邊 杰， 霍常青， 王 平， 唐 廣

(中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所 航空發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲 412002)

0 引言

模態(tài)固有頻率和阻尼比是兩個(gè)重要的模態(tài)參數(shù)，可為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化、仿真計(jì)算與分析、載荷辨識(shí)與應(yīng)用、故障檢測(cè)與診斷等提供重要參考，因此，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)在機(jī)械振動(dòng)領(lǐng)域有其重要意義.長期以來，模態(tài)參數(shù)尤其是阻尼比的辨識(shí)由于難度大，重復(fù)性差等特點(diǎn)，一直是人們研究的熱點(diǎn)問題.

模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法可分為時(shí)域法、頻域法和時(shí)頻法三種.最有代表性的時(shí)域法是對(duì)數(shù)衰減法[1]，時(shí)域法往往只能處理平穩(wěn)信號(hào)，并且對(duì)噪聲的干擾比較敏感，且不適用于多模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的情況.最常用的頻域法是半功率帶寬法[2],頻域法建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)之上，能進(jìn)行多模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)，但其受采樣頻率、頻率分辨率、采樣分析點(diǎn)數(shù)等因素的影響.實(shí)際工程中的振動(dòng)信號(hào)一般為非線性非平穩(wěn)信號(hào)，時(shí)域法和頻域法均不能處理非線性非平穩(wěn)信號(hào)，要處理這種非線性非平穩(wěn)信號(hào)，需采用時(shí)頻法.時(shí)頻法是一種新興起的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法，典型的時(shí)頻法有短時(shí)傅立葉變換(STFT)[3]、小波變換(WT)[4]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)[5]、局部均值分解(LMD)[6]和本征時(shí)間尺度分解(ITD)[7]等.

STFT又稱窗口傅立葉變換，其固定的時(shí)窗寬度使得時(shí)頻分辨率也是固定的，即短時(shí)傅立葉變換的頻率分辨率和時(shí)域分辨率相互影響，頻率分辨率高則時(shí)域分辨率低，反之亦然[8].WT對(duì)信號(hào)的局部缺乏自適應(yīng)性，在變換中小波基的選擇對(duì)分析結(jié)果的影響很大[9].EMD可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)分解，但是存在過包絡(luò)、欠包絡(luò)、模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)等問題[10].付春等[11]提出了基于改進(jìn)EMD-ICA的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，并進(jìn)行了仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證.從仿真分析結(jié)果來看，EMD-ICA法識(shí)別模態(tài)頻率與理論值最大誤差為6%，識(shí)別的阻尼比最大誤差大于23%.LMD是另一種自適應(yīng)時(shí)頻分析方法，其在抑制模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)上優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，但是其主要問題是計(jì)算量較大[12].程軍圣等[13]將LMD用于模態(tài)參數(shù)識(shí)別，對(duì)仿真信號(hào)和裂紋梁的測(cè)頻信號(hào)進(jìn)行了分析.從其研究結(jié)果來看，第3階模態(tài)PF幅值自然對(duì)數(shù)和瞬時(shí)頻率的擬合曲線效果不好，仿真分析中LMD法識(shí)別的模態(tài)頻率與理論值相比最大誤差大于5%，識(shí)別的阻尼比最大誤差大于17%.ITD雖然仍然受到端點(diǎn)效應(yīng)的影響，但是其在計(jì)算速度上相比較于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和局部均值分解有明顯優(yōu)勢(shì)，亦可用于實(shí)時(shí)處理大量數(shù)據(jù)[14].

鑒于此，筆者提出了一種基于IITD(經(jīng)端點(diǎn)延拓改進(jìn)的ITD)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法，并進(jìn)行了仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證，以驗(yàn)證模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)上有效性和實(shí)用性.

1 基于端點(diǎn)延拓的IITD法

1.1 ITD法

本征時(shí)間尺度分解(intrinsic time-scale decomposition，ITD)是Frei等[7]提出的一種處理非線性和非平穩(wěn)信號(hào)的非參數(shù)算法.ITD法的優(yōu)勢(shì)在于它不需要原始信號(hào)序列的參數(shù)函數(shù)形式，ITD法將一非線性非平穩(wěn)信號(hào)表征成一組固有旋轉(zhuǎn)分量和一個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)之和.對(duì)于給定的非線性時(shí)間序列Xt,t∈(1,2,…,T)，ITD法將信號(hào)分解成一系列頻率依次降低的固有旋轉(zhuǎn)分量(PR分量)：

Xt=HXt+LXt=HXt+(H+L)LXt=

(1)

式中：H為固有旋轉(zhuǎn)分量提取算子；L為基線提取算子.

