☉江蘇無錫市雪浪中學(xué) 戴倍琪

☉江南大學(xué)附屬實驗中學(xué) 龐彥福

☉江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校 許 彬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理.例如，對于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實施這些步驟的理由”［1］.2017年無錫市數(shù)學(xué)中考的其中一題恰好詮釋了這種理念.

試題：如圖1，已知等邊△ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：

（1）作△ABC的外心O；

（2）設(shè)D是AB邊上一點，在

圖中作出一個正六邊形DEFGHI，使點F、H分別在邊BC和AC上.

本題為整份試卷的第24題（全卷28題），在歷年無錫市中考數(shù)學(xué)試卷中該題一般來說是“送分”題，今年卻成了“失分”題，原因何在呢？

圖1

一、問題分析與解決

作圖題在《標(biāo)準(zhǔn)》中是這樣要求的：“在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.”同時明確了：“能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.”

考題第（1）問作△ABC的外心O恰是通過作“線段的垂直平分線”的方法來作出△ABC的外心O.而完成作圖的關(guān)鍵是必須知道什么是三角形的外心.《標(biāo)準(zhǔn)》在“課程內(nèi)容”部分明確要求“知道三角形的外心”.如果學(xué)生能夠真正按照《標(biāo)準(zhǔn)》要求“知道三角形的外心”，那么命題者送出的第（1）問的分?jǐn)?shù)學(xué)生就能輕而易舉地得到了.

第（2）問要作出的圖形是一個“條件”正六邊形，這個正六邊形DEFGHI的一個頂點是已知等邊△ABC的邊AB上一個“不確定”點D，而且點F、H分別在邊BC和AC上.由于學(xué)生審題不清，而且不知道承上啟下，沒能將第（1）問和第（2）問有效聯(lián)系，想不出如何來作出正六邊形DEFGHI.由于第（1）問已經(jīng)作出等邊△ABC的外心O，于是應(yīng)該想到以O(shè)為圓心，OD的長為半徑畫圓弧，與邊BC的交點為F，與邊AC的交點為H，再通過作垂直平分線等方法，即可作出正六邊形DEFGHI.進(jìn)一步思考，不難發(fā)現(xiàn)，滿足題目條件的正六邊形是確定的，點D是正六邊形DEFGHI的一個頂點，其實點D就是AB邊的三等分點，點E、F、G、H、I分別在邊AB、BC和AC上. 如果明白了這些，不僅能夠作出正六邊形DEFGHI而且方法也不是唯一的.譬如，無論是先作出線段BD的中點，還是先根據(jù)等邊三角形確定點I，或者利用作平行線的方法來確定點I，或者……都可以作出正六邊形DEFGHI.

二、考查的價值取向

中考主要是為高一級的學(xué)校選拔學(xué)生，因此，中考是初中階段最重要的考試，不但考量初中學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量，更決定著學(xué)生初中畢業(yè)后能夠進(jìn)入什么樣的學(xué)校，而數(shù)學(xué)學(xué)科由于易于拉開分?jǐn)?shù)檔次，倍受師生、家長及社會的高度關(guān)注.中考不僅僅是對學(xué)生的考查和選拔，更是引領(lǐng)學(xué)校及教師教學(xué)的風(fēng)向標(biāo).

隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，考試、選拔也越來越注重對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及學(xué)科素養(yǎng)的考查.因此，對命制中考考題的要求也越來越高，命制出的題目應(yīng)該是思路清晰，能夠全面考查和評價學(xué)生知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成情況.本題表面上是考查學(xué)生的作圖，其實，作圖背后的知識及知識之中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與深度理解才是關(guān)鍵，才是核心，才是支撐作圖的根基.

三、考題的根在哪里

研究考試、研究考題，是教師專業(yè)成長的需要，更是為了以后的教學(xué).研究考題，就是進(jìn)一步認(rèn)識和理解“基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思考與問題解決”的教學(xué)目標(biāo)的落實情況；研究考題，才可能了解到考題的“前世今生”.

1.在教科書的概念里.

