系數(shù)（0.424）降低15%作為剛性橢球的曳力系數(shù)，并綜合考慮液滴變形和液滴內(nèi)部流動(dòng)對(duì)其進(jìn)行修正，得到橢球體的曳力系數(shù)表達(dá)式為：

本文將Brauer模型基于圓球體的曳力系數(shù)計(jì)算值增大20%，作為變形橢球體的曳力系數(shù)，即

1.4 臨界韋伯?dāng)?shù)與液滴變形參數(shù)

臨界韋伯?dāng)?shù)受氣相流速與液相流速的影響，一般采用下式計(jì)算[30]：

式中Wec表示臨界韋伯?dāng)?shù)；λ表示中間變量，；Gle表示液滴的質(zhì)量流量，kg/（m2·s）。

液滴變形參數(shù)一般通過(guò)臨界韋伯?dāng)?shù)確定。王志彬和李穎川[9]利用麥夸特法和通用全局優(yōu)化法擬合并提出臨界韋伯?dāng)?shù)和液滴變形參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：

熊鈺等[11]提出的臨界韋伯?dāng)?shù)和液滴變形參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：

采用本文參考文獻(xiàn)[31]給出的橢球表面積計(jì)算公式計(jì)算液滴內(nèi)能的增量，并忽略液滴之間的傳熱與傳質(zhì)，基于能量守恒原理建立了新的臨界韋伯?dāng)?shù)和液滴變形參數(shù)函數(shù)關(guān)系式：

圖3對(duì)本文提出的液滴變形參數(shù)模型和王志彬和李穎川[9]提出的模型進(jìn)行了比較，認(rèn)為整體符合程度較好，在Wec=1時(shí)，兩者相對(duì)誤差為－11.7%。但本文模型同時(shí)避免了熊鈺所提出模型存在的復(fù)雜積分求解以及王志彬計(jì)算模型存在的變形參數(shù)高次項(xiàng)的解析計(jì)算過(guò)程?？紤]到王志彬建立的模型，其變形參數(shù)取最大液滴破碎時(shí)的值，而尺寸略小的液滴只發(fā)生變形而不會(huì)破碎，且變形程度不如大液滴。因此將本文提出的液滴變形參數(shù)模型計(jì)算結(jié)果下調(diào)10%。

圖3 液滴變形參數(shù)與臨界韋伯?dāng)?shù)的關(guān)系曲線圖

1.5 氣液界面的表面張力

工程應(yīng)用中，Turner等[4]推薦氣液界面的表面張力為0.06 N/m。但表面張力會(huì)隨壓力和溫度變化而改變，本文在模型驗(yàn)證過(guò)程中，采用本文參考文獻(xiàn)[32]給出的考慮壓力和溫度影響的表面張力計(jì)算公式為：

式中σ表示溫度為t ℃時(shí)水的表面張力，mN/m；t表示溫度，℃；σ(23.33)表示溫度為23.33 ℃時(shí)水的表面張力，σ(23.33)=76 exp(－0.036 257 5 p)，mN/m；σ(137.78)表示溫度為137.78 ℃時(shí)水的表面張力，σ(137.78)=52.5－0.870 18 p，mN/m。

2 模型對(duì)比與實(shí)例驗(yàn)證

表1對(duì)常見(jiàn)的臨界攜液模型進(jìn)行了對(duì)比。Turner模型[4]、李閩模型[6]和王毅忠模型[7]都將液滴視為剛性體，并給定曳力系數(shù)的值，最終模型表達(dá)式的系數(shù)為定值；王志彬模型[9]、熊鈺模型[11]和本文模型均考慮了液滴的連續(xù)變形，且曳力系數(shù)采用氣井實(shí)際參數(shù)計(jì)算獲得，因此表達(dá)式的系數(shù)不再是常數(shù)。

