☉江蘇省張家港市塘橋高級(jí)中學(xué) 湯 鴻

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂往往源于兩個(gè)方面：一是利用數(shù)學(xué)上巧妙的結(jié)論對(duì)數(shù)學(xué)問題實(shí)行“秒殺”獲得愉悅；二是通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的探索獲得享受，但時(shí)常走彎路，好似古人說的“曲徑通幽處”.所以作為教師在教學(xué)時(shí)也經(jīng)常會(huì)遇到讓學(xué)生走“彎路”還是直接給“捷徑”的選擇，面對(duì)這種選擇，筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)，從教學(xué)設(shè)計(jì)、例題選擇、解題方法三個(gè)方面談?wù)剬?duì)此的認(rèn)識(shí)，回答為什么高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要“過程結(jié)論需并重，彎路捷徑兩相宜”，以期拋磚引玉.

一、探究中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，“彎路”通幽處

案例1 《橢圓焦點(diǎn)三角形的面積問題》的教學(xué)設(shè)計(jì).

學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合解三角形知識(shí)解決焦點(diǎn)三角形的面積問題.

重點(diǎn)、難點(diǎn)：理解橢圓的定義，掌握橢圓性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

1.創(chuàng)設(shè)情境，特例激疑

師：橢圓上的點(diǎn)P符合怎樣的條件？

圖1

生1：|PF1|+|PF2|=10 3 .

師：條件∠F1PF2=90°的等價(jià)條件是什么？

生2：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=200.

師：如何求△F1PF2的面積？

2.分析探究，認(rèn)知類比

問題2：將問題1中的∠F1PF2=90°換為∠F1PF2=60°，如圖2，結(jié)果如何？

生4：條件|PF1|+|PF2|=10不變，由∠F1PF2=60°得到|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=

圖2

師：將問題1中的∠F1PF2=90°換為∠F1PF2=∠120°，結(jié)果如何？

生5：簡(jiǎn)單，將問題中的60°換為120°即可，我已經(jīng)算出來了，S=25

師：好，我們一起來再將問題1進(jìn)行變式.

問題3：去掉題中的條件∠F1PF2=90°，求△F1PF2面積的最大值.

師：非常好，現(xiàn)在大家回頭看看我們剛剛碰到的三種情況，有沒有什么問題？

生7：好像真有問題，∠F1PF2=120°時(shí)得到的面積超出了最大值，為什么啊？

生8：因?yàn)椤螰1PF2根本就取不到120°，當(dāng)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有當(dāng)P落在短軸端點(diǎn)時(shí)∠F1PF2最大（如圖3，不要求證明），而此題中最大的∠F1PF2明顯小于120°.

圖3

師：所以和生5一樣想法的同學(xué)，沒注意到這個(gè)細(xì)節(jié)，導(dǎo)致錯(cuò)誤了.

3.完善知識(shí)，歸納引申

圖4

生9：|PF1|+|PF2|=2a，

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=|F1F2|2.

說明：通過特例的研究，要使學(xué)生從低級(jí)的理論提升到高級(jí)的理論，從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化或順應(yīng)成為高一級(jí)的新認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu).為此，適時(shí)歸納總結(jié)，適當(dāng)反思評(píng)估，對(duì)實(shí)現(xiàn)“遷移應(yīng)用”層次具有重要作用.教學(xué)過程中，讓學(xué)生先“犯錯(cuò)”再“糾錯(cuò)”，而且學(xué)生錯(cuò)得有價(jià)值，層層遞進(jìn)似“彎”實(shí)“直”，方法過程與結(jié)論皆在其中，表面上的彎路卻和本質(zhì)上的結(jié)論同等地位，這樣的教學(xué)效果遠(yuǎn)比教師直接將結(jié)論告知學(xué)生要好很多.

二、訓(xùn)練中提煉結(jié)論，“彎路”是階梯

案例2《和定點(diǎn)、定直線距離相關(guān)的軌跡問題》的教學(xué)設(shè)計(jì).

1.問題的提出

圓錐曲線的“第二定義”，在新課程的教材中被隱去，可是通過對(duì)新教材的研讀，發(fā)現(xiàn)教材編者對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的“戀戀不舍”之情.文2中P47例6，P59例5都是“不舍之情”的真實(shí)流露.“通過具體的例子使學(xué)生感受橢圓（雙曲線）的另一種定義方式，教學(xué)時(shí)要注意控制難度，不要對(duì)學(xué)生提出橢圓的“第二定義”的概念，更不要提出建立圓錐曲線方程的要求.”這是教材指導(dǎo)用書對(duì)上課教師的要求.針對(duì)這種情況，筆者采用的是題組教學(xué)法：

2.題組的呈現(xiàn)

題目：求滿足下列條件的點(diǎn)M的軌跡.