ITD法將時(shí)間序列Xt分解成PR分量的步驟如下.

(1)確定信號(hào)Xt的所有極值點(diǎn)位置，并將其對(duì)應(yīng)時(shí)刻標(biāo)記為τk，k∈{1,2,…}.

(2)假設(shè)在t∈[0,τk+2]上Xt有離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，在連續(xù)的極值點(diǎn)之間使用分段式線性基線提取算子L計(jì)算基線信號(hào)Lt如下：

t∈(τk,τk+1].

(2)

其中，Xk和Lk分別表示X(τk)和L(τk)，且有

(1-α)Xk+1, 0<α<1.

(3)

(3)使用PR分量提取算子H可以得到Xt的第一個(gè)PR分量：

HXt=(1-L)Xt=Ht=Xt-Lt.

(4)

(4)將基線信號(hào)作為新的分解信號(hào)，重復(fù)步驟(1)～(3)，直到得到單調(diào)的基線信號(hào).

經(jīng)ITD法分解后的各PR分量是單組分的信號(hào)分量，對(duì)PRi,i∈(1,2,…,k+1)分別進(jìn)行Hilbert變換得到相對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)：

(5)

(6)

(7)

(8)

定義瞬時(shí)頻率為：

(9)

1.2 端點(diǎn)延拓算法

由于信號(hào)的兩端點(diǎn)不是極值點(diǎn)，ITD法利用兩端點(diǎn)的數(shù)據(jù)計(jì)算基線信號(hào)并不合適.在此，對(duì)信號(hào)進(jìn)行端點(diǎn)延拓，得到其在端點(diǎn)處的合理的極值點(diǎn)數(shù)據(jù).由此，經(jīng)過端點(diǎn)延拓改進(jìn)的ITD法稱為IITD法.

在信號(hào)的兩端分別延拓1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)即可，具體延拓方法如下.

對(duì)于離散時(shí)間序列信號(hào)：

t∈[t(1),t(2),…,t(n)]=[t1,t2,…,tn].

(10)

x(t)∈ [x(t1),x(t2),…,x(tn)]=

[x1,x2,…,xn].

(11)

設(shè)信號(hào)的采樣時(shí)間步長為Δt，其包含M個(gè)極大值和N個(gè)極小值，相應(yīng)的極值點(diǎn)坐標(biāo)序列為(Im,In),時(shí)刻為(Tm,Tn),函數(shù)值為(U,V).

假設(shè)信號(hào)左端的第一個(gè)特征波內(nèi)包含k1個(gè)離散點(diǎn)，則信號(hào)左端點(diǎn)處向外延拓的極值點(diǎn)的時(shí)刻(Tm,Tn)和函數(shù)值(U,V)為:

(12)

同理，假設(shè)信號(hào)右端的第一個(gè)特征波內(nèi)包含k2個(gè)離散點(diǎn)，則信號(hào)右端點(diǎn)處向外延拓的極值點(diǎn)的時(shí)刻(Tm,Tn)和函數(shù)值(U,V)為

(13)

若信號(hào)的端點(diǎn)值大于靠近端點(diǎn)的第一個(gè)極大值或者小于靠近端點(diǎn)的第一個(gè)極小值，則端點(diǎn)被視為極值點(diǎn).

2 模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法及仿真分析

根據(jù)IITD法的物理意義，獲得的PR分量可以看做結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)分量，通過對(duì)PR分量進(jìn)行分析，可提取結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，以下利用IITD法辨識(shí)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法稱為IITD-Modal Parameter Identification法，簡(jiǎn)稱IITD-MPI法，其具體原理如下.

對(duì)于一個(gè)多自由度的機(jī)械系統(tǒng)，脈沖激勵(lì)下的位移響應(yīng)可以表示成多個(gè)單自由度系統(tǒng)位移響應(yīng)的疊加[15-16]，即

(14)

式中：Ai、ζi、ωni、φi分別為第i階模態(tài)的位移幅值系數(shù)、模態(tài)阻尼比、固有角頻率和初相位.

