張碩

摘要：本文首先由最基本的數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)知識出發(fā)，一步步引出維度理論，闡述數(shù)學(xué)中維度理論的本質(zhì)在于研究用于描述特定對象的獨立參數(shù)。接著進一步論述了獨立參數(shù)的作用和選取原則，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的知識，做多方面的闡述。最后對維度理論在高中階段的應(yīng)用意義做了探討。

關(guān)鍵詞：向量；維度；獨立參數(shù)

一、概念引入

1、點、線、面、體。從小學(xué)數(shù)學(xué)開始，我們就學(xué)習(xí)了點、線、面、體的幾何知識，這可以看作維度理論的入門。最常見的說法是：點代表零維，線代表一維，面代表二維，體代表三維。區(qū)別幾種維度的依據(jù)在于確定一個點所需的坐標個數(shù)，在直線上確定一點需要一個坐標值，在平面上確定一個點需要兩個坐標值，在空間中確定一個點則需要三個坐標值[1]。

2、標量與矢量。坐標的概念很容易理解，但在小學(xué)階段沒有明確指出不同坐標個數(shù)所代表意義的差異，平面上的點和空間里的點并沒有什么不同。進入中學(xué)之后，引入了標量與向量的概念，線段屬于標量，只有長度，而向量除了長度還有方向。這里的“長度”和“方向”即為描述某一對象的“參數(shù)”，當(dāng)加入“方向”這一參數(shù)后，向量的運算法則與線段有了顯著的不同?？梢栽囅?，越多的參數(shù)意味著將對象描述得更豐富，但處理起來也更復(fù)雜，維度理論的面貌此時已逐漸浮出水面[2]。

3、獨立參數(shù)。通俗來說，所謂維度，就是指描述一個對象所需要的不同指標的個數(shù)，比如用身高、體重、年齡來描述一個人。而在數(shù)學(xué)上，這些“指標”稱之為“參數(shù)”，為了方便進一步的研究，不同參數(shù)需要相互獨立，否則在表達和計算時會變得復(fù)雜，這也就解釋了為什么最常用的坐標系是直角坐標系。同時需要說明的是，描述同一對象的特征參數(shù)可以選取不同的組合，比如用起點和終點的x，y坐標可以描述一個向量，用長度和方向也可以描述一個向量[3]。

二、思維剖析

1、參數(shù)的作用。參數(shù)的作用在于描述對象，引入更多的維度即更多數(shù)目的獨立參數(shù)，可以將對象描述得更完整。以向量為例，加入方向后運算法則出現(xiàn)變化，向量的加減不再是簡單地數(shù)量上的和與差，而是需要根據(jù)角度關(guān)系進行“合成”；同時，在乘積運算上，出現(xiàn)了數(shù)量積和向量積的區(qū)別，運算的結(jié)果分別是一個數(shù)和一個向量。由此可見維度的增加使得對描述對象的性質(zhì)研究得到擴展。這種變化在數(shù)學(xué)中比較抽象，不容易看出其意義。但結(jié)合物理上的力的合成與速度的合成，則可以很容易地理解，如果沒有“方向”這一參數(shù)，那么不可能有進一步的分析，只能簡單地研究方向相同的力與速度[4]。

2、參數(shù)的選取。前文說過，描述對象的參數(shù)可以有不同的組合，而參數(shù)選取的依據(jù)在于實際問題的需要。比如在平面中研究問題，同樣是二維的情況，但可以選擇不同的坐標系：直角坐標系和極坐標系，一般直角坐標系用得多，但在涉及到圓或強調(diào)方向的場合（比如導(dǎo)航），則用極坐標系更加簡便[5]。

3、實例分析。在高中階段對維度理論并沒有深入系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，這里僅從側(cè)面來說明維度理論。對于一些常見的數(shù)學(xué)知識，如果從維度理論的角度來看，會有意向不到的結(jié)果。

