汪元忠

【摘 要】隨著人類社會的進步，科學技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟全球化的日益進程，數(shù)學在生活中的應用越來越廣，生活中的數(shù)學無處不在.而數(shù)學中的一個非常重要的分支——概率統(tǒng)計，在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著越來越重要的角色，取得越來越廣泛的應用。正如英國邏輯學家和經(jīng)濟學家杰文斯所說：概率論是“生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為”。

【關(guān)鍵詞】概率統(tǒng)計 數(shù)學期望

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）36-0117-01

數(shù)學期望在解數(shù)學題和實際生活中的一些應用，通過圍繞數(shù)學期望在證明一些數(shù)學不等式、分析彩票中獎概率、醫(yī)學普查及投資等實際問題中的應用，進一步揭示概率統(tǒng)計中數(shù)學期望與數(shù)學本身及實際生活的密切聯(lián)系，為應用概率知識解決實際問題，數(shù)學模型的建立，學科知識的遷移奠定一定的理論基礎(chǔ)。概率統(tǒng)計的分支學科—數(shù)學期望的應用尤為廣泛，隨著科學技術(shù)的發(fā)展與計算機的普及，它已廣泛地應用于各行各業(yè)，成為研究自然科學，社會現(xiàn)象，處理工程和公共事業(yè)的有力工具，下面淺談數(shù)學期望在實際生活中的一些應用：

數(shù)學期望在商品出售獲利方面的應用：按節(jié)氣出售的某種節(jié)令商品，每售出1斤可獲利a元，過了節(jié)氣處理剩余的這種商品，每售出1斤凈虧損b元。設商店在季度內(nèi)這種商品的銷量是一隨機變量，在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。為使商店所獲利潤的數(shù)學期望最大，問該商店應進多少貨？

分析如下：設t表示進貨數(shù)，進貨t所獲利潤記為Y，則Y是隨機變量，

令=0，得駐點t=由此可知，該店應進公斤商品，才能使利潤的數(shù)學期望最大。

數(shù)學期望在醫(yī)學普查中的應用： 某地區(qū)的群眾患有肝炎的概率為0.004左右，假若要對該地區(qū)5000人經(jīng)行肝炎感染的普查，問用分組檢驗方法是否比逐個檢查減少了次數(shù)？

分析如下：設將這5000人分成5000/K組，每組k人，每人所需檢驗的次數(shù)為隨機變量，則的概率分布為：

每人平均所需檢驗次數(shù)的期望為：

當K=2，3，4……時，EX，即每人平均所需次數(shù)小于1。這比逐次檢查的次數(shù)要少。并且由數(shù)學分析中的知識可知當K取16時，最小。即將5000人大致分為每組16人檢驗時，檢驗所需次數(shù)最少。

數(shù)學期望在商家舉行的免費抽獎中的應用：袋中有大小相同的球20個、10個10分、10個5分，從中摸出10個球，摸出的10個球分數(shù)之和即為中獎分數(shù)，獲獎如下；

一等獎 100分，家電一件，價值2500元； 二等獎 50分， 家電一件，價值1000元；

三等獎 95分， 洗發(fā)精8瓶，價值176元； 四等獎 55分， 洗發(fā)精4瓶，價值88元；

五等獎 60分， 洗發(fā)精2瓶，價值44元； 六等獎 65分， 牙膏一盒，價值8元；

七等獎 70分， 洗衣粉一袋，價值5元； 八等獎 85分， 香皂一塊，價值3元；

九等獎 90分， 毛巾一條，價值2元；十等獎 75分與85分為優(yōu)惠獎，僅收成本22元，將得到洗發(fā)精一瓶 。

分析如下：表面上看整個活動對顧客有利，一等獎到九等獎是白得的，只有十等獎收費，也僅收成本費。事實上，用概率知識分析一下：摸出10個球的分值只有11種情況，用X表示摸獎者獲得的獎勵金額數(shù)，一等獎即得分100分，對應事件P（X=2500）=，X取值2500，1000，176，88，44，8，5，3，2，-22，概率可依次得出，其概率分布為：

E（X）==-10.098，表明商家在平均每一次抽獎中獲得10.098元錢，而平均每個抽獎者將花10.098元錢來享受這種免費抽獎，卻沒機會獲得大獎。

數(shù)學期望在彩票雙色球中的應用：“雙色球”是一種聯(lián)合發(fā)行銷售的“樂透型”福利彩票。它采用計算機網(wǎng)絡發(fā)行銷售，定期電視開獎?！半p色球”由中國福利彩票發(fā)行管理中心統(tǒng)一組織發(fā)行，在全國銷售。這種彩票搖獎球分為紅色、藍色兩種，故命名為“雙色球”。

一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）（紅色球號碼順序不限）；

二等獎：6個紅色球號碼相符； 三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

四等獎：5個紅色球號碼或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

五等獎：4個紅色球號碼或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

六等獎：1個藍色球號碼相符（有無紅色球號碼相符均可）。

下面是各等獎的中獎概率的計算，雙色球中頭獎的概率：×16=（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）×16=17721088雙色球中頭獎的概率為p（1）=1/17721088

雙色球二等獎的概率為：p（2）=1/=1/（（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）=1/1107568

雙色球三等獎的概率為：p（3）=1/ （×16）=1/（（33×32×31×30×29）×16/（5×4×3×2×1））=1/3797376 ......

總之，知識來源于人類的實踐活動，又反過來運用到改造世界的實踐活動中，其價值也就在于此。上面知識例舉了概率在實際問題中應用的幾個小片段，然而，作為一門獨立的學科，數(shù)學期望的足跡可以說已經(jīng)深入到每一個領(lǐng)域，在實際問題中的應用隨處可見。只要我們善于把握，善于挖掘，善于用數(shù)學期望知識來解決問題，就能使它在實際生活中發(fā)揮更多作用。本文通過探討數(shù)學期望這一隨機變量的一些重要數(shù)學特征在數(shù)學問題及實際問題中的一些應用來使大家對數(shù)學期望有更深的了解。