對(duì)于小阻尼情況，對(duì)比式(5)和式(14)，瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)相位可表示為：

ai(t)=Aie-ζiωnit；

(15)

(16)

對(duì)式(15)兩邊取對(duì)數(shù)，可得：

lnai(t)=-ζiωnit+lnAi.

(17)

根據(jù)式(16)和(17)可以得到瞬時(shí)相位曲線和對(duì)數(shù)幅值曲線，然后對(duì)其進(jìn)行線性擬合，根據(jù)擬合后直線的斜率來辨識(shí)結(jié)構(gòu)的模態(tài)固有頻率和阻尼比.

一般地，低階模態(tài)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)位移響應(yīng)起主導(dǎo)作用.根據(jù)式(14)，構(gòu)造位移響應(yīng)的仿真信號(hào)為：

(18)

取信號(hào)的采樣頻率為1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，其時(shí)域波形如圖1所示.從式(18)可以看出，位移響應(yīng)包含3個(gè)模態(tài)分量，若能將各階模態(tài)從位移響應(yīng)中分離出來，則可以利用上述的單自由度模態(tài)固有頻率和阻尼比辨識(shí)方法，將各階模態(tài)參數(shù)提取出來.

圖1 位移仿真信號(hào)的時(shí)域波形Fig.1 Time domain waveform of the displacement simulated signal

使用IITD-MPI法計(jì)算的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)與理論值的對(duì)比情況如表1所示.從表1中可以看出，IITD-MPI法可以較準(zhǔn)確地提取位移仿真信號(hào)的3階模態(tài)，且計(jì)算的模態(tài)固有頻率和阻尼比與理論值吻合較好.模態(tài)固有頻率的最大誤差出現(xiàn)在第1階，誤差不大于0.6%.模態(tài)阻尼比的最大誤差出現(xiàn)在第3階，誤差為1%.在文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[13]中，EMD-ICA法和LMD法識(shí)別的模態(tài)頻率和阻尼比與理論值相比，模態(tài)頻率最大誤差分別為6%和大于5%，阻尼比最大誤差分別為大于23%和大于17%.由此對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在模態(tài)參數(shù)識(shí)別方面，IITD-MPI法的誤差較EMD-ICA法和LMD法小，即IITD-MPI法在模態(tài)參數(shù)辨識(shí)精度上有優(yōu)勢(shì).

表1 位移仿真信號(hào)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3 滑油管路模態(tài)參數(shù)辨識(shí)驗(yàn)證

對(duì)如圖2所示的滑油管路進(jìn)行自由狀態(tài)下的靜頻測(cè)試，測(cè)試頻率范圍為0～2 000 Hz.用柔繩將滑油管路吊掛使其呈自由狀態(tài)，使用PCB 352B10型加速度傳感器在滑油管路上某一點(diǎn)拾振，用小鋼棒輕敲滑油管路，滑油管路在脈沖激振力下發(fā)生振動(dòng)，將加速度傳感器所測(cè)得的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)接入數(shù)據(jù)采集和頻譜分析系統(tǒng)，進(jìn)行FFT分析，得到頻譜圖，讀取譜圖上各譜峰的頻率值，即得到滑油管路在測(cè)試頻率范圍內(nèi)的頻率值.對(duì)頻譜圖上的各譜峰，可采用半功率帶寬法計(jì)算得到滑油管路在某階模態(tài)下的阻尼比.采集滑油管路測(cè)頻信號(hào)及幅值譜如圖3所示，從幅值譜可以看出，在0～2 000 Hz頻率范圍內(nèi)，滑油管路存在2階模態(tài).

圖2 滑油管路外形圖Fig.2 The shape picture of the lubricant oil pipe

圖3 滑油管路測(cè)頻信號(hào)時(shí)域波形及幅值譜Fig.3 Time domain waveform and amplitude spectrum of the frequency testing signal for the lubricant oil pipe

對(duì)滑油管路測(cè)頻信號(hào)進(jìn)行IITD分解，分解結(jié)果如圖4所示，從圖4中可以看出，IITD成功將滑油管路測(cè)頻信號(hào)分解成2個(gè)PR分量和1個(gè)余項(xiàng)，其中2個(gè)PR分量分別對(duì)應(yīng)圖3中幅值譜中的兩階模態(tài).

