李晟威

【摘要】本篇論文主要講述了泰勒公式的發(fā)展歷程，并且通過柯西中值定理來對(duì)泰勒公式進(jìn)行推導(dǎo)。隨后結(jié)合實(shí)際例子來說明泰勒公式在數(shù)值計(jì)算以及極限推導(dǎo)中的應(yīng)用。最后探究了泰勒公式演化出牛頓迭代法數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算邏輯。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式 ?導(dǎo)數(shù) ?牛頓迭代法 ?羅爾中值定理 ?拉格朗日中值定理 ?柯西中值定理

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）42-0129-02

當(dāng)我們首次接觸到泰勒公式及其定理時(shí)，我們會(huì)感覺到它的磅礴大氣，但其實(shí)究其本質(zhì)，這是一種讓我們?cè)趯?shí)際問題中，用多項(xiàng)式函數(shù)去逼近光滑函數(shù)，并得到誤差的方法。那么這個(gè)偉大的公式是如何一步步被我們得到，以及進(jìn)行運(yùn)用的呢？

一、泰勒公式的發(fā)展

泰勒公式是以18世紀(jì)早期英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor）命名。1708年，23歲的泰勒得到了“振動(dòng)中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個(gè)工作中他用了牛頓的瞬的記號(hào)。1717年，泰勒以泰勒定理求解了數(shù)值方程。

本質(zhì)來講，泰勒公式是將函數(shù)用多項(xiàng)式來進(jìn)行表示。并且通過函數(shù)在某點(diǎn)的信息來描述點(diǎn)附近取值的公式。如果函數(shù)是光滑的情況下，泰勒公式可以使用該點(diǎn)附近的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。并且泰勒公式中通過柯西中值定理給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。在下面，我們將會(huì)對(duì)泰勒公式進(jìn)行詳細(xì)證明以及對(duì)其實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行探討。

二、泰勒公式及其證明

定理：如果函數(shù)f（x）在x0的某個(gè)領(lǐng)域U（x0）內(nèi)具有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)任意x∈U（x0），有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+Rn（x）

其中Rn（x）=■（x-x0）n+1，α為x0與x之間的某個(gè)值。

在證明泰勒公式的定理前，首先要介紹柯西中值定理的推導(dǎo)，而柯西中值定理可由羅爾中值定理推出，使用的是構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)求導(dǎo)的方法，所以證明羅爾定理為第一步。

羅爾中值定理：如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);（3）f（a）=f（b）。那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)β∈（a，b），使得f′（β）=0。

證明：如果？坌x∈（a，b），都有f（x）=f（a），那么有？坌x∈（a，b），f′（x）=0，命題得證。如果？堝x∈（a，b），使得f（x）≠f（a），那么存在某一點(diǎn)β，在該點(diǎn)函數(shù)f（x）取得最大值或最小值，并且這個(gè)不是a或者b，而在這個(gè)最值點(diǎn)上，導(dǎo)數(shù)為0。因此，必有f′（β）=0，羅爾中值定理得證。

柯西中值定理：如果函數(shù)f（x）及F（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);（3）對(duì)任意x∈（a，b），F(xiàn)′（x）≠0。那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式■=■成立。

下面我們開始證明泰勒公式，

首先令Pn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n，有：Rn（x）=f（x）-Pn（x）。構(gòu)造輔助函數(shù)g（ω）=f（x）-（f（ω）+f′（ω）（x-ω）+■（x-ω）2+…+■（x-ω）n）。

我們需要得到Rn（x）的表達(dá)式，也要想辦法運(yùn)用柯西中值定理。

假設(shè)ω在[x，x0]之間，g（ω）則在[x，x0]上連續(xù)，并由上式可知g（x0）=Rn（x），且g（x）=0。此時(shí)要求出g（x0），先對(duì)g（ω）求導(dǎo)，而此時(shí)式中出現(xiàn)了n階導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的算法得知，我們需要假設(shè)f（x）在定義域內(nèi)n+1階可導(dǎo)

g′（ω）=-f（ω）-f′（ω）（x-ω）+f′（ω）-■（x-ω）2-f′（ω）（x-ω）-…-■（x-ω）n+■（x-ω）n-1

找到規(guī)律：從第一項(xiàng)起，負(fù)項(xiàng)和正項(xiàng)抵消，最終g′（ω）=

-■（x-ω）n。

另設(shè)函數(shù)h（x）=（x-x0）n+1，可以得到h（x0）=0，h′（ω）=-（n-1）（x-ω）n。根據(jù)柯西中值定理可知g（x0）=g（x）-■[h（x0）-h（x）]=■（x-x0）n+1，即為Rn（x）=■（x-x0）n+1。

也即是f（x）=Pn（x）+Rn（x）得證！

三、泰勒公式的應(yīng)用

泰勒公式是用多項(xiàng)式來對(duì)函數(shù)進(jìn)行逼近，所以在數(shù)值計(jì)算以及函數(shù)近似的方面都有著極其重要的用處。

1.計(jì)算e0.001（精確度為10-7）

在計(jì)算上述式子時(shí)，是無法直接得出答案的，這時(shí)就可以使用泰勒公式可以得到：ex=1+■+■+R3（x），-∞

而我們知道R3（x）已經(jīng)在10-9的級(jí)數(shù)范圍，所以可以知道

e0.001≈1+■+■=1.0010005

2.計(jì)算極限■■

根據(jù)泰勒公式可以知道：■■=■■=■■=1

3.數(shù)值算法：牛頓迭代法

當(dāng)泰勒公式運(yùn)用在物理領(lǐng)域時(shí)，它又有了新的名字：牛頓迭代法。 而牛頓迭代法正是將局部線性化的方法用于求解方程，該方法根據(jù)一個(gè)根的猜測(cè)值x0作為初始近似值，當(dāng)我們不斷地使用泰勒級(jí)數(shù)展式的前兩項(xiàng)作為某個(gè)函數(shù)f（x）的近似表達(dá)式，由于該表達(dá)式是一個(gè)線性函數(shù)，所以我們可以用該表達(dá)式來代替f（x）=0中的f（x）的近似解xn，該近似解會(huì)越來越逼近我們所要求的根的值。

我們根據(jù)定義舉出一個(gè)例子：假設(shè)方程的解為x？鄢，且x？鄢在x0的附近。那么，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處使用第一次泰勒級(jí)數(shù)展式，即線性表達(dá)式為f（x）≈f（x0）+（x-x0）f′（x0），通過上述方法代換可得x1=x0-■，該x1就會(huì)比x0更接近于x？鄢，從而達(dá)到我們的目的。由此就衍生出了著名的牛頓迭代公式：xn+1=xn-■，（n=0，1，2…）

四、總結(jié)

在本篇論文中，主要探究了泰勒公式的推導(dǎo)過程，從特例羅爾定理走向普遍性的柯西中值定理，最后演化為泰勒公式。通過這篇論文，我了解到了數(shù)學(xué)的進(jìn)步都是通過一次次的試探和科學(xué)的計(jì)算方法累積而成，絕非是一眨眼的功夫，而這些累積出來的成果，化為了一個(gè)個(gè)優(yōu)美的公式，帶給熱愛數(shù)學(xué)的人無窮的精神財(cái)富，所以在平日的生活中，也需要有一顆善于推導(dǎo)，善于發(fā)現(xiàn)的心。

參考文獻(xiàn)：

[1]伍勝健.北京大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)系列叢書：數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）[M].北京大學(xué)出版社， 2015.