李華萍，李玉瑛

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600)

1965年，ZADEH[1]首先提出了模糊集的概念，自此模糊集作為普通集合概念的推廣，逐漸被應(yīng)用于數(shù)學(xué)各個(gè)分支。1971年，ROSENFELD[2]引入了模糊子群的概念，然后各種模糊代數(shù)的理論相繼出現(xiàn)。其中，BHAKAT et al[3-4]利用模糊點(diǎn)與模糊集的鄰屬關(guān)系給出了(α,β)-模糊子群的定義。20世紀(jì)80年代，ATANASSOV[5]又提出了直覺(jué)模糊集的概念。2003年，HUR et al[6]提出了直覺(jué)模糊子群的概念。此后直覺(jué)模糊子群的理論研究進(jìn)一步成熟。在2010年，YUAN et al[7]利用“點(diǎn)-集”鄰屬關(guān)系的方法，建立了模糊點(diǎn)與直覺(jué)模糊集的鄰屬關(guān)系，并利用這種鄰屬關(guān)系給出了(α，β)-直覺(jué)模糊子群的定義。2013—2016年，LI et al[8-10]使用截集的方法對(duì)(λ,μ)-模糊子群和子環(huán)進(jìn)行了深入的研究。

本文基于(α,β)-直覺(jué)模糊子群及其各種截集的定義，首先，通過(guò)對(duì)其截集的研究，對(duì)(α,α)-直覺(jué)模糊子群作了進(jìn)一步的研究。其次，給出了(α,α)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群的定義，并討論了它們的性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，所有結(jié)論都是建立在模糊集理論的基礎(chǔ)上。為了方便起見(jiàn)，記F(X)為集合X的所有模糊子集的集合，并假設(shè)G表示具有單位元e的乘法群。

定義1[1]設(shè)A∈F(X)，?λ∈[0,1],稱Aλ={x∈X|A(x)≥λ}為A的λ截集。而稱A(λ)={x∈X|A(x)>λ}為A的λ強(qiáng)截集。

定義2[5]設(shè)X是一個(gè)非空集合，μA:X→[0,1],vA:X→[0,1]為兩個(gè)映射，若μA(x)+vA(x)≤1,?x∈X,則稱A=(X,μA,vA)為X上的一個(gè)直覺(jué)模糊子集，簡(jiǎn)記為：

A=(μA,vA),A(x)=(μA(x),vA(x)) .

用IFS(X)表示X上所有直覺(jué)模糊集構(gòu)成的集合。

定義3[5]設(shè)X是一個(gè)非空集合，A,B∈IFS(X)，且A=(μA,vA),B=(μB,vB).

1)A?B?μA(x)≤μB(x)且vA(x)≥vB(x);

2)A=B?μA(x)=μB(x)且vA(x)=vB(x);

3)Ac=(vA,μA);

4)A∩B=(μA∧μB,vA∨vB);

5)A∪B=(μA∨μB,vA∧vB);

6) ∩i∈IAi=(infi∈IμAi,supi∈IvAi);

7) ∪i∈IAi=(supi∈IμAi,infi∈IvAi)，其中Ai=(μAi,vAi)∈IFS(X),i∈I,I為指標(biāo)集。

定義4[2]設(shè)A∈F(G),若對(duì)任意的x,y∈G,

1)A(xy)≥A(x)∧A(y);

2)A(x-1)≥A(x).

則稱A為G的模糊子群。

定理1[3]設(shè)A∈F(G),則下列命題等價(jià)：

1)A為G的模糊子群；

2) ?x,y∈G,A(x-1y)≥A(x)∧A(y);

3) ?λ∈[0,1],Aλ非空時(shí)是G的子群；

4) ?λ∈[0,1],A(λ)非空時(shí)是G的子群。

定義5[12]設(shè)A為G的模糊子群，若對(duì)任意的x,y∈G,A(xy)=A(yx)，則稱A為G的模糊正規(guī)子群。

定理2[12]設(shè)A∈F(G)則下列命題等價(jià)：

1)A為G的模糊正規(guī)子群；

2) ?x,y∈G,A(xy)=A(yx);

3) ?λ∈[0,1],Aλ非空時(shí)是G的正規(guī)子群；

4) ?λ∈[0,1],A(λ)非空時(shí)是G的正規(guī)子群。

定義6[2]設(shè)A:X→[0,1]是一個(gè)映射，若存在λ∈[0,1],x∈X,滿足

則稱A為X的一個(gè)模糊點(diǎn)，并記為xλ.

定義7[2]設(shè)A是G的模糊子集，xλ是G中的一個(gè)模糊點(diǎn)，

1) 若A(x)≥λ,則稱xλ屬于A，記為xλ∈A;

2) 若A(x)+λ>1,則稱xλ擬重于A，記為xλqA;

3) 若xλ∈A且xλqA，則記為xλ∈∧qA;

4) 若xλ∈A或xλqA，則記為xλ∈∨qA.

