趙楓

摘 要：許多解析幾何問題均可與向量知識進(jìn)行綜合，其中有一類題型中經(jīng)常會出現(xiàn)已知向量數(shù)乘的表達(dá)式，求有關(guān)參數(shù)的問題，根據(jù)不同的圓錐曲線類型及已知條件，一般可采取不同的求解方法，本文列舉幾例，以拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：解析幾何；向量；數(shù)乘

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-253-01

一、利用幾何性質(zhì)

例1、過拋物線 的焦點(diǎn)F，斜率為 的直線交拋物線與A、B兩點(diǎn)，若 ，則 的值為___________

解析：過B作BC垂直于 于C，設(shè)BC=3t，AC=4t，AB=5t，有拋物線定義可得 ，所以

評注：求參數(shù) 的值即求AF與BF的長度之比，充分利用拋物線的幾何性質(zhì)求得長度之比相比于代數(shù)解法可以簡潔方便得多.

二、利用韋達(dá)定理

例1.如圖，設(shè)拋物線C： 的焦點(diǎn)為F， 為拋物線上的任一點(diǎn)（其中 ≠0），過P點(diǎn)的切線交 軸于Q點(diǎn).

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）Q點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為M，過M點(diǎn)作

平行于PQ的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，

若 ，求 的值.

解析：（1）略

（2） 設(shè) ，由（1）得 ，設(shè)AB的直線方程為： ，則

① 由已知

代入①式得

評注：求參數(shù) 的值，關(guān)鍵是建立關(guān)于 的方程，在此題中將向量坐標(biāo)化以后代入韋達(dá)定理可以消去 ，恰好可以建立關(guān)于 的方程.所以本題適合利用韋達(dá)定理解方程組來獲解.

三、利用圓錐曲線方程

例3.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率 ，橢圓上的點(diǎn)到焦

點(diǎn)的最短距離為 與y軸交于P點(diǎn)（0，m）（異于原點(diǎn)），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且

（1）求橢圓方程； （2）若 的取值范圍.

解析：（1）

（2）設(shè) ，則

代入橢圓方程 得：

評注：本題同樣利用解方程組求解，但與韋達(dá)定理無關(guān)，而是向量坐標(biāo)化以后將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程消去 ，建立 與參數(shù) 關(guān)系，利用 的范圍從而求得 的范圍.endprint