“三角形的外心”是蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱《教科書》）九年級上冊“第2章對稱圖形——圓”中“確定圓的條件”（第51頁）的一個概念.《教科書》是這樣描述的：“三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫作三角形的外接圓，外接圓的圓心叫作三角形的外心.”解答該題的過程中或?qū)W生糾結(jié)于該題時，作為數(shù)學(xué)教師的我們可能會對李邦河院士論述概念的一句話多一些認(rèn)識和理解，即“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的.技巧不足道也”［2］.有些學(xué)生之所以無從下手，原因是對“三角形的外心”的定義已經(jīng)似是而非了（或根本就沒能真正理解或記住三角形外心的概念），怎么可能會快速而準(zhǔn)確地作出△ABC的外心呢？教學(xué)中重視概念的形成過程，厘清知識（當(dāng)然包括概念）發(fā)生、發(fā)展的過程，弄清楚知識的來龍去脈真的很重要.

2.在教科書的例題里.

作△ABC的外心是作三角形三邊的垂直平分線？還是只需要作其中兩條邊的垂直平分線呢？順著“三角形的外接圓”→“三角形的外心”向前探尋，教科書八年級上冊第2章“軸對稱圖形”中“線段、角的軸對稱性”（第53頁）的例1是這樣的：

例1 已知：如圖2，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點O.

求證：點O在BC的垂直平分線上.

圖2

證明：連接OA、OB、OC.

∵點O在AB的垂直平分線l1上，

∴OA=OB（線段垂直平分線上的點到線段兩段的距離相等）.

同理，OA=OC.

∴OB=OC.

∴點O在BC的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）.

這個例題實際上就是證明了“三角形三邊的垂直平分線相交于一點”，同時在教師用書中提到了《標(biāo)準(zhǔn)》對“三角形的外心”的要求.教科書這一頁例1上面的“操作”環(huán)節(jié)清清楚楚交待了作線段的垂直平分線的方法.對作不出“三角形的外心”的學(xué)生來說，真可謂是“基礎(chǔ)不牢地動山搖”??！

3.在教科書的探究中.

考題的第（2）問根據(jù)已有圖形和已知條件作符合條件的正六邊形DEFGHI其實也是取材于課本.教科書九年級上冊“2.6正多邊形與圓”中的“數(shù)學(xué)實驗室”是這樣指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的：

如圖3，點A、B、C、D、E、F把⊙O六等分.

圖3

（1）在一張透明紙上畫與圖3形狀、大小相同的圖形，并把它們疊合在一起；

（2）把所畫圖形繞點O旋轉(zhuǎn)60°，你發(fā)現(xiàn)了什么？再旋轉(zhuǎn)60°呢？

你能用圖形運動的方法證實六邊形ABCDEF是正六邊形嗎？

該數(shù)學(xué)實驗的目的顯然是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和思考.

考試時如果學(xué)生根本找不到解決的途徑，原因是什么呢？教學(xué)時，這樣的“數(shù)學(xué)實驗”學(xué)生嘗試過嗎？操作過嗎？探究過嗎？學(xué)生有足夠的時間思考嗎？解題方法的尋找與選擇往往是由思路產(chǎn)生或催生的，而思路則是對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識與理解的一種體現(xiàn)，是已有經(jīng)驗的遷移.解題的關(guān)鍵是審清題目，理解題意，有清晰的解決思路，然后規(guī)范地寫出來.考試中反映出來的問題不僅要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，更需要我們一線教師來反思、反省平日的教學(xué).

4.在教科書的題目里.

至于說作出的符合條件的正六邊形DEFGHI是什么樣子，教科書里有沒有題目的“影子”呢？思維的起點往往源自觀察，觀察的目的是為了有所發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然發(fā)現(xiàn)有價值的東西更需要不斷的深層次的思考.如果學(xué)生學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過程中悉心研讀課本，便會發(fā)現(xiàn)教科書內(nèi)容后面的習(xí)題（九上第81頁）第2題與考題有著密切的聯(lián)系.痛定思痛，原因是忽略了課本，沒有悉心閱讀和研究教科書.

