牛浩成

摘 要：函數(shù)是數(shù)學知識中的重要組成部分，其中，函數(shù)的最值問題，包括函數(shù)的最大值與最小值是學習函數(shù)時的重難點。不論是初等數(shù)學還是高等數(shù)學，我們都會遇到各種各樣求函數(shù)最大值與最小值的問題。本文在概述了函數(shù)最大值與最小值涵義的基礎上，通過實例具體分析了一次函數(shù)、二次函數(shù)、簡單的分式函數(shù)和無理函數(shù)的最大值最小值問題。

關鍵詞：函數(shù)；最大值；最小值

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-090-02

一、函數(shù)最大值與最小值的涵義

一般情況下，函數(shù)最值分為函數(shù)的最大值與最小值。函數(shù)的最大值與最小值指的是函數(shù)在整個定義區(qū)域內(nèi)函數(shù)值的最大值與最小值。從幾何意義上來說，函數(shù)最大（小）值指的是函數(shù)圖像的最高（低）點的縱坐標。

假設函數(shù)y=f（x）的定義域是I，如果存在實數(shù)A滿足兩點：一是對于任意實數(shù)x I，都有f（x）≥A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么實數(shù)A就是函數(shù)y=f（x）的最小值。假設函數(shù)y=f（x）的定義域是I，如果存在實數(shù)A滿足兩點：一是對于任意實數(shù)x I，都有f（x）≤A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么實數(shù)A就是函數(shù)y=f（x）的最大值。

二、函數(shù)最大值與最小值的應用

1、一次函數(shù)

一次函數(shù)又稱作線性函數(shù)，在直角坐標系中可以用一條直線來表示。當一次函數(shù)其中一個變量的值確定時，我們就可以利用一元一次方程來求解。對于一次函數(shù)y=ax+b，只要x有范圍，那么該函數(shù)就有最大值或者是最小值，或者是兩個都有，而且與a的取值范圍有很大的關系。第一，當-0，有最大值ac+b，沒有最小值；若a<0，有最小值ac+b，沒有最大值。第二，當d≤x< 時，若a>0，有最小值ad+b，沒有最大值；若a<0，有最大值ad+b，沒有最小值。第三，當d≤x≤c時，若a>0，有最大值ac+b，最小值ad+b；若a<0，有最小值ac+b，最大值ad+b。

例1：已知a>0，求函數(shù)y=ax- （1+x），當1≤x≤2時的最大值與最小值。

函數(shù)是一次函數(shù)，通過已知條件y=ax- （1+x）整理得到y(tǒng)=（a- ）x- ，由于系數(shù)不確定，所以我們要分情況進行討論。當a- >0時， >0，又因為a>0，可以得到a2-4>0，這個時候02時，函數(shù)y=ax- （1+x）有最大值a- ，最小值2a- ；當0

2、二次函數(shù)

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。當二次函數(shù)的定義域為一切實數(shù)時，值域要分為兩種情況進行討論。第一，當a>0時， ≤y<+ ；第二，當a<0時，-

例2：已知二次函數(shù)y=x2-4x+5，當a≤x≤a+1時，有最小值g（a），求函數(shù)g（a）的表達式。

根據(jù)已知條件y=x2-4x+5，得到y(tǒng)=（x-2）2+1，那么函數(shù)的對稱軸就是x=2。接著我們要判斷這一對稱軸是否在x的取值范圍內(nèi)。第一，當對稱軸在x取值范圍的左邊時，即a>2時，函數(shù)在a≤x≤a+1時是遞增的，所以函數(shù)的最小值是x=t時對應的函數(shù)值，那么g（a）=f（a）=a2-4a+5。第二，當對稱軸在a與a+1之間時，a≤2≤a+1，即1≤a≤2，這時函數(shù)的最小值是x=2時對應的函數(shù)值，那么g（a）=22-4·2+5=1。第三，當對稱軸在x取值范圍的右邊時，即a+1<2，a<1，函數(shù)在a≤x≤a+1時是遞減的，所以函數(shù)的最小值是x=a+1時對應的函數(shù)值，那么g（a）=（a+1）2-4（a+1）+5=a2-2a+2。

3、簡單的分式函數(shù)

對于簡單的分式函數(shù)，形如f（x）= 最大值與最小值的求解，最常用的方法是去分母將其轉化為關于x的一元二次方程，之后利用判別式 ≥0求出f（x）的取值范圍。

例3：求函數(shù)y= 的最大值與最小值。

首先因為2x2+2x+1=2（x+ ）2+ >0，所以函數(shù)的定義域是R，之后將已知函數(shù)y= 變成關于x的一元二次方程，（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=0。第一，當y= 時，求得x=- ；第二，當y≠ 時，根據(jù)判別式 ≥0，即（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0，得到-4≤y≤1。因此，當x=-2時，函數(shù)y= 取得最大值，最大值是1；當x=- 時，函數(shù)y= 取得最小值，最小值是-4。

4、無理函數(shù)

對于一般的無理函數(shù)，我們要將其轉化成有理函數(shù)或者是整式函數(shù)，然后再進行最大值與最小值的求解。但是要注意的是，在轉化的過程中有可能會擴大函數(shù)的定義域，所以在求解結束后，一定要將所求結果代入原來的定義域進行檢查，以確保答案的正確性。

例4：求函數(shù)y= 的最小值。

首先先將函數(shù)有理化，函數(shù)y= = ，再利用不等式的性質，由于（x-3）+ ≥2 =8，所以y≥ = ，當且僅當x-3= ，即x=7。最后將x=7帶入檢驗，滿足定義域x≥3這個條件，所以函數(shù)y= 的最小值是 。

一、總結

函數(shù)的最大值與最小值是學習函數(shù)時的重難點。我們要根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、簡單的分式函數(shù)和無理函數(shù)的特點利用不同的方法對函數(shù)的最大值與最小值進行求解，這樣才能提高我們解決問題與綜合運用知識的能力。

參考文獻

[1] 余 文，函數(shù)的最大最小值[M]，浙江人民出版社1981

[2] 熊 斌、白 薇，函數(shù)的最大值與最小值[J]，數(shù)學學習與研究：中考考生適用2007（4） ：70-72

[3] 葉小兵，用判別式法求函數(shù)的值域[J]，數(shù)理天地：高中版2016（1） ：11