☉江蘇海安縣城南實驗中學(xué) 劉東升

筆者最近有機會參加一次教研活動，借班上課的前一天獲知執(zhí)教班級的投影設(shè)備出了故障，短時間內(nèi)修不好，主辦學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)征詢意見，是否需要調(diào)整上課地點.雖然課前已準(zhǔn)備好制作精良的PPT課件，但是考慮到該課件中多以展示圖形為教學(xué)功能，電腦課件的互動性、動畫功能使用并不多，也為了減少主辦方調(diào)整活動日程與地點的麻煩，筆者當(dāng)即決定不換地點，不使用電腦課件，上一節(jié)原生態(tài)的“黑板課”.于是，經(jīng)歷大半夜的深入構(gòu)思、調(diào)整教學(xué)設(shè)計之后，決定由科代表上臺配合畫圖，通過不斷調(diào)整、增添線條生成新的圖形、例題與習(xí)題，實現(xiàn)了一節(jié)無電腦投影的“黑板課”，教學(xué)過程中學(xué)生活動豐富多樣、師生對話互動明顯增多，取得了較好的教學(xué)效果，受到觀課同行的一致好評.本文記錄該課的教學(xué)流程，并跟進闡釋教學(xué)立意，供研討.

二、切線長定理教學(xué)流程

課前準(zhǔn)備：安排班級數(shù)學(xué)科代表在黑板上先畫出幾個圓（半徑相等的等圓），學(xué)生在聽課筆記上也畫出多個圓，以備課堂畫圖活動使用.

【畫圖活動1】畫切線引入新課，揭示課題.

開課導(dǎo)言：同學(xué)們，最近一段時間，我們都在學(xué)習(xí)圓，剛才課前我們已畫出好幾個圓（黑板上也由科代表畫好），前兩天的兩節(jié)數(shù)學(xué)課同學(xué)們又在學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢？（學(xué)生：切線）請一個同學(xué)到前面來，在第一個圓上畫出一條切線.如圖1.

圖2

圖1

追問：切線是直線還是線段？（學(xué)生：是直線）

繼續(xù)畫圖，在這條切線上任取一點P（不與A點重合），過點P你們還能再畫出一條圓的切線嗎？（學(xué)生畫出如圖2這樣的圖形）

給出定義：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長稱為切線長.（在黑板上寫出課題“切線長”）

【畫圖活動2】畫兩條切線，度量、猜想并證明定理.

度量并猜想：對照圖2，教師拿出手頭的刻度尺，在黑板上度量一下學(xué)生畫出的兩條切線的長（可能相等，也可能略有誤差），提出猜想：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

請學(xué)生講解證明的思路.

預(yù)設(shè)：如圖3，學(xué)生一般會想到連接半徑OA、OB，并連接PO，進而利用HL證明全等.

圖3

圖4

證明之后，板書定理的文字內(nèi)容與符號語言.（見板書設(shè)計）

順便向?qū)W生指出：在切線長定理中，PO平分∠APB可以直接使用，但是PO平分∠BOA不宜直接使用，需要另外推證.

【畫圖活動3】聽句畫圖，例題探究，變式設(shè)問.

例題講評，回到圖2，請一個學(xué)生到講臺上，準(zhǔn)備畫圖，其余學(xué)生在座位上畫圖.

例1（教師講清畫圖要求，讓學(xué)生在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)畫圖）如圖4，過B點作直徑BC，連接PO、AC.猜想PO、AC的位置關(guān)系，并說明理由.

互式講評預(yù)設(shè)：學(xué)生多能猜想出AC∥PO，證明方法也比較多，比如，連接OA，利用外角性質(zhì)（∠BOA=∠C+∠OAC）可以獲得思路貫通；也可以連接AB，利用BA⊥OP，BA⊥AC，可獲證明.這里安排不同學(xué)生講解思路，并寫出證明步驟.

例2（教師講畫圖要求，安排一個學(xué)生在黑板上畫圖，其余學(xué)生在座位上同步畫圖）過圓O的直徑AB的兩個端點分別畫出圓的兩條切線.

預(yù)設(shè)圖5.

圖5

圖6

圖7

問題1：這兩條切線有交點嗎？

預(yù)設(shè)：沒有交點，它們平行.

繼續(xù)作圖：在半圓AB上任取一點C，作圓的切線，交前兩條切線于P、Q.

預(yù)設(shè)圖6.

問題2：求證：PQ=AP+BQ.

問題3：如圖7，連接OP、OQ，求證OP⊥OQ.

設(shè)計意圖：通過上述兩個例題，鞏固切線長定理及加深對切線長基本圖形的理解.

例3（仍然回到基礎(chǔ)圖形，如圖2，聽句畫圖）在劣弧AB上任取一點C，過點C作圓的切線，分別交PA、PB于D、E兩點.

