郁文娟

【摘 要】圖論不僅是數(shù)學(xué)競賽中的重要組成部分，同時(shí)在其他領(lǐng)域中也有應(yīng)用到，如在計(jì)算機(jī)技術(shù)以及物理學(xué)中應(yīng)用相當(dāng)廣泛。可以利用圖論的相關(guān)知識(shí)來解決這些領(lǐng)域中出現(xiàn)的各類問題，因?yàn)樗梢岳脭?shù)學(xué)模型的形式把這些問題呈現(xiàn)出來，更直觀和清晰，利于人們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和理解，從來更加快速方便的解決問題。本文主要分析在數(shù)學(xué)競賽中，圖論問題應(yīng)用的重要性。

【關(guān)鍵詞】圖論問題；數(shù)學(xué)競賽；應(yīng)用分析

中圖分類號(hào)： O157.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）30-0152-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.30.066

Correlation analysis of graph theory in Mathematical Contest

YU Wen-juan

（School of modern science and technology， Taiyuan University of Technology， Taiyuan Shanxi 030027，China）

【Abstract】Graph theory is not only an important part of the mathematical contest， but also has been applied in other fields， such as computer technology and physics is widely used. Graph theory can be used to solve all kinds of problems in these fields， because it can be used in the form of mathematical models to present these problems， more intuitive and clear， conducive to people's understanding and understanding of the problem， has always been faster and more convenient to solve the problem. This paper mainly analyzes the importance of the application of graph theory in mathematical competition.

【Key words】Graph theory problem； Mathematical contest； Application analysis

1 數(shù)學(xué)競賽中應(yīng)用圖論問題的意義

圖論問題在18世紀(jì)初期就已經(jīng)開始有運(yùn)用，由于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，圖論的應(yīng)用則越來越廣泛，包括結(jié)構(gòu)化學(xué)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)以及數(shù)學(xué)競賽等。使用圖論可以提供給我們一個(gè)快速解決問題的方式和角度。數(shù)學(xué)題中應(yīng)用題相對(duì)偏多，而應(yīng)用題往往都是在實(shí)際背景下產(chǎn)生出來的題型，在數(shù)學(xué)競賽中是一種相對(duì)比較重要且難度較大的題型，主要考查學(xué)生如何通過數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)來解決和分析實(shí)際問題的能力，而這個(gè)能力則是通過解決數(shù)學(xué)圖論的能力來展現(xiàn)。

1.1 圖論在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用與生活緊密相關(guān)

圖論是研究空間模式德昂以及現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)這門學(xué)科想要對(duì)問題處理的結(jié)果取得更加精確的結(jié)論，不能單靠一個(gè)不清晰的定義，而要追求更嚴(yán)密的概念。同時(shí)，利用圖論中的相關(guān)概念以及定義來思考和解決問題，也可以更加直觀的、更加自然的讓問題得到很好的解決。

1.2 圖論實(shí)現(xiàn)了科學(xué)技術(shù)在數(shù)學(xué)中的有效轉(zhuǎn)化

人們在用數(shù)學(xué)的方式解決每一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，其本質(zhì)就是簡化所表達(dá)的問題，然后將其中的抽象知識(shí)用一個(gè)數(shù)學(xué)模型的方式簡單的展現(xiàn)出來，利用一些先進(jìn)的技術(shù)，如計(jì)算機(jī)技術(shù)來求解模型，最后再重復(fù)的推理以及完善結(jié)果的準(zhǔn)確度，直至滿足事情原本所需的要求。

1.3 數(shù)學(xué)競賽中使用圖論促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新改革，適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展進(jìn)度

數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新改革對(duì)社會(huì)發(fā)展的意義并不完全是傳授相關(guān)知識(shí)給學(xué)生，而是要促進(jìn)學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)這門學(xué)科的技能以及思想方法。然而，想要改善我們目前對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，既可以讓學(xué)生有效的學(xué)到知識(shí)，又可以提高教學(xué)效率和成果，利用數(shù)學(xué)圖論競賽是極其重要以及必要的。

2 數(shù)學(xué)競賽中常出現(xiàn)的與圖論相關(guān)的問題

2.1 圖的貫通性問題

在考察圖的貫通性時(shí)，一般會(huì)存在兩種題型，第一，至少應(yīng)該除掉幾條邊來破壞原圖中的貫通性；第二，即使將原圖連通，在除掉有限條邊的情況下，這個(gè)圖是否依然可以連通。

