呂希元

【摘要】探討一元函數(shù)變限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的教學(xué)方式，針對變限函數(shù)適用題型多，但計(jì)算繁瑣，易出錯(cuò)的特點(diǎn)，舉例并歸類說明不同類型題目如何正確用積分函數(shù)求解。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) ?積分 ?極限

【中圖分類號】O1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0130-01

一、積分上限函數(shù)介紹

定理：若f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)Φ（x）=■f（t）dt，就是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，即：Φ'（x）=■■f（t）dt=f（x），x∈[a，b]。

證：記Φ（x+Δx）=■f（t）dt，得：

ΔΦ（x）=Φ（x+Δx）-Φ（x）=■f（t）dt-■f（t）dt

=■f（t）dt+■f（t）dt-■f（t）dt=■f（t）dt

由積分中值定理得：ΔΦ（x）=f（ξ）·Δx，ξ∈（x，x+Δx），從而Φ'（x）=■■=■f（ξ）=f（x）。

推論1：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，φ（x）在[a，b]上可導(dǎo)，且a≤φ（x）≤b，x∈[a，b]，則：■■f（t）dt=f[φ（x）]·φ'（x）。

推論2：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，，φ（x）、，ψ（x）在[a，b]上可導(dǎo)，且a≤φ（x），ψ（x）≤b，x∈[a，b]，則：

■■f（t）dt=f[φ（x）]φ'（x）-f[ψ（x）]ψ'（x）

二、應(yīng)用

變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在微積分中是一個(gè)很重要的部分，依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解答類似問題時(shí)，依然存在很大問題，比如，不知道導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，及無法和其他方法結(jié)合來求導(dǎo)。

例1：設(shè)函數(shù)y=y（x）由方程■e■dt+■sintdt=0所確定。求■。

解：在方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)：

■■e■dt+■■sintdt=0

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得：

■■e■dt·■+■■sintdt=0

即： e■·（2y）·■+（-sinx）=0

故：■=■。

對于變限函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)求導(dǎo)，一般就用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對函數(shù)兩邊同時(shí)求導(dǎo)。

例2：求■■。

分析：這是■型未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則。

解：由■■e■dt=-■■e■dt=-e■（cosx）'=sinx·e■

故：■■=■■=■。

對于變限函數(shù)是分式函數(shù)求極限時(shí)，如果為■型未定式，則可以用洛必達(dá)法則分子分母同時(shí)求極限求解。

例3：設(shè)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)連續(xù)，且f（x）>0，證明函數(shù)

F（x）=■在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。

證：因?yàn)閒（x）在（-∞，+∞）內(nèi)連續(xù)，故F（x）在（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，所以對F（x）用商的求導(dǎo)法則，可得：

F'（x）=■

=■

由已知條件f（x）>0（x>0），知■f（t）dt>0，又（x-t）f（t）>0，故：■（x-t）f（t）>0，所以F'（x）>0（x>0），故F（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。

一元函數(shù)微積分中求變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是很重要的一個(gè)內(nèi)容，它是聯(lián)系前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和不定積分以及后續(xù)所學(xué)的定積分的一個(gè)橋梁，所以地位非常重要，在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對此塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)存在很多問題，本文重點(diǎn)例舉了學(xué)生易犯錯(cuò)的幾何變限積分的應(yīng)用，通過上面的分析，加深對變限積分求解的了解。

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