表1 氣井臨界攜液模型對(duì)比表

分別采用上述模型對(duì)現(xiàn)場(chǎng)44口氣井是否積液進(jìn)行了預(yù)測(cè)。其中15口氣井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)來(lái)自本文參考文獻(xiàn)[6]，井筒的平均溫度取322 K，平均壓縮因子取0.845，29口氣井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)來(lái)自本文參考文獻(xiàn)[33]，井筒的平均溫度取310 K，平均壓縮因子取0.8。采用的氣井基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如下：油管內(nèi)徑為0.062 m，天然氣相對(duì)密度的平均值取0.6，礦化水密度取1 074 kg/m3，氣水界面張力按式（31）計(jì)算。天然氣密度均采用下式計(jì)算[6]：

式中γg表示天然氣相對(duì)密度。

圖4和圖5將不同臨界攜液模型的計(jì)算結(jié)果和氣井實(shí)際情況進(jìn)行了比較。圖中積液氣井臨界攜液流量計(jì)算結(jié)果處于對(duì)角線上側(cè)或者未積液氣井預(yù)測(cè)值處于對(duì)角線下側(cè)，即認(rèn)為模型對(duì)積液判斷正確，否則認(rèn)為判斷錯(cuò)誤；對(duì)接近積液的氣井，預(yù)測(cè)值與實(shí)際產(chǎn)氣量的偏差處于±15%內(nèi)（圖中2條虛線之間）即認(rèn)為模型預(yù)測(cè)結(jié)果與氣井實(shí)際情況符合，否則認(rèn)為預(yù)測(cè)結(jié)果偏大或偏小。從圖4可以看出，Turner模型[4]得到的臨界攜液流量明顯偏大。熊鈺模型[11]由于采用了GP模型，高雷諾數(shù)氣井流動(dòng)狀態(tài)下求解的曳力系數(shù)值過(guò)小，導(dǎo)致其預(yù)測(cè)值也偏大。兩者對(duì)9口接近積液的氣井，其預(yù)測(cè)值遠(yuǎn)大于實(shí)際產(chǎn)氣量，且均對(duì)16口未積液氣井全部產(chǎn)生誤判。王志彬模型[9]的臨界攜液流量預(yù)測(cè)值小于Turner模型[4]和熊鈺模型[11]，但對(duì)9口接近積液氣井的預(yù)測(cè)結(jié)果同樣偏大，且對(duì)9口未積液氣井產(chǎn)生誤判。王毅忠模型[7]的預(yù)測(cè)結(jié)果略有偏小，對(duì)1口積液氣井產(chǎn)生誤判，對(duì)6口接近積液氣井的預(yù)測(cè)偏差超出±15%范圍。本文模型和李閩模型[6]的預(yù)測(cè)結(jié)果比較接近，兩者對(duì)積液和未積液氣井全部判斷正確。對(duì)接近積液的9口氣井，本文模型的計(jì)算結(jié)果與氣井實(shí)際情況符合更好，僅有1口氣井的預(yù)測(cè)偏差超出±15%范圍，平均偏差僅為7.8%，小于李閩模型10%的平均偏差。

圖4 Turner模型、熊鈺模型和王志彬模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

圖5 李閩模型、王毅忠模型和本文模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

3 結(jié)論

1）基于能量守恒原理建立了新的臨界韋伯?dāng)?shù)和液滴變形參數(shù)函數(shù)關(guān)系式，與現(xiàn)有計(jì)算模型相比，計(jì)算結(jié)果整體符合程度較好，同時(shí)可避免熊鈺模型存在的復(fù)雜積分求解以及王志彬模型中煩瑣的變形參數(shù)高次項(xiàng)的解析求解過(guò)程。

2）新模型綜合考慮了液滴直徑、液滴變形及變形對(duì)液滴表面自由能的影響，臨界攜液流速計(jì)算模型表達(dá)式的系數(shù)不再為常數(shù)，而與液滴變形參數(shù)與曳力系數(shù)有關(guān)。

3）結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)44口氣井實(shí)際生產(chǎn)情況，將本文模型與現(xiàn)有臨界攜液流速模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明本文模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與氣井實(shí)際狀況符合最好，可用于氣井積液的判斷。

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