課本第81頁第2題：

如圖4，把一個邊長為a的正三角形紙片剪成正六邊形（圖中的陰影部分），剪去的3個小三角形的邊長應(yīng)是多少？為什么？

初中三年，學(xué)生做過的數(shù)學(xué)題有多少呢？很難說出一個具體的數(shù)，若按每天至少做20道題，一年（按365天）最多25天不寫作業(yè)（其實周末、節(jié)假日沒有幾個學(xué)生不學(xué)習(xí)、不寫作業(yè)的），這樣應(yīng)該是20×340×3=20 400，也就是說通常情況下，一個學(xué)生在初中階段做過的數(shù)學(xué)題往往會超過20 000道，而中考試卷上是28道題，其他省市也都是不到30道題.“20 000與28”是否存在包含或覆蓋關(guān)系呢？明眼人不用計算也知道.可偏偏有一些老師或家長借著“學(xué)習(xí)”的名義、借著“練習(xí)”的名義、借著“熟能生巧”的名義逼著孩子“死練”“傻練”，殊不知“熟能生巧”的背后還可能出現(xiàn)“熟能生厭”“熟能生笨”“熟能生亂”.練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的必要經(jīng)歷和環(huán)節(jié)，但要明白練習(xí)的目的，是為了進(jìn)一步理解，為了鞏固，是知識的靈活運用.學(xué)生學(xué)習(xí)或研題一定要想透徹，弄清楚.沒有理解的練習(xí)是傻練，越練越傻；沒有練習(xí)的理解是空想，越想越空［3］.教科書中無論是例題還是內(nèi)容后面的練習(xí)題（包括課時練習(xí)及章節(jié)的習(xí)題與復(fù)習(xí)題）是教科書編寫者精心選編的，是經(jīng)過課程專家、教育專家及教學(xué)專家深思熟慮之后才放到課本里的.“題在書外，根在書內(nèi)”正是這個道理.教學(xué)中，如果無視課本里的題目而另外盲目選用大量課本以外的題目來占用學(xué)生有限的時間，不僅起不到應(yīng)有的作用，提高不了學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，反而不利于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)及可持續(xù)發(fā)展.

圖4

四、教學(xué)要立足課堂研究教材

學(xué)生解決問題的能力和方法難以靠老師的教來學(xué)會與提高，更多的是學(xué)生在自主探究、親身體驗的過程中來獲得與體悟.教學(xué)中，我們應(yīng)該做到幾個轉(zhuǎn)變：教學(xué)理念上——以教為中心轉(zhuǎn)變到以學(xué)為根本，學(xué)習(xí)方式上——以掌握知識為主轉(zhuǎn)變到以提升能力為本，學(xué)習(xí)場合上——以課堂學(xué)習(xí)為主轉(zhuǎn)變到課內(nèi)課外混合學(xué)習(xí).學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、理解及應(yīng)用往往取決于教師對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解.教學(xué)不能本末倒置，如果抓不住課堂，而是一味地靠大量的練習(xí)、做題來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，不僅事倍功半，而且會對學(xué)生造成傷害.從本題的解答過程及失分原因來看，最主要的是學(xué)生沒能悉心研讀教科書.會閱讀教科書是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的重要體現(xiàn)［4］.教師只有深入研究教材才會實現(xiàn)真正的課堂教學(xué).從某種意義上講，教師對教材的理解深度決定了其教學(xué)高度.對教材理解不透，或沒能理解教材的安排體系、教材內(nèi)容的邏輯關(guān)系，那就只能是教教材，用教材教就會變成一句空話.課程改革、教學(xué)改革已經(jīng)向縱深發(fā)展，但真正決定數(shù)學(xué)課程的不是寫在書上的各種觀念與規(guī)定，而是天天和學(xué)生接觸的教師［5］.盡管專家們花了大量的精力和時間，認(rèn)真修改了課標(biāo)和教材，但是，課堂上、教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師便決定了一切.所以，實施有效教學(xué)，應(yīng)該不斷地深入學(xué)習(xí)和研究教材.教師研讀教材、重視教材，學(xué)生才可能重視教材、閱讀教材.如果本題變?yōu)樽鳌鰽BC的內(nèi)心呢（當(dāng)然以下的問題也可能會圍繞“內(nèi)心”來命制其他問題）？如此命制送分題，對于大多數(shù)學(xué)生來說是否一定能得到呢？

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展［J］.數(shù)學(xué)通報，2009（8）.

3.龐彥福.初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

4.龐彥福.在考查本質(zhì)中彰顯深度理解——2017年安徽中考數(shù)學(xué)第14題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（7）.