☉湖北省陽新縣第一中學(xué) 石裕望

在做圓錐曲線的習(xí)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)涉及圓錐曲線的切線，需要在圖上畫出圓錐曲線的切線，但高中數(shù)學(xué)教材和課外輔導(dǎo)材料都沒有提供其畫法.本人為此進(jìn)行了探索，研究并總結(jié)出了兩種只用直尺、三角尺等常規(guī)畫線工具就可以準(zhǔn)確地畫出圓錐曲線上某一點(diǎn)的切線的幾何畫法，現(xiàn)以命題的形式介紹如下.

一、對(duì)稱點(diǎn)法

所謂對(duì)稱點(diǎn)法，就是利用圓錐曲線上已知點(diǎn)的軸對(duì)稱點(diǎn)和圓錐曲線的頂點(diǎn)，畫出圓錐曲線上已知點(diǎn)的切線的方法.

（一）橢圓的切線

命題1 如圖1所示，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作長軸線的垂線交橢圓于點(diǎn)Q（即點(diǎn)P關(guān)于長軸的對(duì)稱點(diǎn)），再作直線AP，QB，設(shè)它們交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作長軸線的垂線交長軸線于點(diǎn)N，則直線PN是橢圓上點(diǎn)P的切線.

圖1

圖2

另外，還可知點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x0，-y0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，0），

直線AP、QB的交點(diǎn)M滿足如下方程組：

所以直線PN就是橢圓上過點(diǎn)P的切線.

以上是利用長軸作畫.經(jīng)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，也可以利用短軸作畫，其方法是一樣的，即有：

命題2 如圖2所示，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作短軸線的垂線交橢圓于點(diǎn)Q（即點(diǎn)P的短軸對(duì)稱點(diǎn)），再作直線AP，QB，設(shè)它們交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作短軸線的垂線交短軸線于點(diǎn)N，則直線PN是橢圓上點(diǎn)P的切線.

命題2的證明方法同命題1.

（二）雙曲線的切線

命題3 如圖3所示，點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是雙曲線實(shí)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作實(shí)軸線的垂線交雙曲線于點(diǎn)Q（即點(diǎn)P關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)），再作直線AP，QB，設(shè)它們交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作實(shí)軸線的垂線交實(shí)軸線于點(diǎn)N，則直線PN是雙曲線上點(diǎn)P的切線.

命題3的證明方法與上述的橢圓切線完全相同.

圖3

（三）拋物線的切線

命題4 如圖4所示，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸線的垂線交拋物線于點(diǎn)Q（即點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)）、交軸線于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作軸線的平行線l，連接點(diǎn)Q和拋物線頂點(diǎn)O的直線交直線l于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作軸線的垂線交軸線于點(diǎn)N，則直線PN是拋物線上點(diǎn)P的切線.

圖4

證明：設(shè)拋物線的方程為y2=2px，點(diǎn)P（x0，y0）在拋物線上，則2px，且拋物線上過點(diǎn)P的切線的斜率0（證明略）.

另外，還可知點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x0，-y0），△MON≌△QOG，得N點(diǎn)坐標(biāo)為（-x0，0）.

所以直線PN就是拋物線上過點(diǎn)P的切線.

二、中點(diǎn)法

所謂中點(diǎn)法，就是利用某一特定線段的中點(diǎn)，畫出圓錐曲線上已知點(diǎn)的切線的方法.

（一）橢圓的切線

命題5 如圖5所示，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)B作長軸線的垂線交直線AP于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn)，則直線PN是橢圓上點(diǎn)P的切線.

圖5

圖6

因?yàn)辄c(diǎn)A坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，0），不難求得

所以直線PN就是橢圓上過點(diǎn)P的切線.

以上是利用長軸頂點(diǎn)作畫.同樣，經(jīng)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，也可以利用短軸頂點(diǎn)作畫，其方法是一樣的，即有：

命題6 如圖6所示，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)B作短軸線的垂線交直線AP于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn)，則直線PN是橢圓上點(diǎn)P的切線.

命題6的證明方法同命題5.

（二）雙曲線的切線

命題7 如圖7所示，點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是雙曲線實(shí)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)B作實(shí)軸線的垂線交直線AP于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn)，則直線PN是雙曲線上點(diǎn)P的切線.

命題7的證明方法與上述的橢圓切線完全相同.

圖7

圖8

（三）拋物線的切線

命題8 如圖8所示，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，坐標(biāo)軸原點(diǎn)O是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸線的平行線交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段OM的中點(diǎn)，則直線PN是拋物線上點(diǎn)P的切線.

證明：設(shè)拋物線的方程為y2=2px，點(diǎn)P（x0，y0）在拋物線上，則拋物線上過點(diǎn)P的切線的斜率

另外，還可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，y0），N點(diǎn)坐標(biāo)為

所以直線PN就是拋物線上過點(diǎn)P的切線.

1.相生亞，裘良.圓錐曲線的一類切線的幾何畫法.數(shù)學(xué)通報(bào)，2004（2）.