（1）點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：x=

（2）點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（5，0）的距離和它到直線l：x=

（3）點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：x=-4的距離之比是常數(shù)1.

3.選題的依據(jù)

“過程與方法”是新課程標(biāo)準(zhǔn)的一項(xiàng)課程目標(biāo).這一目標(biāo)變“追求學(xué)習(xí)的結(jié)果”為“強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的過程”，注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程的積極體驗(yàn)和科學(xué)方法的掌握與內(nèi)化.這就要求教師不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)目標(biāo)的認(rèn)知和追求，更要關(guān)注學(xué)生個(gè)性的差異，關(guān)注學(xué)生能力的發(fā)展，注重學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方法的主動(dòng)探究，遵循學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的潛能.選用的例題作為教材例題具有代表性和權(quán)威性，也符合比較和類比學(xué)習(xí)的過程要求，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

說明：通過題組訓(xùn)練，學(xué)生重溫了直接法求點(diǎn)的軌跡的方程的過程，感受了常數(shù)對(duì)軌跡的影響，在不違背《指導(dǎo)意見》的前提下，讓學(xué)生充分體會(huì)，同時(shí)對(duì)引出拋物線的定義也就顯得自然了.

三、考試中運(yùn)用結(jié)論，“捷徑”變“效益”

在平時(shí)的教學(xué)過程中，讓學(xué)生做一些“思考”“探究”，甚至犯一些錯(cuò)誤，適當(dāng)?shù)刈咭蛔摺皬澛贰?，不但?duì)學(xué)生的意志品質(zhì)有所鍛煉，也有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深入理解和透徹認(rèn)識(shí)，但往往要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力，老師在講評(píng)試卷的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)被學(xué)生追問有沒有簡(jiǎn)單的方法.必須承認(rèn)的事實(shí)，目前為止，考試是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的最有效手段，傳授給學(xué)生一些實(shí)用的結(jié)論，以及適當(dāng)?shù)慕忸}方法和技巧有助于提高解題效率，省時(shí)省力.

案例3 極化恒等式的引進(jìn)和應(yīng)用.

題目：設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)，恒有的形狀為___________.

常規(guī)解法：解決向量問題一般有兩條思路：利用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化為基底的線性運(yùn)算，建系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)化處理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.沿著這兩條思路，學(xué)生比較容易想到的解法如下：

方法2：（利用捷徑）基本定理的方式是向量問題解決之本，但是需要花費(fèi)一定的時(shí)間，適時(shí)地拋出“極化恒等式”的理論，告訴學(xué)生有一種方法能節(jié)省時(shí)間，立刻就能讓學(xué)生充滿好奇心和求知欲.極化恒等式b）2-（a-b）2］.

說明：在有限的考試時(shí)間內(nèi)，如果能給學(xué)生一個(gè)行之有效的方法，不僅僅是時(shí)間上的節(jié)省，也是對(duì)學(xué)生信心的提升和考試心態(tài)的良好調(diào)節(jié)，此時(shí)選擇走“捷徑”才是明智之舉.類似極化恒等式的結(jié)論，在考試過程中經(jīng)常會(huì)被應(yīng)用到的常見結(jié)論有：阿波羅尼斯圓，拉格朗日定理，洛必達(dá)法則等.

在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以以自己的經(jīng)驗(yàn)節(jié)省學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間，往往造成的后果是學(xué)生變成做題的工具，對(duì)結(jié)論一知半解，缺乏必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也偏離了數(shù)學(xué)教學(xué)的正確方向；另一方面，在緊張的考試過程中，如果平時(shí)不介紹一些思想方法、解題技巧和常用結(jié)論，會(huì)讓學(xué)生陷入大量運(yùn)算之中，進(jìn)而導(dǎo)致無法在有限的時(shí)間內(nèi)完成答題，會(huì)讓學(xué)生充滿挫敗感的負(fù)面情緒.教師在教、考之間，如何安排好過程和結(jié)論的比重，是一個(gè)值得思考的問題.

1.中華人民共和國教育部·普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.中華人民共和國教育部·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)選修2-1［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.葉國芳，蔣青松.對(duì)一道高考題的通法研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（12）.F