2.2 圖的遍歷問題

不管在實(shí)際生活中，還是在理論依據(jù)上存在的某些問題，都有一部分跟遍歷性有著緊密聯(lián)系，如有名的哥尼斯堡七橋中出現(xiàn)的問題是最早引出遍歷問題的。哥尼斯堡城的城區(qū)分為四個(gè)部分，它們之間由七座橋相互連接而成，怎樣既可以將這七座橋都走完并且每座橋只能走一次，同時(shí)又可以環(huán)繞全程？1736年，歐拉用抽象分析法將問題簡化為圖論問題，這也是歷史上的首個(gè)圖論問題，順利的將這個(gè)問題得以解決。其實(shí)這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)就是要在圖中找到一條封閉式的路，這條路要包含這個(gè)圖中所有的邊，所以就可以將這個(gè)問題簡化為“一筆畫”的問題。

3 解決數(shù)學(xué)競賽中圖論問題的常用方法

數(shù)學(xué)與圖論跟其他有著完善理論和問題解決辦法的體系不同，其分支不同，問題涉及比較廣泛，同時(shí)有著多樣的問題解決方法，一般情況下，一類問題往往存在一種解法，然而不同的解法間缺少一些相關(guān)的聯(lián)系。有一句老話說道，“工欲善其事，必先利其器”，數(shù)學(xué)競賽中要使用圖論問題，就得先對(duì)圖論進(jìn)行了解、探索，其中要了解圖論存在哪些問題以及常見的處理問題的方法，再具體進(jìn)行運(yùn)用。而在圖論問題中，主要研究其組合最值以及存在性兩個(gè)問題。

3.1 組合最值問題

解決組合最值問題時(shí)，往往還存在一些通過利用圖形特點(diǎn)來解決組合最值的問題，因?yàn)槠渥宰兞渴请x散量，并且要求的最小值或最大值的量與自變量的函數(shù)關(guān)系不允許用同一個(gè)解析式來表達(dá)，所以就使得先前代數(shù)最值的問題與解決組合最值的問題有所不同。常見的解決辦法主要有以下幾點(diǎn)：

3.1.1 構(gòu)造法

關(guān)于構(gòu)造圖論問題，通常會(huì)先將其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，主要運(yùn)用各類圖的性質(zhì)及自身特征的方式，此外，有時(shí)也會(huì)采用染色的方式進(jìn)行標(biāo)注，將具有不同性質(zhì)但類別相同的圖區(qū)別分開，簡化問題，以避免圖論問題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽中，加深競賽的難度。

3.1.2 調(diào)整法

要將調(diào)整法運(yùn)用到圖論問題中，必須先要確定存在可以取最值的結(jié)構(gòu)組合，然后在取最值時(shí)要充分觀察以及分析研究，選擇組合對(duì)象可能滿足的特質(zhì)，同時(shí)要用調(diào)整法來體現(xiàn)出它所具備的特質(zhì)，在不具備該特質(zhì)的情況下，應(yīng)當(dāng)及時(shí)調(diào)整改編組合對(duì)象的結(jié)構(gòu)，促使其能夠滿足題目要求的條件，但會(huì)使相應(yīng)的函數(shù)值變大或變小，以致出現(xiàn)矛盾，最后通過在取最值時(shí)，滿足組合對(duì)象相應(yīng)的條件來解出這個(gè)最值。

3.2 存在性問題

存在性問題的解決方法主要采用反證法、抽屜原理、計(jì)數(shù)法以及極端原理等方法。

3.2.1 反證法

如果要證明命題的的結(jié)論是成立的，但通過其他常規(guī)方法證明又比較困難時(shí)，可以采用反證法，即從這個(gè)結(jié)論的否定面著手，通過一系列推理研究致使該結(jié)論是矛盾的，則可以證明此結(jié)論成立。

3.2.2 抽屜原理

抽屜原理是將需要討論的元素按一定特質(zhì)分類，當(dāng)取出足夠多的元素時(shí)，再運(yùn)用抽屜原理將范圍縮小，從而推導(dǎo)出屬于同一類的某幾種元素，它們均同時(shí)具備某種特質(zhì)，由此推導(dǎo)出題目的結(jié)論。運(yùn)用抽屜原理時(shí)通常會(huì)出現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：第一、題目中所討論的元素具備任意性；第二、題目的結(jié)論至少要有一類是具備某種特質(zhì)的，是一個(gè)存在性命題；第三、結(jié)論不需要確定，但需存在。

3.2.3 計(jì)數(shù)法

某些組合問題從表面上觀察并不是圖論問題，但可以結(jié)合圖論中提到的有關(guān)概念，運(yùn)用圖論中有關(guān)定理和性質(zhì)來解決問題

3.2.4 極端原理

極端原理是以極端元素為出發(fā)點(diǎn)，經(jīng)過理論推理，得出結(jié)論，或是從得到結(jié)論的否定面著手，通過極端元素推理，得出此推理導(dǎo)致矛盾的結(jié)果，進(jìn)而推導(dǎo)出此結(jié)論成立。