圖4 滑油管路測(cè)頻信號(hào)ITD分解結(jié)果Fig.4 ITD decomposition results of the frequency testing signal for the lubricant oil pipe

同樣，采用IITD-MPI法對(duì)滑油管路模態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)并與測(cè)試模態(tài)頻率以及半功率帶寬法辨識(shí)的模態(tài)阻尼進(jìn)行對(duì)比分析.根據(jù)式(16)和(17)，繪制滑油管路測(cè)頻信號(hào)的瞬時(shí)相位曲線和自然對(duì)數(shù)幅值曲線，并分別對(duì)它們進(jìn)行線性擬合，得到擬合直線，見圖5.同樣，由擬合直線的斜率可辨識(shí)出滑油管路的模態(tài)參數(shù).

圖5 滑油管路測(cè)頻信號(hào)各PR分量瞬時(shí)相位和自然對(duì)數(shù)幅值Fig.5 Instantaneous phase and natural logarithm amplitude of each PR component of the frequency testing signal for the lubricant oil pipe

滑油管路測(cè)頻信號(hào)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果見表2，其中模態(tài)頻率的測(cè)量值通過滑油管路的靜頻測(cè)試得到，模態(tài)阻尼比的測(cè)量值是使用半功率帶寬法從圖3所示的幅值譜中計(jì)算得到.由于受不確定性和重復(fù)性差等因素的影響，要準(zhǔn)確辨識(shí)模態(tài)阻尼本身難度大.半功率帶寬法作為阻尼辨識(shí)的最基本的方法，它也易受諸如采樣頻率、頻率分辨率和采樣分析點(diǎn)數(shù)等因素的影響[17]，其結(jié)果僅作為參考.

表2 滑油管路測(cè)頻信號(hào)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

從表2可以看出，IITD-MPI法辨識(shí)的模態(tài)頻率與靜頻測(cè)試頻率接近，其辨識(shí)的第1階模態(tài)頻率與靜頻測(cè)試頻率的誤差大于第2階，但誤差不大于0.15%.相比較于模態(tài)頻率的辨識(shí)結(jié)果，IITD-MPI法辨識(shí)的阻尼比與半功率帶寬法辨識(shí)的阻尼比差別相對(duì)較大，最大差別出現(xiàn)在第2階，數(shù)值小于3%.綜上，使用IITD-MPI法成功辨識(shí)了滑油管路的模態(tài)參數(shù)，且辨識(shí)結(jié)果準(zhǔn)確性較高，同時(shí)也說明了對(duì)于實(shí)際測(cè)頻信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，IITD-MPI法也具有較好的適用性.

4 結(jié)論

(1)位移仿真信號(hào)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果表明，IITD-MPI法辨識(shí)的3階模態(tài)固有頻率與阻尼比與理論值接近，其中模態(tài)固有頻率的最大誤差不超過0.6%，阻尼比的最大誤差不超過1%.

(2)滑油管路測(cè)頻信號(hào)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果表明，所研究的滑油管路在0～2 000 Hz頻率范圍內(nèi)，存在2階模態(tài)，IITD-MPI法成功辨識(shí)出該2階模態(tài)，且IITD-MPI法辨識(shí)的模態(tài)固有頻率與滑油管路靜頻測(cè)試頻率的最大誤差不超過0.15%，IITD-MPI法辨識(shí)的阻尼比與半功率帶寬法辨識(shí)的阻尼比最大差別小于3%.

(3)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，IITD-MPI法可準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解，得到正確的模態(tài)分量，同時(shí)其辨識(shí)的模態(tài)參數(shù)具有較高的準(zhǔn)確度，滿足工程應(yīng)用要求.但同時(shí)需要說明的是，由于IITD法仍存在一定的模態(tài)混疊現(xiàn)象，并且對(duì)噪聲干擾比較敏感，因此，IITD-MPI法在辨識(shí)模態(tài)參數(shù)時(shí)要求信號(hào)中各模態(tài)不能太密集分布，且不能存在太強(qiáng)的背景噪聲.若存在密集模態(tài)，IITD分解效果不好，可結(jié)合帶通濾波解決.若信號(hào)被強(qiáng)烈的背景噪聲污染，可在使用IITD法分解信號(hào)前進(jìn)行濾波處理.

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