王志月 高德利 刁斌斌 胡德高

1.中國石油大學(xué)石油工程教育部重點實驗室 2.中石化重慶涪陵頁巖氣勘探開發(fā)有限公司

頁巖氣開發(fā)過程中，在叢式水平井井網(wǎng)部署方式確定以后，所面臨的關(guān)鍵問題之一就是平臺位置優(yōu)選，主要包括確定平臺的位置和數(shù)量，確定每個平臺與靶點的對應(yīng)關(guān)系。由于叢式水平井投資巨大，對平臺位置進行優(yōu)選能夠有效降低鉆井費用。Devine和Lesso[1]最早針對海上平臺位置優(yōu)選問題進行了研究。此后，諸多學(xué)者對此問題進行了探討，所建立優(yōu)化模型的目標函數(shù)主要包括總井深最小、水平位移之和最小[2-4]及鉆井費用最少[5-10]，模型求解算法主要包括隱式枚舉法[5,7]、圖論算法[2,10]、聚類分析法[3]及遺傳算法[4]等。上述研究中，通常將常規(guī)定向井和水平井作為研究對象，在以鉆井費用作為優(yōu)化目標時，目標函數(shù)通常是單井鉆井費用的累加。然而，隨著“井工廠”技術(shù)的不斷發(fā)展[11-12]和應(yīng)用[13-15]，“井工廠”模式所產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效應(yīng)對鉆井費用起到重要影響，也是影響平臺位置優(yōu)選的一個重要因素。

1 “井工廠”鉆井學(xué)習(xí)指數(shù)

“井工廠”模式下，若所鉆井的井型相似，則隨著鉆井數(shù)量的增加，平均單井鉆井費用會出現(xiàn)降低的趨勢。其原因主要是由于對同一平臺上多口井進行流水線作業(yè)即依次一開、固井，二開、再依次固完井[16]，通過新型鉆井液重復(fù)利用降低鉆井液用量[17-18]。并且隨著鉆井數(shù)量的增加，作業(yè)者會更加熟悉地層情況，獲得更多的鉆井經(jīng)驗從而提高鉆井效率。這種現(xiàn)象可以用學(xué)習(xí)曲線來表征，Ikoku[19]首先提出了鉆井學(xué)習(xí)曲線的方程：

式中n表示鉆井次序；gn表示第n口井的鉆井費用。a、b表示針對某一區(qū)塊通過非線性回歸估算的參數(shù)。

圖1給出了單井鉆井費用隨著鉆井次序的變化趨勢。

圖1 單井鉆井費用與鉆井次序關(guān)系的示意圖

Brett和Millheim[20]改進了Ikoku的學(xué)習(xí)曲線表達式，并給出了一個更符合實際的方程為：

式中C1表示鉆最后1口井與鉆第1口井相比所節(jié)約的費用；C2表示表征學(xué)習(xí)效率的一個常數(shù)；C3表示學(xué)習(xí)曲線的漸近線，表示鉆井極限費用。

為更好地評價“井工廠”模式下學(xué)習(xí)效應(yīng)對叢式井平均單井鉆井費用的影響，筆者提出了鉆井學(xué)習(xí)指數(shù)的概念，在鉆井學(xué)習(xí)曲線已知的前提下，定義每個平臺鉆n口井的平均單井鉆井費用與該平臺上鉆第一口井的鉆井費用的比值為鉆井學(xué)習(xí)指數(shù)，根據(jù)式（2）可得鉆井學(xué)習(xí)指數(shù)的表達式為：

式中I(n)表示鉆n口井的鉆井學(xué)習(xí)指數(shù)。

2 “井工廠”模式下平臺位置優(yōu)化模型

叢式水平井平臺位置優(yōu)化問題可表述為：在給定水平井水平段位置的前提下，優(yōu)選平臺位置、數(shù)量以及平臺與水平段的分配使總的鉆井費用最小。顯然這屬于0-1整數(shù)規(guī)劃問題，首先需要對目標函數(shù)和約束條件進行闡述，然后建立最優(yōu)化模型。

在頁巖氣開發(fā)總費用中，鉆井費用及壓裂費用所占比例極大，但由于壓裂費用不受平臺與水平段間相對位置的影響，因此在進行平臺位置優(yōu)化時不考慮在內(nèi)。單井鉆井費用與井眼軌道、套管設(shè)計、鉆完井技術(shù)等密切相關(guān)，在鉆完井施工方案確定的前提下，單井鉆井費用可看作關(guān)于水平段長度、井口與水平段首靶點間橫向位移和縱向位移的函數(shù)。圖2表示平臺位置與水平段之間的相對位置關(guān)系，O點代表平臺，AB代表水平段。

