☉陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) 張 嵐

中考?jí)狠S題常常以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)，其中以反比例函數(shù)為例，具有形式多樣、知識(shí)綜合、解法抽象的特點(diǎn)，求解過(guò)程容易偏離方向，造成學(xué)生思路受阻.針對(duì)該情況，有必要對(duì)中考真題進(jìn)行有效分析，從中總結(jié)解題的思路方法，并進(jìn)行推廣學(xué)習(xí).

圖1

一、真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1.真題呈現(xiàn).

（2017年四川南充中考數(shù)學(xué)卷）如圖1，直線y=kx（k為常數(shù)，k≠0）與雙曲線y=m為常數(shù)，m＞0）的交點(diǎn)為A、B，AC⊥x軸于點(diǎn)C，∠AOC=30°，OA=2.

（1）求m的值；

（2）點(diǎn)P在y軸上，如果S△ABP=3k，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.試題解析.

分析：（1）本題涉及曲線和直線，求雙曲線中的參數(shù)m的值，只需求得曲線上的一點(diǎn)A的坐標(biāo)即可.在△AOC中，已知∠AOC和邊OA，可運(yùn)用三角公式求得邊OC、AC，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).（2）設(shè)點(diǎn)P（0，a），利用S△ABP=S△APO+S△BPO=3k可求得a與k的數(shù)量關(guān)系，求直線y=kx的具體解析式，已知點(diǎn)A位于直線上，可利用點(diǎn)A的坐標(biāo)求k的值，進(jìn)而確定點(diǎn)a的值.

（2）如圖2，在y軸上作一點(diǎn)P，連接AP、BP.

圖2

3.試題點(diǎn)評(píng).

上述題目為中考常見(jiàn)的涉及反比例函數(shù)的綜合題，主要考查反比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí).求反比例函數(shù)的解析式時(shí)，根據(jù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，通過(guò)求參數(shù)來(lái)完善函數(shù).對(duì)于涉及利用三角形求點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題，采用數(shù)形結(jié)合思想，利用面積的分割構(gòu)造法建立已知量與坐標(biāo)參數(shù)之間的關(guān)系，從而達(dá)到求解的目的.整個(gè)過(guò)程數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的完美解決.

二、考題鏈接：反比例函數(shù)

反比例函數(shù)是一種特殊的曲線函數(shù)，以其為載體的綜合題具有一定的解法共性，上述考題解法的核心是數(shù)形結(jié)合，分割構(gòu)造基本圖形，將定點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何的特征問(wèn)題，從而建立與圖形邊長(zhǎng)相關(guān)的關(guān)系式，該思路可進(jìn)行有效推廣，用于求解反比例函數(shù)相關(guān)問(wèn)題.

1.構(gòu)造三角形，面積分割.

對(duì)于涉及圖形面積的反比例函數(shù)綜合題，在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)可嘗試對(duì)幾何圖形進(jìn)行面積分割，充分利用面積公式建立坐標(biāo)與邊長(zhǎng)、面積之間的聯(lián)系，通過(guò)求相關(guān)參數(shù)的方式來(lái)求解，從而轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

試題：如圖3，將透明三角形紙片PAB的直角頂點(diǎn)P落在第四象限，頂點(diǎn)A、B分別落在反比例函數(shù)y=圖像的兩支上，且PB⊥x軸于點(diǎn)C，PA⊥y軸于點(diǎn)D，AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、F，已知B（1，3）.

（1）求參數(shù)k的值；

圖3

圖4

分析：（1）點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖像上，將坐標(biāo)代入可求k的值；（2）求P的坐標(biāo)，設(shè)P（1，m），已知四邊形ABCD的面積，可進(jìn)行面積分割構(gòu)造，將其分割為四邊形BFDC和三角形ADF，m與三角形ADF的面積相關(guān)，通過(guò)面積建立起關(guān)于m的關(guān)系式，結(jié)合已知條件可求解.

2.構(gòu)造矩形，特征利用.

對(duì)于涉及三角形邊長(zhǎng)的反比例函數(shù)綜合題，可嘗試構(gòu)造矩形，將三角形放在矩形中，利用“一線三直角”定理加以研究，充分利用矩形的邊角特性，借助邊長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)待求點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)化，然后結(jié)合函數(shù)解析式準(zhǔn)確求解.

