趙春雪，李樹有，宓 穎

Marshall-Olkin Fréchet分布應(yīng)用于產(chǎn)品抽樣檢測(cè)

趙春雪，李樹有，宓 穎

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

研究了Marshall-Olkin Fréchet分布在產(chǎn)品抽樣檢測(cè)上的應(yīng)用。如何對(duì)壽命服從Marshall-Olkin Fréchet分布的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，從消費(fèi)者的角度，給出了在大批量抽取和小批量抽取2種情況下，試驗(yàn)所需的最小樣本容量。在此基礎(chǔ)上，考慮生產(chǎn)者所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，從而得到滿足要求的產(chǎn)品的最小平均壽命值。

Marshall-Olkin Fréchet分布；抽樣檢測(cè)；最小樣本容量；平均壽命真實(shí)值

Frechét分布是一種特殊情況下的廣義極值分布，也被稱作逆威布爾分布[1]，能夠廣泛應(yīng)用于確定產(chǎn)品壽命、維修時(shí)間、強(qiáng)度等可靠性工程中。2000年，Kotz等[2]對(duì)Frechét分布進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，其分布函數(shù)為：

生存函數(shù)為：

即：

在產(chǎn)品的質(zhì)量檢測(cè)中產(chǎn)品的生產(chǎn)材料、生產(chǎn)步驟、使用方式、使用環(huán)境等是影響產(chǎn)品質(zhì)量的因素，需要對(duì)大量的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，來決定消費(fèi)者和生產(chǎn)者是否接受這批產(chǎn)品。Kantam等[5]和Srinivasa Rao等[6]討論了log-logistic模型與Marshall-Olkin擴(kuò)展指數(shù)分布的驗(yàn)收抽樣方法。2013年，Krishna等[7]對(duì)Marshall-Olkin Fréchet分布的性質(zhì)進(jìn)行了介紹并給出了相關(guān)證明。本文主要介紹了Marshall-Olkin Fréchet分布在產(chǎn)品抽樣檢測(cè)上的應(yīng)用。本文中，考慮產(chǎn)品的壽命決定產(chǎn)品的質(zhì)量，且在抽樣試驗(yàn)中，采用不重復(fù)抽樣的方式。

1 試驗(yàn)所需最小樣本容量

當(dāng)產(chǎn)品壽命服從Marshall-Olkin Fréchet分布時(shí)，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行截尾壽命試驗(yàn)?！啊睘樵囼?yàn)開始前確定的時(shí)間，單位h。如果產(chǎn)品在前失效的個(gè)數(shù)不超過，那么稱為合格，并且希望產(chǎn)品合格時(shí)接受的概率至少為。如果產(chǎn)品在前失效的個(gè)數(shù)超過，則試驗(yàn)終止，拒絕這批產(chǎn)品?；诖耍紤]利用最小的樣本容量得到相關(guān)決策。由于產(chǎn)品壽命服從Marshall-Olkin Fréchet分布，由式(2)可得當(dāng)和已知時(shí)，平均壽命時(shí)間取決于，令0為所需要的最小平均壽命時(shí)間，()(，，，)隨著的增加減少，從而得到：

即抽樣計(jì)劃制定由以下4點(diǎn)決定：試驗(yàn)所用的樣本容量，所能接受的數(shù)量，試驗(yàn)進(jìn)行的最大持續(xù)時(shí)間，最小平均壽命時(shí)間0。

從消費(fèi)者的角度考慮產(chǎn)品失效時(shí)接受的概率應(yīng)該不超過1-，其中由、、0/確定。若試驗(yàn)為大批量抽取[8]，為批量，/≤0.05時(shí)，那么接受這批產(chǎn)品的概率應(yīng)用二項(xiàng)分布計(jì)算，利用下式：

其中0(，，，0)。

若試驗(yàn)為小批量抽取，即0(，，，0)小而樣本容量相對(duì)較大，此時(shí)二項(xiàng)分布接近參數(shù)為=0的泊松分布，則上式轉(zhuǎn)換為：

考慮來自文獻(xiàn)[4]文章中的數(shù)據(jù)，0分別取值0.562、0.762、0.953、1.212。表1和表2分別討論了為0.75、0.90、0.95、0.99，2、2時(shí)，應(yīng)用二項(xiàng)分布和泊松分布，試驗(yàn)所需的最小樣本容量。

結(jié)論：由表1和表2可得消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量要求越高，即越大，試驗(yàn)所需的樣本容量越大。若對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)的批量沒有要求，試驗(yàn)采取大批量抽取所需的樣本容量較小，從而減少浪費(fèi)。