圖2 平臺位置與水平段之間的相對位置示意圖

參照本文參考文獻[8]，本文所采用的第j個平臺完成的第i口井的單井鉆井費用的函數(shù)表達為fi,j（li,σi,j, ηi,j），即

其中

式中l(wèi)i、σi,j和ηi,j分別表示第i個水平段的長度、第i個水平段與第j個平臺之間的縱向偏距和橫向偏距；d1、d2、d3、d4、d5表示單井鉆井費用的相關(guān)系數(shù)；Xj、Yj表示第 j個平臺的中心點坐標 ；xA,i、yA,i、xB,i、yB,i分別表示第i個水平段跟端和指端的坐標。

若考慮平臺建設(shè)費用，則平臺建設(shè)費用可看作關(guān)于平臺鉆井數(shù)量的函數(shù)，其表達式為：

式中Pj表示第j個平臺的建設(shè)費用；μ表示單位面積平臺的建設(shè)費用；Nj表示第j個平臺的鉆井數(shù)量；a0、b0為常數(shù)。

約束條件主要包括每個平臺所允許的最大鉆井數(shù)量，單井最大鉆井費用以及單井的軌道復(fù)雜度等，其中，軌道復(fù)雜度的約束體現(xiàn)在鉆井費用的函數(shù)表達式里。綜上所述，可得到考慮“井工廠”學(xué)習(xí)效應(yīng)的平臺位置優(yōu)化模型。

目標函數(shù)：

約束條件：

且

其中，Z表示總的鉆井費用；I(Nj)表示第j個平臺鉆Nj口井的鉆井學(xué)習(xí)指數(shù)；Np表示待建平臺數(shù)量；Nw表示待鉆井數(shù)量；Pj表示第j個平臺的建造費用。ti,j為決策變量，若第i口井由第j個平臺完成，ti,j=1，否則ti,j=0。式（9）表示每口井只能分配給一個平臺，式（10）表示每個平臺的鉆井數(shù)量不能超過其最大容量。式（11）表示單井鉆井費用不能超過所允許的最大鉆井費用。式（10）和式（11）同時可以保證同一個平臺所鉆井的井型相似，以更好地應(yīng)用“井工廠”技術(shù)。

3 求解方法

針對所建立的優(yōu)化模型，本文采用遺傳算法進行求解。遺傳算法是模擬自然界生物進化過程的隨機搜索算法，依照優(yōu)勝劣汰的原則，通過基因編碼、選擇、交叉、變異等操作使得子代個體較父代個體能夠更好地適應(yīng)給定的適應(yīng)度函數(shù)，從而得到問題的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解[21]。

3.1 初始化與編碼

初始種群通過隨機選擇產(chǎn)生，在編碼過程中采用二進制編碼，如果待鉆井數(shù)和平臺數(shù)分別為Nw和Np，則決策矩陣為Nw×Np。決策矩陣中，每行有且只有一個1，表示每口井只能由一個平臺完成鉆井，各列之和不能大于Nmax，表示平臺的鉆井數(shù)量不能超過其最大容量。為方便運算，將決策矩陣轉(zhuǎn)換成含有Nw×Np個元素的向量，并代表一個染色體。以3個平臺3口井為例，編碼過程如下：

3.2 選擇

在選擇操作中，依據(jù)給定的適應(yīng)度函數(shù)選擇適應(yīng)度函數(shù)值最高的染色體進行下一步的操作。為保證第j個平臺的鉆井數(shù)量Nj不大于平臺最大容量，運用罰函數(shù)法對適應(yīng)度函數(shù)進行限定，如果平臺的鉆井數(shù)量大于平臺最大容量，則加入懲罰項對其進行懲罰。適應(yīng)度函數(shù)表達式如下式所示。

當時：

式中F表示適應(yīng)度函數(shù)；fmax表示單井鉆井費用所允許的最大值；Cmax表示平臺建造費用的最大值；σ表示懲罰因子。

通常情況下，水平井需要有一定的靶前位移以避免較大的魚鉤型井出現(xiàn)從而降低鉆井復(fù)雜度，為此，在進行平臺位置選擇時，限定平臺中心點到水平段垂線的垂足不能位于水平段內(nèi)，否則，在鉆井費用函數(shù)中加入懲罰項。平臺中心點到水平段垂線的垂足坐標可由下式計算得出：

若垂足位于水平段內(nèi)，那么垂足坐標將滿足：

相對應(yīng)的單井鉆井費用函數(shù)由式（18）表示：

式中ω表示懲罰因子。

在選擇操作中，計算出每個染色體的適應(yīng)度函數(shù)后，采用輪盤賭方法進行選擇，染色體的選擇概率可由下式計算得出。

式中pi表示第i個染色體的選擇概率；β表示表征選擇概率的常數(shù)；Fi表示第i個染色體的適應(yīng)度函數(shù)值；Fmax表示種群中適應(yīng)度函數(shù)的最大值。

3.3 交叉

交叉操作可以隨機交換兩個染色體的基因并生成新的染色體，本文采用單點交叉的方法，考慮到所建立模型中的約束條件，采用式（20）進行交叉位置的計算，并交換交叉位置之后的基因。