學(xué)生畫出圖8.

圖8

圖9

問題1：在圖8中，你找到了幾組“切線長”的基本圖形？

問題2：有人說，△PDE的周長是定值？你覺得有道理嗎？為什么？

問題3：連接OD、OE，當(dāng)∠APB=50°時，求∠DOE的度數(shù).

設(shè)計意圖：通過對多組切線長基本圖形進行辨析，訓(xùn)練新知，并積累一類經(jīng)典問題（動態(tài)變換中出現(xiàn)三角形周長為定值的經(jīng)典問題）.

【畫圖活動4】畫三條切線，定義內(nèi)切圓，思考作圖.

由例3出發(fā)，在圖8中有三條切線，切點C在劣弧AB上，若切點C在優(yōu)弧AB上呢？請同學(xué)們畫出符合要求的圖形，并標(biāo)出三條切線的交點.

預(yù)設(shè)圖9.

預(yù)設(shè)互動：同學(xué)們能在圖9這樣的圖形中找出哪幾段切線長？

給出定義：像圓O這樣，與△DEF三邊均能相切，則稱該圓為三角形的內(nèi)切圓.

預(yù)設(shè)追問：同學(xué)們想一想，一個三角形的內(nèi)切圓的圓心有怎樣的性質(zhì)？它可以怎樣確定？

預(yù)設(shè)：三角形內(nèi)切圓的圓心到三角形三邊距離相等，它是三條內(nèi)角平分線的交點.

繼續(xù)定義：我們就稱三角形三條內(nèi)角平分線的交點為三角形的內(nèi)心.

對比思考：同學(xué)們可以對比三角形的外接圓，梳理三角形的內(nèi)心、外心的有關(guān)性質(zhì)，并告訴學(xué)生，下節(jié)課還將對三角形的內(nèi)切圓進行專題學(xué)習(xí).

【課堂小結(jié)】

小結(jié)問題1：在“切線長基本圖形”中，除了切線長定理能得出的一些結(jié)論，你還能得出哪些角、邊之間的相等關(guān)系？（提醒：這些等量關(guān)系雖然不能直接運用，但是對解題是有幫助的，值得整理、積累）

小結(jié)問題2：這節(jié)課我們?yōu)榱斯?jié)約學(xué)習(xí)時間，一直都是直接畫圖，同學(xué)們思考一下，如果給定一個三角形，你能用尺規(guī)作圖作出該三角形的內(nèi)切圓嗎？說說你們的作圖步驟.

【作業(yè)設(shè)計】

1.如圖10，過圓O的直徑AB的端點A作直徑的切線PA，過點P再作圓O的另一條切線PC，連接PO、BC.

（1）求證：BC∥PO；

（2）當(dāng)AB=2BC時，求證OP=AB.

2.如圖7，AP、PQ、BQ分別與圓相切于A、C、B三點，當(dāng)OP⊥OQ時，判斷AP與BQ的位置關(guān)系，并說明理由.

設(shè)計意圖：這兩道練習(xí)題分別改編自上面例題講評過程中的兩道習(xí)題，第1題只是簡單改編了字母，第2題將條件與結(jié)論進行了置換，讓學(xué)生進行變式探究，以便達(dá)到做一題、會一類的效果.

附：板書設(shè)計

圖10

圖11

三、教學(xué)立意的進一步闡釋

1.重視畫圖能力，幾何教學(xué)的用力所在.

研習(xí)傅種孫先生《平面幾何教本》可以發(fā)現(xiàn)，該書中有相當(dāng)篇幅的幾何命題都是沒有圖形的，多為文字命題及證明，需要研習(xí)者根據(jù)文字信息將命題的題設(shè)與結(jié)論辨明想清，然后畫出圖形，以符號語言的方式進行推理證明.然而現(xiàn)在教材上對幾何文字命題的要求有所弱化，在各級考試（特別是各地中考試卷）中，也少見文字命題的證明，而我們的教學(xué)經(jīng)驗表明，相當(dāng)多的學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的困難，多是因為不能準(zhǔn)確畫出圖形，辨明已知與未知，從而影響解題進程.基于上述思考，我們在構(gòu)思切線長定理教學(xué)時，選擇放棄電腦課件的演示，從開課階段就安排學(xué)生回顧切線的畫法，接著讓學(xué)生聽老師的畫圖要求畫出切線長的基本圖形，后來又在切線長基本圖形中通過添加切線或其他線條，生成例、習(xí)題進行訓(xùn)練，整節(jié)課十分重視學(xué)生畫圖能力的訓(xùn)練.學(xué)生聽句畫圖，生成概念、探究性質(zhì)、變式訓(xùn)練，在畫圖過程中，學(xué)生發(fā)生圖形錯誤或圖形不夠精準(zhǔn)時，相機追問或讓學(xué)生互評進行糾錯，實施“化錯教學(xué)”（小學(xué)數(shù)學(xué)著名特級教師華應(yīng)龍老師倡導(dǎo)的“化錯教學(xué)”，“化錯”是指把課堂教學(xué)中的差錯融化為一種教學(xué)資源，相機融入后續(xù)的教學(xué)過程中，化錯誤為正確，“化腐朽為神奇”，變“事故”為“故事”）.當(dāng)學(xué)生在畫圖出現(xiàn)偏差時，我們可引導(dǎo)其他學(xué)生參加評價，追問：“他畫的圖正確嗎？如果不正確，錯在哪兒？你們認(rèn)為應(yīng)該怎樣調(diào)整？”當(dāng)學(xué)生畫出的圖形誤差很大（不精準(zhǔn)）時，追問學(xué)生：“你們覺得他畫的圖為什么不準(zhǔn)？是對畫圖要求中的哪一點‘執(zhí)行’不到位？”“你會幫助他訂正嗎？”這樣重視畫圖能力的訓(xùn)練，不但有利于新知的探究、難題思路的獲取，也讓學(xué)生感受到幾何追求嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范、求真、精益求精.

