☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 施冬芳

在數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程中，直覺思維是一種奇妙的力量，它一般表現(xiàn)為直接的、突然的，而且是一種富有創(chuàng)造力的認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的心理活動(dòng)，在中國禪學(xué)中人們將其稱為“頓悟”.對(duì)學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，無論是科學(xué)探究活動(dòng)，還是數(shù)學(xué)問題的解決過程，直覺思維都有相當(dāng)重要的作用，而且它也普遍存在于學(xué)生數(shù)學(xué)研究的每一個(gè)環(huán)節(jié).為此，高中數(shù)學(xué)教師必須有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直覺思維進(jìn)行培養(yǎng)，我們要讓他們將直覺思維、邏輯思維和宏觀思維整合起來，有效提升其數(shù)學(xué)能力.

一、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽的科學(xué)猜想

直覺的源泉是個(gè)體已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)它也是知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累到某種程度之后的必然產(chǎn)物.在科學(xué)探究的過程中，學(xué)生的猜想大多是建立在直覺的基礎(chǔ)上，我們要通過有效的訓(xùn)練才能對(duì)學(xué)生的直覺思維進(jìn)行高效地培養(yǎng).

例1 現(xiàn)有定義在R上的函數(shù)f（x），其滿足以下條件：f（1）=2，且f′（x）＜1，求不等式f（x2）＜x2+1的解集.

分析：本題沒有直接提供函數(shù)的具體形式，這也就意味著只要滿足條件的函數(shù)，其解集是一樣的.因此我們可以任意構(gòu)建一個(gè)滿足條件的函數(shù)，比如可以求得x＞1或x＜-1.

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生其實(shí)并不缺乏進(jìn)行猜想的靈感，他們所欠缺的是表達(dá)的勇氣和機(jī)會(huì).為此，教師必須要引導(dǎo)學(xué)生在課堂上建構(gòu)活潑的學(xué)習(xí)氛圍，面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中提出的設(shè)想和方法，教師要給予善意的鼓勵(lì)和積極的引導(dǎo).此外，為了幫助學(xué)生沿著正確的方向進(jìn)行思考，教師還要及時(shí)跟進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)展，研究學(xué)生的思維特點(diǎn)，進(jìn)而為學(xué)生提供適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ龑?dǎo).這樣，即便通過最終的檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的猜想存在錯(cuò)誤，但學(xué)生通過對(duì)過程的體驗(yàn)依然可以讓他們的直覺思維得到充分的訓(xùn)練.以后學(xué)生再次面臨繁難的問題時(shí)，他們也會(huì)自發(fā)地開動(dòng)思維、展開猜想，由此讓自己的直覺思維能力得到提升.

二、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)為學(xué)生的直覺思維提供保障

如果沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生的直覺思維只能是無源之水，有關(guān)設(shè)想只能淪為空談.須知直覺思維并非是憑空想象或胡思亂想，所有的工作必須以一定的知識(shí)體系、經(jīng)驗(yàn)積累和思維習(xí)慣為基本前提，因此教師在平常的教學(xué)中要幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，并引導(dǎo)學(xué)生積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在問題分析中發(fā)現(xiàn)靈感，通過直覺思維探求到問題解決的突破口，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決.我們必須記住，離開了扎實(shí)的基礎(chǔ)和廣闊的視野，學(xué)生根本無法得到突破難點(diǎn)的靈光一現(xiàn).

例2 現(xiàn)有間距為d的兩個(gè)光源A和B，其強(qiáng)度分別為a和b，試問：在兩光源的連線AB上，什么位置的照度最?。空?qǐng)根據(jù)a=8，b=1，d=3等情況來分析上述問題，已知照度正比于光的強(qiáng)度，反比于到光源距離的平方.

分析：假設(shè)線段上有點(diǎn)P，且P點(diǎn)到光源A的距離為x，則該點(diǎn)到光源B的距離為3-x（0＜x＜3）.

對(duì)于x3-8（3-x）3，常用的方法是利用立方差的因式分解得到9（x-2）（x2-6x+12），接下去則是求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而明確當(dāng)x=2時(shí)，I（x）可以取最小值.