式中Pcross表示交叉位置；unidrnd（Nw－1）表示隨機產(chǎn)生一個1到Nw－1之間的整數(shù)。

3.4 變異

變異操作能夠隨機改變所選的染色體基因，由此避免算法陷入局部收斂。

以3口井、3個平臺為例，交叉和變異操作的示意圖如圖3所示。

4 算例分析

根據(jù)待選平臺位置的分布特點進行兩個算例的計算。在算例中，假定叢式水平井的垂深相同，水平段長度均為1 500 m，水平段橫向間距為400 m，水平段由靶點A和靶點B確定且兩個靶點的鉆井順序不固定，第i口井由第j個平臺完成時的單井鉆井費用的函數(shù)表達式及鉆Nj口井的平臺建設(shè)費用的函數(shù)表達式分別為：

圖3 遺傳算法的交叉和變異操作圖

在鉆井學(xué)習(xí)指數(shù)表達式中，C1、C2、C3分別取80、0.12、80。

在遺傳算法參數(shù)中，交叉概率和變異概率分別取0.8和0.2；算例1中種群規(guī)模為300，算例2中為500；迭代次數(shù)均為200次。

4.1 算例1

已知某區(qū)塊計劃布井數(shù)為16口，經(jīng)測量后確定了15個待選平臺位置，每個平臺所能容納的最大鉆井數(shù)為16。水平段靶點坐標及待選平臺坐標分別如表1、2所示。

優(yōu)化計算結(jié)果如表3、4所示。圖4中綠色正方形代表待選平臺位置，直線段代表水平段。圖4-a為考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的平臺優(yōu)化結(jié)果，圖4-b為不考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的平臺優(yōu)化結(jié)果。從圖4中可以看出，相對于不考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果，考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)后可以將平臺數(shù)由4個降到2個，每個平臺的鉆井數(shù)量由4口井變成8口井；考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的建井井總費用為1 345.4萬美元，相對于不考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的建井總費用1 769.8萬美元，總費用減少24%。此外，平臺個數(shù)的減少也將會減少管線集輸費用及后期管理費用從而產(chǎn)生更大的經(jīng)濟效益。

4.2 算例2

若只給定待選平臺位置的可行區(qū)域，那么首先需要對該區(qū)域進行網(wǎng)格劃分，每個網(wǎng)格可看作100 m×100 m的區(qū)域并代表1個平臺的位置。在此算例中，靶點數(shù)據(jù)如表4所示，待選平臺坐標范圍假定為X∈（－200，200），Y∈（－300，400），由此可得待選平臺數(shù)為40。為避免大魚鉤井的出現(xiàn)，通過約束方程（18）確保被選平臺和水平段之間存在一定的靶前位移以此來降低軌道復(fù)雜度。

表1 算例1水平段靶點坐標表

表2 待選平臺坐標表

表3 給定待選平臺位置時平臺優(yōu)化結(jié)果對比表

表4 算例2水平段靶點坐標表

圖4 給定待選平臺位置時平臺優(yōu)化結(jié)果圖

優(yōu)化計算結(jié)果如表5和圖5所示。圖5中，綠色區(qū)域為待選平臺位置的可行區(qū)間，紅色區(qū)域表示優(yōu)化的平臺位置。圖5-a為考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的平臺優(yōu)化結(jié)果，而圖5-b為不考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的平臺優(yōu)化結(jié)果。從圖5中可以看出，考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)后8口井可以由一個平臺鉆完；而不考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的結(jié)果為每個平臺鉆4口井?？紤]學(xué)習(xí)效應(yīng)的建井總費用為672.7萬美元，相對于不考慮學(xué)習(xí)效應(yīng)的建井總費用899.3萬美元，總費用減少25%。此外，優(yōu)化模型能夠避免大魚鉤井的出現(xiàn)，從而降低鉆井作業(yè)難度。

表5 給定待選平臺可行區(qū)域時平臺優(yōu)化結(jié)果對比表

圖5 給定待選平臺可行區(qū)域時平臺優(yōu)化結(jié)果圖

5 結(jié)論

1）在“井工廠”模式下，鉆井學(xué)習(xí)效應(yīng)、平臺容量和軌道復(fù)雜度等因素能夠顯著影響叢式水平井平臺位置的選擇和鉆井費用。考慮鉆井學(xué)習(xí)效應(yīng)的平臺優(yōu)化模型能夠減少平臺數(shù)量，增加每個平臺的鉆井數(shù)量，更有利于應(yīng)用“井工廠”技術(shù)從而降低鉆井費用。

2）叢式水平井平臺優(yōu)化為數(shù)學(xué)上的最優(yōu)化問題，可根據(jù)遺傳算法的原理進行快速求解。采用遺傳算法求解所建立的模型時，在進行編碼、交叉和變異設(shè)計中需考慮井與平臺的對應(yīng)關(guān)系；在適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計中，罰函數(shù)法是處理平臺容量和軌道復(fù)雜度等約束的一種有效方法。

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