2.構(gòu)思一圖一課，追求教學(xué)流程簡約化.

近年來，我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》見到不少推介“一題一課”或“一圖一課”的課例研究，深受啟發(fā)，筆者也十分贊賞這類課例的教學(xué)立意與苦心經(jīng)營.在構(gòu)思切線長定理教學(xué)時，我們在開課階段由學(xué)生聽句畫圖，得出切線長基本圖形（如圖2）之后，把這個圖形作為這節(jié)課的一個基本圖形，在不同教學(xué)環(huán)節(jié)都從這個基本圖形出發(fā)，特別是后續(xù)例題講評、習(xí)題訓(xùn)練、課后作業(yè)的布置，都由基本圖形出發(fā)，生成新的問題，使得問題的探究富含變化、層層深入.同時，由于始終都從基本圖形出發(fā)，使得整節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)簡約緊湊，避免了學(xué)生頻繁在不同問題情境中轉(zhuǎn)換.在這里，我們不得不提出一種值得商榷的教學(xué)現(xiàn)狀：例題教學(xué)或習(xí)題課上，師生拿著一份“習(xí)題單”式的導(dǎo)學(xué)案，一題接著一題講，一些理解能力偏弱的學(xué)生，常常前一題的題目還沒有看完，完全不知所云，老師已進入下一題.如果我們能夠在課堂教學(xué)中，圍繞一個經(jīng)典問題或一個基本圖形，變式探究，通過一個母題或一個基本圖形生長出系列問題、題組進行訓(xùn)練，也是課堂走向簡約、追求深度的一種積極嘗試.值得一提的是，在本課的結(jié)課階段，我們由圖9定義了三角形的內(nèi)切圓之后，引導(dǎo)學(xué)生“逆過來”思考，如何利用尺規(guī)作圖作出三角形的內(nèi)切圓，并將其作為學(xué)生課后繼續(xù)思考的問題，一方面是由于課堂教學(xué)時間的限制，另一方面也為下一課時繼續(xù)專題研究三角形的內(nèi)切圓提供了一個新課知識的生長點.順便指出，這種“生長式”課堂小結(jié)也是著名特級教師李庾南老師的課堂小結(jié)的教學(xué)特點.

四、寫在后面

隨著電化教學(xué)設(shè)備的普及，很多數(shù)學(xué)課堂中投影設(shè)備逐漸取代了黑板功能，有些數(shù)學(xué)課（特別是設(shè)計精致的公開課）基本上都是課件從前到后、一屏接一屏，傳統(tǒng)的黑板板演的慢節(jié)奏被“高效”的PPT動畫取代，然而學(xué)生的思維往往不能同步跟進，在“一閃而過”的“一幕幕”動畫之后，學(xué)生貌似聽得入神，看得饒有興致，但是對數(shù)學(xué)概念的理解如何？對例題思路的貫通掌握幾分？想及于此，就很感謝這次執(zhí)教班級投影設(shè)備的故障，既促使筆者調(diào)整了教學(xué)計劃，讓這節(jié)切線長定理的新授課回歸傳統(tǒng)，回歸本真；同時也引發(fā)筆者對很多經(jīng)典課中教學(xué)課件使用的必要性進行了深入思考，我們也期待更多回歸本真的課例實踐與分享.

1.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1982.

2.華應(yīng)龍.華應(yīng)龍與化錯教學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

3.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

4.朱國生.反思考題難點，預(yù)設(shè)“一題一課”——以2016年江蘇南通中考卷第28題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

5.劉東升.承前啟后：一種“生長式”的課題小結(jié)——以李庾南老師的課例為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（11）.