然而在實(shí)際操作中，采用立方差因式分解的結(jié)論來處理x3-8（3-x）3的設(shè)想提出還是比較自然的，但是進(jìn)行下去卻相當(dāng)煩瑣.如果是讓學(xué)生在考試中這樣來處理，相信他們將承受非常大的心理壓力，并導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生，以至于費(fèi)勁心力卻無法得到正確的結(jié)論.事實(shí)上，問題解決的思路并不是唯一的，假如學(xué)生對(duì)冪函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)掌握得比較扎實(shí)，就可以結(jié)合直覺感知來組織思路：x3-（6-2x）3的取值情況就是一個(gè)比較大小的問題，x3和（6-2x）3的大小比較又可以簡化為x與6-2x的大小比較，按照這樣的思路進(jìn)行討論，即便不通過因式分解，我們也可以得結(jié)果.

三、通過數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力

敏銳的觀察力是學(xué)生進(jìn)行直覺思維的基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)問題的研究過程中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的觀察和聯(lián)想，由此培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形象的觀察能力，讓學(xué)生能夠熟練地進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，這樣可以讓學(xué)生多角度地建構(gòu)立體化的數(shù)學(xué)思維，從而讓學(xué)生從多個(gè)側(cè)面著手，分析圖像的基本特點(diǎn)，并作出最正確的判斷.

例3 某農(nóng)場(chǎng)主的農(nóng)場(chǎng)面積為50畝，他計(jì)劃在這片農(nóng)場(chǎng)上全部種植韭菜和黃瓜，計(jì)劃投資的金額不超過54萬元，如果黃瓜、韭菜的產(chǎn)量、生產(chǎn)成本以及銷售價(jià)格如下表所示：

年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價(jià)黃瓜 4t 1.2萬元 0.55萬元韭菜 6t 0.9萬元 0.3萬元

為了讓農(nóng)場(chǎng)主收獲最大的利潤（總的銷售收入和種植成本的差值），請(qǐng)你幫助他規(guī)劃一下各種作物的種植面積，并計(jì)算出最大利潤的數(shù)值.

分析：本題考查學(xué)生對(duì)線性規(guī)劃知識(shí)的理解，同時(shí)也在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移能力.如圖1所示，假設(shè)黃瓜的種植面積為x畝，韭菜的種植面積為y畝，總的種植利潤為z萬元，則農(nóng)場(chǎng)主的利潤可以用函數(shù)表示為z=（0.55×4x-1.2x）+（0.3×6y-0.9y）=x+0.9y.線性約束條件可以表示為

圖1

作出上述不等式組所表示的可行域，即可求得點(diǎn)A（0，50），點(diǎn)B（30，20），點(diǎn)C（0，45）.平移直線l0：z=x+0.9y，因此可知，當(dāng)直線l0經(jīng)過點(diǎn)B，即x取30，y取20時(shí)，z具有最大值.所以種植黃瓜30畝，種植韭菜20畝，農(nóng)場(chǎng)主可以收獲最大的種植利潤，代入數(shù)據(jù)可得利潤金額為48萬元.

關(guān)于數(shù)學(xué)直覺，徐利治先生有過這樣的論述：“數(shù)學(xué)直覺是可以通過后天培養(yǎng)獲得的，實(shí)際上每一個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺都是在學(xué)習(xí)中不斷提高的.”在日常的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)生在直覺思維方面的訓(xùn)練.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維是我們過程與方法的主要目標(biāo)，更是知情合一的主要成果，因?yàn)橹挥袑W(xué)生的情感得到了和諧的發(fā)展，才能形成敏銳的洞察力，繼而養(yǎng)成“一葉落而知天下秋”的聯(lián)想習(xí)慣，因?yàn)榻虒W(xué)實(shí)踐告訴我們，在學(xué)生的思維能力發(fā)展過程中，直覺思維能力與邏輯思維能力將占據(jù)同樣重要的地位，數(shù)學(xué)直覺思維的訓(xùn)練可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)素質(zhì).為了更加有效地對(duì)學(xué)生的直覺思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，我們應(yīng)該努力促進(jìn)學(xué)生由“被動(dòng)接受”的學(xué)習(xí)狀態(tài)演化為“主動(dòng)思考”的學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓學(xué)生在知識(shí)探索和問題處理中品嘗到直覺思維帶來的成功，這樣才能讓他們真正地意識(shí)到直覺思維的價(jià)值.

1.沈建華.心有靈犀，直覺感悟——例談小學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力培養(yǎng)［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2013（13）.

2.吳建鳳.踏雪尋梅，直覺感悟——農(nóng)村初中學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維運(yùn)用的障礙及培養(yǎng)策略［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2015（13）.

3.姚新國.例談學(xué)生提出新問題能力的培養(yǎng)——借助直覺思維提出問題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2002（10）.F