4 如何在數(shù)學(xué)競賽中合理利用圖論

4.1 擴(kuò)大視野，通過案例列舉的方式，代入需要掌握的知識(shí)點(diǎn)

為促進(jìn)學(xué)生更好的吸收知識(shí)點(diǎn)，所以，在教學(xué)前就要找到合適的方法。而圖論則是數(shù)學(xué)競賽中最有利的工具。數(shù)學(xué)競賽中使用圖論的方法，對(duì)參賽學(xué)生自身的能力也有一定的要求，所以，為了更充分的了解到這些知識(shí)面，就需要在教學(xué)過程中通過案例分析進(jìn)行講解，從這些案例中代入知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的氛圍及興趣，增加學(xué)生自身的代入感，讓他們的精力都集中在教學(xué)中來，最終達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果以及教學(xué)質(zhì)量的目的。

4.2 為促進(jìn)學(xué)生的執(zhí)行力，可以引入軟件教學(xué)的形式

從先前數(shù)學(xué)競賽中體現(xiàn)出來的有關(guān)圖論的知識(shí)點(diǎn)觀察到，由于比賽中題目的數(shù)據(jù)相對(duì)較多，所以，如果單純依靠人工計(jì)算的方式來計(jì)算數(shù)據(jù)，這就會(huì)使出現(xiàn)的問題越來越復(fù)雜，因此，這就必須應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)的方式，方便高效的處理，提高這些復(fù)雜數(shù)據(jù)的解決能力，讓學(xué)生能更輕松的學(xué)習(xí)知識(shí)，同時(shí)提高學(xué)習(xí)興趣?？梢砸胲浖虒W(xué)的方式進(jìn)行解決，避免物力、人力的浪費(fèi)。而在引入教學(xué)軟件時(shí)，只需要運(yùn)用一些簡單、基礎(chǔ)、易懂的軟件就行，比如Excel表格等，就不需要額外去學(xué)難度較大的軟件，反而增加學(xué)習(xí)的困難。

4.3 重視并發(fā)掘培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用性及發(fā)散性思維

將圖論應(yīng)用到數(shù)學(xué)競賽中，相比于其他的競賽來說，其是一項(xiàng)通訊性的競賽，具有比較開放的特點(diǎn)。從研究數(shù)學(xué)競賽中用圖論解決問題的結(jié)果來看，其結(jié)果多種多樣，很多參賽選手因此不清晰結(jié)果的準(zhǔn)確性，所以會(huì)對(duì)這個(gè)方案的使用產(chǎn)生猶豫。在這個(gè)時(shí)候，我們應(yīng)該充分了解自己，發(fā)掘出自己的應(yīng)用性和發(fā)散性思維，對(duì)結(jié)果不斷探討，找到正確的結(jié)果。因?yàn)閿?shù)學(xué)競賽中存在的問題較多，同時(shí)也有很多解決辦法，所以，不可能解出一個(gè)答案是可以讓所有人都滿意。不同的問題存在，就有不同解決問題的思路，在解決過程中，會(huì)遇到很多知識(shí)點(diǎn)，所以這就要求學(xué)生重視并培養(yǎng)自身的發(fā)散性以及應(yīng)用性思維，促進(jìn)學(xué)生更加全面的對(duì)所有的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行認(rèn)知和理解，然后探討出一個(gè)絕大部分人都足夠滿意的結(jié)果。

5 結(jié)語

數(shù)學(xué)競賽中的問題專業(yè)、抽象并且難度較大，所以就促使其具有一定的趣味以及教育性。在準(zhǔn)備使用圖論時(shí)，首先要先掌握圖論的使用原理、方法以及使用過程中存在的問題以及問題的解決方法。在競賽中使用圖論能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)書本上知識(shí)的理解，從而簡單方便的解決社會(huì)活動(dòng)中存在的各種問題，不僅培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，還培養(yǎng)他們通過分析問題，擴(kuò)散思路，從而提高解決問題的能力。針對(duì)教師，用一些教育軟件以及教育案例融入到教學(xué)中，不僅可以提高教師的教學(xué)水平，還可以提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的清晰度和掌握能力。參加一場數(shù)學(xué)競賽，通過事前的準(zhǔn)備及學(xué)習(xí)，學(xué)生們可以學(xué)到很多書本上以及生活中常見的解決問題的方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]周文清.數(shù)學(xué)競賽中的集合問題[J].中等數(shù)學(xué)，2017（12）：8-12.

[2]郭夢夏.數(shù)學(xué)競賽中圖論問題的探究[J].時(shí)代教育，2017（23）：173.

[3]劉勇.圖論知識(shí)在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2017（08）：37.

[4]錢培星.淺談數(shù)學(xué)競賽中的圖論問題[J].課程教育研究，2017（07）：123-124.