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        2018年高考全國Ⅲ卷文科第21題的多種解法

        2018-01-18 10:08:40曠敏張雪劉成龍
        關(guān)鍵詞:考試題一題零點

        曠敏 張雪 劉成龍

        [摘 要]以2018年高考全國Ⅲ卷文科第21題為例研究高考題的多種解法.一題多解能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,提高學(xué)生的解題能力.

        [關(guān)鍵詞]2018年高考;數(shù)學(xué)題;解法

        [中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058(2018)32-0014-02

        研究高考試題的視角很多.比如,研究試題的立意、布局、解法、變式、推廣等.其中,研究試題解法是研究高考試題的基本形式和主要內(nèi)容.解法研究一般可以從一題多解、多題一解入手,基于解答失誤分析、解答策略提煉、錯解分析、解后反思等視角展開.其中,一題多解能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.本文立足于不同的角度,給出2018年高考全國Ⅲ卷文科第21題(下文簡稱21題)(Ⅱ)的多種解法.

        試題:(21題)已知函數(shù)[f(x)=ax2+x-1ex].

        (Ⅰ) 略;

        (Ⅱ) 證明:當(dāng)[a≥1]時,[f(x)+e≥0].

        方法1.直接法

        令[M(x)=f(x)+e=ax2+x-1ex+e (a≥1)],得[M(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex],令[M(x)=0].解得[x=-1a]或[x=2].當(dāng)[ x<-1a]或[ x>2]時,[M(x)<0];當(dāng)[ -1a0],所以函數(shù)[M(x)]在[-∞,-1a]和[(2,+∞)]上單調(diào)遞減,在[-1a,2]上單調(diào)遞增.易得:

        [M(x)min=minM-1a ,M(+∞).]

        又[limx→+∞M(x)=limx→+∞ax2+x-1ex+e=][limx→+∞2ax+1ex+e=limx→+∞2aex+e =e],且[M-1a=1a-1a-1e 1a + e = -e1a+e ][ ≥-e+e =0],所以[M(x)min=M-1a≥0.]

        綜上所述,當(dāng)[a≥1]時,[fx+e≥0].

        評注:用直接法解答21題是多數(shù)學(xué)生的想法,但困難有:(1)求導(dǎo)計算較為煩瑣;(2)在求[limx→+∞M(x)]的過程中用到了“洛必達”這一高等工具,這超出了一般學(xué)生的知識學(xué)習(xí)范疇,但為學(xué)有余力的學(xué)生提供了展示的空間.

        方法2.放縮法

        欲證[f(x)+e=ax2+x-1+ex+1ex≥0],只需證明[ax2+x-1+ex+1≥0].由[a≥1],得[ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1],只需證明[x2+x-1+ex+1≥0.]令[h(x)=x2+x-][1+ex+1],得[h(x)=2x+1+ex+1],令[h(x)=0],得[x=-1].于是當(dāng)[x<-1]時,[h(x)<0];當(dāng)[x>-1]時,[h(x)>0],故函數(shù)[h(x)]在[(-∞,-1)]上單調(diào)遞減,在[(-1,+∞)]上單調(diào)遞增,所以[h(x)min=h(-1)=0],有[h(x)≥0].故[f(x)+e≥0]成立.

        評注:方法2的核心是運用[a≥1]進行放縮.通過放縮將含參數(shù)的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的恒成立問題.

        方法3.分離參數(shù)法

        欲證[f(x)+e=ax2+x-1ex+e≥0],只需證明[ax2+x-1+ex+1≥0].

        ① 當(dāng)[x=0]時,顯然成立;

        ② 當(dāng)[x≠0]時,[a≥-ex+1-x+1x2].因為[a≥1],只需證明[-ex+1-x+1x2≤1]即可.令[H(x)=-ex+1-x+1x2],[H(x)=(x2-2x)(1-ex+1)x4],由[H(x)=0],解得[x=1],[x=2].當(dāng)[x<1]或[00];當(dāng)[-12]時,[H(x)<0].因此,函數(shù)[H(x)]在[(-∞,-1)]和[(0,2)]上單調(diào)遞增,在[(-1,0)]和[(2,+∞)]上單調(diào)遞減.又因為[H(-1)=1],[H(2)=-e3-14<0],所以[H(x)max=H(-1)=1].故[H(x)≤1].

        綜上可知,當(dāng)[a≥1]時,[f(x)+e≥0].

        評注:本例中分離參數(shù)的目的仍然是消去參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為[-ex+1-x+1x2≤1]恒成立.與方法2、方法3具有內(nèi)在的相似性.

        方法4.隱零點法

        由題意只需證明[ax2+x-1+ex+1≥0]恒成立.令[g(x)=ax2+x-1+ex+1],則[g(x)=ex+1+2ax+1],[g(x)=ex+1+2a].因為[a≥1],[g(x)>0]恒成立, [g(x)]在 [(-∞,+∞)]上單調(diào)遞增,且當(dāng)[x→-∞]時,有[g(x)→-∞];當(dāng)[x→+∞]時,有[g(x)→+∞],所以[g(x)]在[(-∞,+∞)]上存在唯一零點[x0].即[ex0+1+2ax0+1=0],得[ex0+1=-2ax0-1].同時[g(x)]在[(-∞,x0)]上單調(diào)遞減,在[(x0,+∞)]上單調(diào)遞增,所以[g(x)≥g(x0)].又[g(x0)=ex0+1+ax02][+x0-1][=ax02+(1-2a)x0-2=(ax0+1)(x0-2).][g-1a=e1-1a-1≥0],[g(2)=e3+4a][+1≥0],且[g-1a0],即[g(x0)>0].

        綜上所述,當(dāng)[a≥1]時,[ f(x)+e≥0].

        評注:此法運用函數(shù)的隱零點,將超越式[ex0+1]轉(zhuǎn)化為普通式[-2ax0-1],最終將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值大于零.零點[x0]貫穿了整個求解過程,但并沒有解出零點,這體現(xiàn)了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想方法.

        方法5.泰勒公式法

        由題意只需證明[ax2+x-1+ex+1≥0]恒成立.由泰勒公式有[ex=1+x+x22!+…+xnn!] [+o(xn)],可得[ex≥x+1],于是[ex+1≥x+2].故[ax2+x-1+ex+1][≥ax2+x-1+x+2] [=ax2+2x+1].又[a≥1],故[ax2+2x+1≥x2+2x+1=(x+1)2≥0]恒成立.所以當(dāng)[a≥1]時,[f(x)+e≥0].

        評注:方法5的關(guān)鍵步驟有兩個:(1)運用泰勒公式將[ex+1]放縮為[ex+1≥x+2],這一步可以看成是去超越式;(2)由[a≥1]再次放縮,將[ax2]放縮為[ax2≥x2].這一過程可以看成是去參數(shù).整個求解過程可以看成是方法2、方法3的綜合.特別指出,高等數(shù)學(xué)知識日益成為解答高考試題的重要工具,對于學(xué)有余力的學(xué)生可以讓他們適當(dāng)學(xué)習(xí).

        波利亞指出:“一個專心、認真?zhèn)湔n的老師往往能夠拿出一個有意義但又并不復(fù)雜的題目,幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門,把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”21題正是這樣的一道題目,通過各種解答方法的分析,幫助學(xué)生通過有限題目的分析領(lǐng)悟解無限道題的數(shù)學(xué)機智.

        注:劉成龍系本文通訊作者

        (責(zé)任編輯 黃桂堅)

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