表1 應(yīng)用二項(xiàng)分布

表2 應(yīng)用泊松分布

2 確定最小平均壽命時(shí)間

根據(jù)消費(fèi)者的接受程度，得到了抽樣的最小樣本容量。在此基礎(chǔ)上，從生產(chǎn)者的角度考慮，是否接受這批產(chǎn)品。生產(chǎn)者接受這批產(chǎn)品的概率用二項(xiàng)分布來計(jì)算：

這里的(，，，)，為平均壽命的真值。則生產(chǎn)者是否接受這批產(chǎn)品的概率取決于與消費(fèi)者角度所需的最小平均壽命0的比值，表3給出了當(dāng)/0分別取1.5、2.0、2.5、3.0、3.5時(shí)，生產(chǎn)者接受這批產(chǎn)品的概率。

表3 接受產(chǎn)品的概率

結(jié)論：置信水平取值0.90時(shí)，滿足要求的抽樣計(jì)劃為（=8，=2，00.562），得到/0為1.5、2.0、2.5、3.0、3.5時(shí)，生產(chǎn)者接受的概率分別為0.487、0.869、0.983、0.999、1.000。表明，如果產(chǎn)品真實(shí)平均壽命是給定平均壽命0的2倍，生產(chǎn)者所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)概率為0.131，當(dāng)產(chǎn)品真實(shí)的平均壽命是給定平均壽命0的3.5倍以上時(shí)，生產(chǎn)者所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)接近0。而當(dāng)取值逐漸增加，消費(fèi)者要求提高時(shí)，生產(chǎn)者接受這批產(chǎn)品的概率降低。

一般情況下，假定生產(chǎn)者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的概率不超過0.05。為確保生產(chǎn)者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的概率不超過0.05，考慮比值/0滿足：

根據(jù)表3中給定的置信水平得到的抽樣計(jì)劃（，，0），可以計(jì)算出滿足式(7)/0的最小比值，見表4。

表4 δ/δ0最小比值

結(jié)論：當(dāng)和0/取不同值時(shí)，為了滿足生產(chǎn)者的需求，可以得到/0的最小比值。根據(jù)表4，=2，=0.95，0/=0.562時(shí)，0=2.337也就是產(chǎn)品的真實(shí)平均壽命時(shí)間應(yīng)該是給定平均壽命時(shí)間的2.337倍，此時(shí)才能滿足生產(chǎn)者所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的概率不超過0.05的要求。若=1 000 h，0=562 h，從消費(fèi)者和生產(chǎn)者兩方綜合考慮，產(chǎn)品的平均壽命時(shí)間最小為1 336 h。

[1] 韓慶田, 盧洪義, 楊興根. 逆威布爾分布模型及其應(yīng)用[J]. 質(zhì)量與可靠性, 2006, 124(4): 18-21.

[2] Kotz S, Nadarajah S. Extreme Value Distributions[J]. Theory and Applications, 2000, 83(3): 744-752.

[3] Marshall A W, Olkin I. A new methods for adding a parameter to a family of distribution with application to the exponential and weibull families[J]. Biometrica, 1997, 84(4): 641-652.

[4] Krishna E, Jose K K, Alice T, et al. Applications of Marshall-OlkinFréchet distribution[J]. Communications in Statistics Simulation and Computation, 2013, 42(1): 76-89.

[5] Kantam R R L, Rosaiah K, Srinivasa Rao G. Acceptance sampling based on life tests: log-logistic model[J]. Journal of Applied Statistics, 2001, 28(1): 121-128.

[6] Srinivasa Rao G, Ghitany M E, Kantam R R L. Reliability test plan for Marshall-Olkin extended exponential distribution[J]. Applied Mathematical Sciences, 2009, 3(55): 2745-2755.

[7] Krishna E, Jose K K, Alice T, et al. Marshall-Olkin Fréchet distribution[J]. Communications in Statistics Theory and Methods, 2013, 42(1): 76-89.

[8] 王敏華. 大批量計(jì)數(shù)抽樣方案的制定[J]. 浙江工程學(xué)院學(xué)報(bào), 1999, 16(2): 123-127.

責(zé)任編校：孫 林

Application of Marshall-Olkin Fréchet Distribution to Product Sampling Inspection

ZHAO Chun-xue, LI Shu-you, MI Ying

（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

The application of Marshall-Olkin Fréchet distribution to product sampling inspection is introduced in this paper. As to how to inspect the product quality that the life time of the product follows Marshall-Olkin Fréchetdistribution, the minimum sample size in the two cases of large volume extraction and small batch extraction is considered from the consumer’s point of view,. On this basis, the risk borne by producer is taken into account, so as to get the minimum value of the average life of the product.

Marshall-Olkin Fréchet distribution; sampling inspection; minimum sample size; average life

10.15916/j.issn1674-3261.2017.06.001

O212

A

1674-3261(2017)06-0351-04

2017-06-06

趙春雪(1993-)，女，河北保定人，碩士生。 李樹有(1964-)，男，遼寧錦州人，教授，博士。