分析：因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，可構(gòu)造一矩形，將△ABC放入其中分析，設(shè)CH=m，根據(jù)三角形相似、三角形全等、矩形性質(zhì)，可用含m的式子表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，又已知點(diǎn)A位于雙曲線上，將坐標(biāo)代入可得m的值，進(jìn)而可求點(diǎn)C的坐標(biāo).

解：構(gòu)造一矩形，使△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別位于矩形的三條邊上，如圖6，設(shè)CH=m，由△CDH∽△CAF，可得，所以HF=m.點(diǎn)E、F到x軸的距離相等，則EH=m，CE=（-1）m.分析可知△ACF?△CBE，可得AF=CE=（-1）m，BE=CF=（+1）m.矩形對(duì)邊相等，有GF=BE=（+1）m，所以AG=2m.根據(jù)對(duì)稱性可知AM=m.則點(diǎn)A（m，m），代入曲線解析式可得m=，則C（2，-）.

由上述考題可知數(shù)形結(jié)合是求解反比例函數(shù)綜合題的核心思想，分割構(gòu)造基本圖形的方式可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的有效轉(zhuǎn)化，坐標(biāo)、邊長(zhǎng)、面積三者之間可通過(guò)幾何圖形完美建立代數(shù)關(guān)系，也是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題有效解決的途徑，充分利用圖形性質(zhì)、合理選取轉(zhuǎn)化方法，以形助數(shù)，簡(jiǎn)化解題.

三、深入思考，教學(xué)反思

1.學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，拓展方法.

對(duì)于反比例函數(shù)綜合題，理解函數(shù)的圖像、性質(zhì)是有效解題的基礎(chǔ)，例如，函數(shù)的增減性、過(guò)圖像上一點(diǎn)作坐標(biāo)的垂線段，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積是一定值.曲線頂點(diǎn)問(wèn)題的探究過(guò)程離不開(kāi)對(duì)函數(shù)圖像的分析，利用圖像上點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化的便利性可簡(jiǎn)化解題過(guò)程，在教學(xué)中，教師要充分引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，理解函數(shù)的圖像，從問(wèn)題出發(fā)，以函數(shù)性質(zhì)收尾，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的一般化、具體化.同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)解法進(jìn)行歸納總結(jié)，拓展推廣，解一題學(xué)一類(lèi)題，達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果.

2.注重思想，長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.

數(shù)學(xué)思想的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)知識(shí)，初中教學(xué)的主旨應(yīng)該是以數(shù)學(xué)知識(shí)和問(wèn)題作為載體，向?qū)W生傳達(dá)數(shù)學(xué)思想，讓思想方法隱含在知識(shí)的形成、發(fā)展及應(yīng)用中，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)習(xí)思想方法，獲得深層次的提升.以反比例函數(shù)綜合問(wèn)題為例，要在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、建模思想等，使學(xué)生在思想層面獲得永久提升，從而有利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.

3.自主學(xué)習(xí)，能力優(yōu)先.

數(shù)學(xué)是一門(mén)注重邏輯思維的學(xué)科，在教學(xué)中應(yīng)該以學(xué)生為主體，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，提高學(xué)生的參與度、問(wèn)題的探究深度，重視學(xué)生自主能力的提升，提高學(xué)生分析、解決、總結(jié)問(wèn)題的能力，使學(xué)生具備自主學(xué)習(xí)的能力.數(shù)學(xué)知識(shí)和基本技能是相互交織、相互融合的，但能力的提升應(yīng)該是中學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，“發(fā)展學(xué)生思維能力和應(yīng)用能力”是中學(xué)課改對(duì)初中教學(xué)提出的永久要求，應(yīng)大力推廣.

四、結(jié)束語(yǔ)

中考對(duì)反比例函數(shù)的考查越發(fā)趨近多樣化、綜合化，但解題的思路依然是充分利用函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，借助圖形構(gòu)造建立坐標(biāo)、邊及面積之間的相互聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的有效轉(zhuǎn)化.在教學(xué)中要注重基礎(chǔ)知識(shí)的講授，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，能力優(yōu)先，倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí).

1.儲(chǔ)秀梅.同類(lèi)跟進(jìn)：試卷講評(píng)課的一種策略——以一道反比例函數(shù)把關(guān)題講評(píng)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（5）.

2.許彬.蘊(yùn)內(nèi)涵重能力促發(fā)展——一道中考?jí)狠S題的亮點(diǎn)賞析及教學(xué)啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（2）.

3.孫小星.方法在手，“k”值易求［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（32）.

4.劉靜.小議如何理解教材、如何教教材——以“反比例函數(shù)”教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（8）.