馮玉娟++牛鵬羽

摘 要：一元二次方程根的分布問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一類重要問題，其常規(guī)解法的具體情形較多且計(jì)算復(fù)雜，常常使學(xué)生望而生畏。鑒于此，本文提出了一種新的觀點(diǎn)，通過兩道例題給出了一元二次方程根的分布問題的新解法，供大家參考。

關(guān)鍵詞：一元二次方程；根的分布；新解法；導(dǎo)數(shù)

如果方程x2-ax+2=0在（0，3）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是 。

解：由x2-ax+2=0得x2=ax-2。

令f（x）=x2，g（x）=ax-2。顯然，f（x）=x2經(jīng)過點(diǎn)A（3，9），g（x）=ax-2經(jīng)過定點(diǎn)B（0，-2）。

（1） 連接AB，則kAB=9-（-2）3-0=113。

由圖1知當(dāng)a≥113時(shí)，函數(shù)f（x）=x2與g（x）=ax-2的圖象有且只有一個(gè)橫坐標(biāo)在（0，3）內(nèi)的交點(diǎn)。

所以當(dāng)a≥113時(shí)，方程x2-ax+2=0在（0，3）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

（2） 當(dāng)f（x）=x2的圖象與g（x）=ax-2表示的直線相切時(shí)，記切點(diǎn)為T。

由f′（x）=（x2）′=2x=a得xT=a2，所以yT=a24。

由a×a2-2=a24得a2=8。顯然a>0，所以a=22。

由圖1知當(dāng)a=22時(shí)，函數(shù)f（x）=x2與g（x）=ax-2的圖象有且只有一個(gè)橫坐標(biāo)在（0，3）內(nèi)的交點(diǎn)。

所以當(dāng)a=22時(shí)，方程x2-ax+2=0在（0，3）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

綜上，a的取值范圍是a≥113或a=22。

拓展：由圖1可以看出，當(dāng)22

例2 a為何值時(shí)，在開區(qū)間（1，3）內(nèi)，關(guān)于x的方程x2-5x+a+3=0存在實(shí)根？

解：由x2-5x+a+3=0得x2=5x-（a+3）。

令f（x）=x2，g（x）=5x-（a+3）。顯然，f（x）=x2經(jīng)過點(diǎn)A（3，9），B（1，1）。

若g（x）=5x-（a+3）經(jīng)過點(diǎn)A（3，9），則對(duì)應(yīng)的直線為y-9=5（x-3）。

令x=0得y=-6。所以yC=-6。

若g（x）=5x-（a+3）經(jīng)過點(diǎn)B（1，1），則對(duì)應(yīng)的直線為y-1=5（x-1）。

令x=0得y=-4。所以yD=-4。

當(dāng)f（x）=x2的圖象與g（x）=5x-（a+3）表示的直線相切時(shí)，記切點(diǎn)為Q。由f′（x）=（x2）′=2x=5得xQ=52，所以yQ=254。

此時(shí)g（x）=5x-（a+3）對(duì)應(yīng)的直線為y-254=5x-52。

令x=0得y=-254。所以yE=-254。

因?yàn)榉匠蘹2-5x+a+3=0在（1，3）內(nèi)有實(shí)根，所以函數(shù)f（x）=x2與g（x）=5x-（a+3）的圖象至少有一個(gè)橫坐標(biāo)在（1，3）內(nèi)的交點(diǎn)。

由-254≤-（a+3）<-4解得1

所以，a的取值范圍是1，134。

拓展：由圖2可以看出，當(dāng)-（a+3）=-254或-6≤-（a+3）<-4即a=134或1134時(shí)，方程x2-5x+a+3=0在（1，3）內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根。

縱覽上述兩道例題，皆以一種相對(duì)的觀點(diǎn)為主導(dǎo)思想，即當(dāng)涉及二次函數(shù)和一次函數(shù)時(shí)，將相對(duì)復(fù)雜或相對(duì)高級(jí)的二次函數(shù)定下來，讓一次函數(shù)變，而一次函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線又有定的元素，或?yàn)榭v截距定（例1），或?yàn)樾甭识ǎɡ?），然后結(jié)合圖象，既順利地解決了問題，又從本質(zhì)上認(rèn)清了數(shù)學(xué)問題。事實(shí)上，這種相對(duì)的觀點(diǎn)不僅可以很好地解決一元二次方程根的分布問題，還可以有效地解決一般的零點(diǎn)存在性問題，讀者不妨一試！

參考文獻(xiàn)：

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[2] 徐彥輝.教師如何應(yīng)對(duì)課堂中突發(fā)的錯(cuò)誤[J].數(shù)學(xué)通訊，2009（5）（下半月）.

[3] 楊先義.問題176[J].數(shù)學(xué)通訊，2009（5）（下半月）.

作者簡介：馮玉娟，甘肅省嘉峪關(guān)市，甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué)；

牛鵬羽，甘肅省嘉峪關(guān)市，甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學(xué)。