設(shè)A∈IFS(X)，在文獻(xiàn)[7]中介紹了A的8個(gè)截集，本文僅用到了以下兩個(gè)。

定義8[11]設(shè)A=(X,μA,vA)∈IFS(X),x∈X,且λ∈[0,1].

則稱Aλ為A的λ-上截集。

性質(zhì)1[11]設(shè)A,B,At∈IFS(X),且λ∈[0,1]則下列結(jié)論成立：

2) (A∪B)λ=Aλ∪Bλ,(A∩B)λ=Aλ∩Bλ;

3) ∪t∈T(At)λ?(∪t∈TAt)λ,∩t∈T(At)λ=(∩t∈TAt)λ;

其中，T是指標(biāo)集。

定義9[8]設(shè)xλ是X一個(gè)模糊點(diǎn)，A∈IFS(X)，令

它們分別表示xλ∈A和xλqA的隸屬度。

性質(zhì)2[8]設(shè)xλ是X一個(gè)模糊點(diǎn)，A∈IFS(X)，

性質(zhì)3[8]設(shè)xλ是X一個(gè)模糊點(diǎn)，Ai∈IFS(X),I是有限指標(biāo)集，則有：

[xλ∈(∩i∈IAi)]=∧i∈I[xλ∈Ai] ,
[xλ∈(∪i∈IAi)]=∨i∈I[xλ∈Ai] ,
[xλq(∩i∈IAi)]=∧i∈I[xλqAi] ,
[xλq(∪i∈IAi)]=∨i∈I[xλqAi] .

20世紀(jì)80 年代，ATANASSOV[5]提出了直覺(jué)模糊集的概念；YUAN et al[8]在2010年時(shí)，給出了(α,β)-直覺(jué)模糊子群的定義，本文將采用定義10進(jìn)行研究。

定義10[8]設(shè)A=(G,μA,vA)是群G的直覺(jué)模糊子集，α,β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}.若對(duì)任意的x,y∈G,s,t∈(0,1]，滿足：

1) [xsytβA]≥[xsαA]∧[ytαA];

2 (α,α)-直覺(jué)模糊子群

本節(jié)將利用(α,α)-直覺(jué)模糊子群的概念，討論(α,α)-直覺(jué)模糊子群的一些性質(zhì)。為方便起見(jiàn)，在之后討論中，我們假設(shè)λ∈[0,1],xλ是群G一個(gè)模糊點(diǎn)，α∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}.

定義11 設(shè)A=(G,μA,vA)是群G的直覺(jué)模糊子集，若對(duì)任意的x,y∈G,s,t∈(0,1]，滿足：

1) [xsytαA]≥[xsαA]∧[ytαA];

在定義11中，由于α可以選擇4種關(guān)系，故可以得到4種(α,α)-直覺(jué)模糊子群。本節(jié)將研究這4種(α,α)-直覺(jué)模糊子群的性質(zhì)。

定理3 設(shè)A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群，則?x∈G,s∈(0,1]，

1) [esαA]≥[xsαA];

證明:由定義11可得：

定理4 設(shè)A∈IFS(G)，則A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群當(dāng)且僅當(dāng)

證明:若A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群，則由定義11，對(duì)任意的x,y∈G：

所以由定義11，A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群。

定理5 設(shè)A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群，x,y∈G,?t∈(0,1].若

[xtαA]≠[ytαA]，則[xtytαA]=[xtαA]∧[ytαA].

證明：不妨設(shè)[xtαA]>[ytαA]，由定義11以及定理4可得：

而[xtytαA]≥[xtαA]∧[ytαA]=[ytαA],

即[xtytαA]=[ytαA]=[xtαA]∧[ytαA].

定理6 設(shè)Ai為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群，其中α∈{∈,q,∈∧q},i∈I,I為有限指標(biāo)集，則∩i∈IAi也是G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群。

證明：對(duì)任意的x,y∈G,?s,t∈(0,1],由性質(zhì)3以及定理4得：

所以∩i∈IAi也是G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群。

定理7A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊子群的充分必要條件是?s∈(0,1],As為G的模糊子群。

反之，若?s,t∈(0,1],由題設(shè)可得，As∧t為G的模糊子群，由定理1得，As∧t(x-1y)≥As∧t(x)∧As∧t(y),即[(x-1y)s∧t∈A]≥[xs∧t∈A]∧[ys∧t∈A].

