羅麗紅

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，此類綜合題在中考中通常以壓軸題的形式出現(xiàn)，它不僅可以考察一次函數(shù)、二次函數(shù)與幾何圖形的基本知識(shí)，還可以考察數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，以及學(xué)生閱讀理解、收集信息、思維分析、解決實(shí)際問題的能力，因此要求學(xué)生具有較高的綜合能力。本文主要對(duì)二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題進(jìn)行分析，包括兩個(gè)部分：一是與直線的交點(diǎn)問題，二是與三角形的問題。

一、與直線的交點(diǎn)問題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+5與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線y=ax2+bx交于點(diǎn)C、D，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，7），

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5.

（1）求直線與拋物線的解析式；

（2）將此拋物線沿對(duì)稱軸向下平移

幾個(gè)單位，拋物線與直線AB只有

一個(gè)交點(diǎn)？

解：（1）拋物線的解析式為y=-x2+8x；

（2）拋物線y=-x2+8x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，16），對(duì)稱軸是直線x=4，

設(shè)向下平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，k），

∴平移后的拋物線的解析式為y=-（x-4）2+k，

與直線y=2x+5聯(lián)立消掉y得，

-（x-4）2+k=2x+5，

整理得，x2-6x+21-k=0，

要使拋物線與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)，

則Δ=b2-4ac=36-4（21-k）=0，

解得k=12，

∵16-12=4，

∴需將此拋物線沿著對(duì)稱軸向下平移4個(gè)單位.

二、與三角形的問題

2. 如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，且過點(diǎn)C（5，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且與A，B兩點(diǎn)不重合，過點(diǎn)P作直線PD⊥x軸，垂足為D，交直線AB于點(diǎn)E.

①當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

②在拋物線上是否有點(diǎn)P使△BEC為等腰三角形？如果有請(qǐng)寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有請(qǐng)說出理由.

解：（1）y=-x2+4x+5.

（2）設(shè)P（x，-x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），

∵P不與A，B點(diǎn)重合，

①a.P點(diǎn)在A、B之間的拋物線上，

|PE|=-x2+4x+5-x-1，|ED|=x+1，

∵PE=2ED，即-x2+4x+5-x-1=2（x+1），

解得x1=2，x2=-1（舍），∴此時(shí)P（2，9）；

b.P在點(diǎn)A左側(cè)的拋物線上，

|PE|=x+1+x2-4x-5，|DE|=-x-1，

∵PE=2ED，即x+1+x2-4x-5=2（-x-1），

解得x1=-1（舍），x2=2（舍），∴此種情況不存在；

c.P在點(diǎn)B右側(cè)的拋物線上，

|PE|=x+1+x2-4x-5，|ED|=x+1；

∵PE=2ED，即x+1+x2-4x-5=2（x+1），

解得x1=6，x2=-1（舍），此時(shí)P（6，-7），

綜上所述，P（2，9）或P（6，-7）.

②在拋物線上存在點(diǎn)P使△BEC為等腰三角形，坐標(biāo)為P1（，），P2（4+，-4-8），P3（4-，4-8），P4（0，5）.

設(shè)點(diǎn)P（a，-a2+4a+5），則E（a，a+1），

∵B（4，5），C（5，0），∴BC2=（5-4）2+52=26，

BE2=（4-a）2+（5-a-1）2=2a2-16a+32，

CE2=（5-a）2+（-a-1）2=2a2-8a+26，

若△BEC為等腰三角形，則分三種情況討論：

a.當(dāng)BE=CE時(shí)，BE2=CE2，即2a2-16a+32=2a2-8a+26，解得a=，此時(shí)P（，）；

b.當(dāng)BC=BE時(shí)，BC2=BE2，即26=2a2-16a+32，解得a=4+或a=4-，此時(shí)P（4+，-4-8）或P（4-，4-8）；

c.當(dāng)BC=CE時(shí)，BC2=CE2，即26=2a2-8a+26，解得a=0或a=4（舍去），此時(shí)P（0，5）.

綜上所述，符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1（，），P2（4+，-4-8），P3（4-，4-8），P4（0，5）.

三、二次函數(shù)與四邊形

3.（2017菏澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

拋物線y=ax2+bx+1

交y軸于點(diǎn)A，交x軸

正半軸于點(diǎn)B（4，0），

與過A點(diǎn)的直線相交

于另一點(diǎn)D（3，），

過點(diǎn)D作DC⊥x軸，

垂足為C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點(diǎn)N，連接CM，求△PCM面積的最大值.

解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+x+1；

（2） ∵拋物線y=-x2+x+1與y軸交于點(diǎn)A，

設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+d，則1=d，=3k+d，

解得k=，d=1，

∴直線AD的表達(dá)式為y=x+1.

∵CD⊥x軸，D（3，2.5），∴C（3，0），

設(shè)P（m，0），則0

∵PN⊥x軸，∴M（m，m+1），∴PM=m+1，CP=3-m，

∴S△PCM=PM·CP=×（m+1）（3-m）

=-（m-）2+，

∴當(dāng)m=時(shí)，△PCM面積取得最大值.