（1）復(fù)數(shù)理論。數(shù)，本是一個最簡單的概念，在引入虛數(shù)之前，數(shù)軸上的任何一個點都可以用一個坐標來表示，但引入虛數(shù)之后，實數(shù)軸成了復(fù)數(shù)平面，一個復(fù)數(shù)需要兩個坐標才能確定。這里的點和坐標之間建立了“映射”，與函數(shù)的概念相通，實數(shù)軸只有一維坐標，對應(yīng)一元函數(shù)，復(fù)數(shù)平面具有二維坐標，對應(yīng)二元函數(shù)。雖然高中階段沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)二元函數(shù)，但從這里已經(jīng)可以看到端倪。

（2）參數(shù)方程。參數(shù)方程的應(yīng)用是針對高中數(shù)學(xué)的一類特殊題型，通過將普通方程化為參數(shù)方程，便可放在極坐標系中進行研究，以簡化運算。這種變換是對維度理論的靈活運用，通過調(diào)整獨立參數(shù)的選擇來簡化問題。

（3）線性規(guī)劃。在高中階段，線性規(guī)劃問題實際上是線性二元函數(shù)求極值的問題，暫時只能通過圖像法來解決。一元函數(shù)求極值通常需要用導(dǎo)數(shù)，從這一點進行推想，二元以至多元函數(shù)應(yīng)當(dāng)也有導(dǎo)數(shù)的求法，但由于維度增加了，其算法也更復(fù)雜。

（4）多維理論初探。受限于高中所學(xué)知識，對多維理論無法詳細論述，這里只闡述一個思想：如果能從一維升到二維，二維升到三維，那么必然有四維、五維以至更高維，哪怕此時難以找到對應(yīng)的形象來描述這種維度。這種由此及彼、類推擴展的思想也是維度理論的一部分。

三、應(yīng)用意義

1、指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。維度理論代表的是一種思想，一種參數(shù)化的分析思想。掌握一定的數(shù)學(xué)思想有助于將不同的知識點融會貫通，并且這種系統(tǒng)化的分析方法有助于數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。

2、與其他領(lǐng)域結(jié)合。數(shù)學(xué)與物理學(xué)的聯(lián)系非常緊密，沒有數(shù)學(xué)理論做基礎(chǔ)，物理學(xué)就缺乏基本的研究工具。正如前文所說，沒有向量運算法則，就沒有速度合成定理。物理學(xué)中對維度的描述與數(shù)學(xué)有所不同，但本質(zhì)是一樣的，三維空間加上時間維度構(gòu)成四維空間，新的物理理論提出描述宇宙四維也是不夠的，需要更高維度，這些維度實際上都是描述“世界”的“參數(shù)”。

數(shù)學(xué)向下走是物理學(xué)，向上走是哲學(xué)。參數(shù)意味著表達某種特征，在哲學(xué)上可以理解為表象與本質(zhì)之間的聯(lián)系，而不同參數(shù)間的關(guān)系又反映了普遍聯(lián)系的哲學(xué)思想。

四、結(jié)語

從小學(xué)到高中，維度理論以較為零散的形式出現(xiàn)在不同的知識點中。本文總結(jié)了其中的規(guī)律性，從普通高中生的視角對其做了系統(tǒng)性地梳理，從一些常見的知識點中進行挖掘，找出其潛在聯(lián)系。本文所涉及的知識并不深奧，但對于掌握這一數(shù)學(xué)思想有著比較好的啟發(fā)作用。

參考文獻

[1] 姚龍濤.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的空間想象力[J].科學(xué)咨詢，2011（9）：124.

[2] 陳燕梅.淺談想象力在語文教學(xué)中的重要性[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2015（08）：205.

[3] 馬兆富.淺談怎樣學(xué)好高中數(shù)學(xué)[J].試題與研究：新課程論壇，2011（14）：24.

[4] 凌秋芬.淺談怎樣學(xué)好高中數(shù)學(xué)[J].神州（下旬刊），2012（4）：219-220.

[5] 朱立明，馬云鵬.“數(shù)學(xué)符號意識”研究：內(nèi)涵與維度[J].教育理論與實踐，2015，v.35；No.559（32）：8-10.endprint