又由性質(zhì)1中(1)得，

[xs∧t∈A]≥[xs∈A],[ys∧t∈A]≥[yt∈A],

由定理7及定理1，易知定理8，定理9成立。

定理8 設(shè)A∈IFS(G),則A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊子群的充分必要條件是?λ∈[0,1],?s∈(0,1],(As)λ非空時(shí)為G的子群。

定理9 設(shè)A∈IFS(G),則A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊子群的充分必要條件是?λ∈[0,1],?s∈(0,1],(As)(λ)非空時(shí)為G的子群。

由定理10及定理1，易知定理11，定理12成立。

由定理13及定理1，易知定理14，定理15成立。

由定理16及定理1，易知定理17，定理18成立。

3 (α,α)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群

本節(jié)給出(α,α)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群的定義，在此基礎(chǔ)上討論其性質(zhì)。

定義12 設(shè)A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群，若?x,y∈G,s∈(0,1],[(xy)sαA]=[(yx)sαA],

則稱A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群。

由定義12容易證明下面定理。

定理19 設(shè)A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊子群，則A為G的(α,α)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群的充分必要條件是[(xy)tαA]≥[(yx)tαA],?x,y∈G.

定理20 設(shè)A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊子群，?s∈(0,1],則A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群的充分必要條件是As是G的模糊正規(guī)子群。

證明：A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群，從而A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊子群，且?x,y∈G,[(xy)s∈A]=[(yx)s∈A],由定理7，As是G的模糊子群，且As(xy)=As(yx).由定義5得，As是G的模糊正規(guī)子群。

反之，?s∈(0,1],由已知As是G的模糊正規(guī)子群，從而As是G的模糊子群，且As(xy)=As(yx).由定理7，A是G的(∈,∈)-直殼模糊子群，且[(xy)s∈A]=[(yx)s∈A],由定義12可知，A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群。

由定理20及定理2易知，定理21，定理22成立。

定理21 設(shè)A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊子群，則A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群的充分必要條件是?s∈(0,1],?λ∈[0,1],(As)λ是G的模糊正規(guī)子群。

定理22 設(shè)A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊子群，則A為G的(∈,∈)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群的充分必要條件是?s∈(0,1],?λ∈[0,1],(As)(λ)是G的模糊正規(guī)子群。

由定理23及定理2易知，定理24，定理25成立。

由定理26及定理2易知，定理27，定理28成立。

由定理29及定理2易知，定理30，定理31成立。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者在(α,β)-直覺(jué)模糊子群定義的基礎(chǔ)上，對(duì)(α,α)-直覺(jué)模糊子群以及對(duì)(α,α)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群進(jìn)行了深入研究。關(guān)于(α,α)-直覺(jué)模糊正規(guī)子群還可以從另外角度加以研究，(α,α)-直覺(jué)模糊子群的運(yùn)算等也是以后繼續(xù)研究方向。

[1] ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8:338-353.

[2] ROSENFELD A.Fuzzy groups[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1971, 35:512-517.

[3] BHAKAT S K,DAS P.On the definition of a fuzzy subgroup[J].Fuzzy Sets and Systems,1992,51:235-241.

[4] BHAKAT S K,DAS P.(ε,εvq)Fuzzy subgroup[J].Fuzzy Sets and Systems,1996,80:359-368.

[5] ATANASSOV K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96.

[6] HUR K,KANG H W,SONG H K.Intuitionistic fuzzy subgroups and subrings[J].Honam Math J,2003,25:19-41.

[7] YUAN X H,LI H X,LEE E S.On the definition of the intuitionistic fuzzy subgroups[J].Computers and Mathematics with Applications,2010,59:3117-3129.

[8] LI Y Y,WANG X Z,YANG L Q.A study of (λ,μ)-fuzzy subgroups[J].Journal of Applied Mathematics.

[9] 李玉瑛，楊麗瓊.(λ,μ)-模糊子群性質(zhì)的研究[J].太原理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,43(5):630-636.

LI Y Y,YANG L Q.A study on properties of (λ,μ)-fuzzy subgroups[J].Journal of Taiyuan University of Technology,2012,43(5):630-636.

[10] 李玉瑛，王緒柱，張貝貝.(λ,μ)-模糊子環(huán)和理想的進(jìn)一步討論[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2016,46(16):272-277.

LI Y Y,WANG X Z,ZHANG B B.A study on (λ,μ)-fuzzy subrings and ideals[J].Mathematics in Practice and Theory,2016,46(6):272-277.

[11] 袁學(xué)海，李洪興，孫凱彪.直覺(jué)模糊集和區(qū)間值模糊集的截集、分解定理和表現(xiàn)定理[J].中國(guó)科學(xué)(F輯：信息科學(xué)),2009,39(9):933-945.

YUAN X H,LI H X,SUN K B.The decomposition theorem and represantation theorem of the fuzzy set of intuitionistic fuzzy sets and interval values[J].Science in China(Series F:Information Sciences),2009,39(9):933-945.

[12] 姚炳學(xué).群與環(huán)上的模糊理論[M].北京:科學(xué)出版社,2008.