王紀(jì)濤+郝麗婷+戴元陽(yáng)

摘要：為了降低收費(fèi)廣場(chǎng)占地面積，我們通過(guò)信號(hào)失真的角度來(lái)看待車輛匯流的情況，并且結(jié)合排隊(duì)論，計(jì)算出收費(fèi)廣場(chǎng)的容量，從而得到收費(fèi)廣場(chǎng)占地最小面積。本項(xiàng)理論研究巧妙地將信號(hào)失真的概念結(jié)合排隊(duì)論運(yùn)用到車輛匯流中，可為收費(fèi)廣場(chǎng)容量的研究提供有益參考。

【關(guān)鍵詞】信號(hào)失真 排隊(duì)論 收費(fèi)廣場(chǎng)容量車輛匯流

1 排隊(duì)論模型

我們定義了一個(gè)由B個(gè)收費(fèi)亭，L個(gè)車道以及一個(gè)合并區(qū)域組成的系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)中，B個(gè)收費(fèi)亭輸出代表系統(tǒng)的B個(gè)入口而L個(gè)車道代表L個(gè)服務(wù)臺(tái)。

每個(gè)收費(fèi)亭的輸出是一個(gè)泊松流，到達(dá)廣場(chǎng)的車輛間隔時(shí)間滿足參數(shù)為γ的負(fù)指數(shù)分布。每個(gè)車道的服務(wù)時(shí)間滿足參數(shù)為u的負(fù)指數(shù)分布。一般我們傾向于選擇距離最小的車道，但若有空閑車道，車輛將會(huì)即刻駛離而無(wú)所謂遠(yuǎn)近。

我們現(xiàn)在討論這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布。我們用N（t）來(lái)表示t時(shí)刻合并區(qū)域中的車輛數(shù)目，顯然N（t）是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它的平衡狀態(tài)分布記為p_n，n=0，l，2，…。根據(jù)“入=出”原理，當(dāng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，進(jìn)入的車輛與出去的車輛將保持相等。

對(duì)于一個(gè)多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)M/M/s隊(duì)列，有意味著合并區(qū)域中的車輛數(shù)大于車道數(shù)，新到來(lái)的車輛必須等待才能駛離。我們記

上式稱為Erlang等待公式，它給出了一個(gè)準(zhǔn)備進(jìn)入系統(tǒng)的車輛需要等待才能駛離的概率。

根據(jù)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布，得到平均隊(duì)列長(zhǎng)度：

2 信號(hào)失真模型

2.1 失真理論簡(jiǎn)介

實(shí)際的信息處理過(guò)程往往允許一定程度的失真。比如，連續(xù)信源的信息熵是無(wú)窮的，若不使用A/D轉(zhuǎn)換設(shè)備引入失真，我們無(wú)法傳輸這樣的信息。事實(shí)上，一定程度的失真并不會(huì)被明顯感知，基于此原理，我們得到了由幀組成的影片。失真處理技術(shù)就以減少信息率并且提高傳輸效率為目的而提出。

2.2 廣場(chǎng)容量簡(jiǎn)介

高速公路上有一些需要車流在一個(gè)受限空間中從較多的車道匯聚到較少的車道中去的基礎(chǔ)設(shè)施，比如，收費(fèi)廣場(chǎng)。當(dāng)廣場(chǎng)規(guī)模太小不足以分散車流時(shí)就會(huì)產(chǎn)生擁塞，導(dǎo)致下游車道的吞吐量下降，而廣場(chǎng)規(guī)模太大又是不經(jīng)濟(jì)的。所以，設(shè)計(jì)一個(gè)合理的廣場(chǎng)大小很有必要。

2.3 失真與收費(fèi)廣場(chǎng)的比較

我們希望傳輸特定信息所需要的信道容量越小越好，類似的，我們希望分散特定車流所需要的廣場(chǎng)面積越小越好，在兩種情景中都存在著壓縮。這種壓縮，之于前者體現(xiàn)在原信息熵H（X）大于壓縮后的信息熵H（Y），之于后者體現(xiàn)在車道數(shù)L小于收費(fèi)亭個(gè)數(shù)B。二者的相同點(diǎn)是，在容忍限內(nèi)，期待更大的壓縮程度。這個(gè)容忍限在失真理論中叫做保真度，在收費(fèi)廣場(chǎng)中叫做廣場(chǎng)容量。

2.4 失真理論

2.4.1 失真函數(shù)

如前所述，我們?cè)试S一定程度的失真。但若失真超過(guò)某一極限，信息質(zhì)量將太差而失去可用價(jià)值。所以在定義失真限之前對(duì)失真進(jìn)行度量是有必要的。因此我們引入失真函數(shù)：

3 信號(hào)失真與排隊(duì)論結(jié)合

3.1 通過(guò)合并計(jì)劃定義一個(gè)信道集合

我們的合并模式?jīng)Q定了我們的額虛擬信道集合。

3.2 通過(guò)逗留時(shí)間確定失真函數(shù)

失真意味著偏離預(yù)期。為了保證安全性和高效性，我們希望車輛駛?cè)刖嗥渥罱能嚨?，否則，我們認(rèn)為它的運(yùn)動(dòng)路徑存在某種程度的失真。顯然，失真函數(shù)因收費(fèi)亭、車道而異，二者在假想信道模型中分別對(duì)應(yīng)著信源和信道。用等待時(shí)間w，來(lái)作為失真矩陣中的元素d（x₁| y₁），并據(jù)此構(gòu)造失真矩陣。

4 結(jié)論

最后對(duì)于不同收費(fèi)亭和匯流車道數(shù)通過(guò)元胞自動(dòng)機(jī)計(jì)算面積，如表1所示。

從表中可以看出所需廣場(chǎng)面積與車道數(shù)有很大關(guān)系。

參考文獻(xiàn)

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