劉劭琮

【摘要】我們針對(duì)常見的超幾何分布和二項(xiàng)分布，通過極限理論證明超幾何分布近似于二項(xiàng)分布，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，而在一定條件下二項(xiàng)分布和泊松分布都會(huì)近似于正態(tài)分布，通過這些近似關(guān)系，我們在合適的條件下可以有效的估計(jì)出一些較難計(jì)算的概率。

【關(guān)鍵詞】超幾何分布 ?二項(xiàng)分布 ?泊松分布 ?正態(tài)分布 ?近似

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）42-0126-01

1.概率理論基礎(chǔ)

1.1序列極限的定義

設(shè){xn}是一個(gè)序列，若存在常數(shù)a∈R，使得？坌ε>0，？堝N∈N，當(dāng)n>N時(shí)，有xn-a<ε，則稱{xn}收斂，極限為a。

1.2四種概率分布的定義

二項(xiàng)分布：在相同條件下做n次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果A或B，其中p=P（A），1-p=P（B），則在n次獨(dú)立試驗(yàn)中出現(xiàn)A的計(jì)數(shù)k是一個(gè)隨機(jī)變量X，且P（X=k）=C■■p■（1-p）■，（k=0，1，2，…，n），則X稱服從二項(xiàng)分布，記為X～b（n，p），X的期望為np。

超幾何分布：設(shè)有N件產(chǎn)品，M件次品，從中抽取n件產(chǎn)品，出現(xiàn)Y件次品的概率為超幾何分布P（Y=m）=■（m≤maxn，M），Y的期望為n■，事實(shí)上超幾何分布與二項(xiàng)分布的唯一區(qū)別就在于二項(xiàng)分布是有放回的，超幾何分布是無放回。我們也可以將Y看成n個(gè)服從0-1分布隨機(jī)變量Yi（i=1，…，n）的和，這里P（Yi=1）=■，但是當(dāng)i≠j時(shí)，Pi與Pj是不獨(dú)立的。

泊松分布：廣泛用于社會(huì)生活和物理科學(xué)中，比如記錄網(wǎng)站訪問次數(shù)，公共汽車站到來乘客數(shù)量，放射性分裂落入某一區(qū)域的粒子數(shù)量，都服從泊松分布，隨機(jī)變量Z服從泊松分布P（λ），則P（Z=k）=■e■，（k=0，1，…）。

正態(tài)分布：自然界應(yīng)用最廣泛的分布，很多現(xiàn)象都呈現(xiàn)正態(tài)分布的形態(tài)，大部分分布最后的極限都是正態(tài)分布，隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ■），對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為p（x）=■e■，-∞

2.分布之間的近似關(guān)系

2.1二項(xiàng)式分布近似超幾何分布

定理1：當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量足夠大，且次品率穩(wěn)定，即■■=p為常數(shù)，則■■=C■■p■（1-p）■。

證明：■■

=■■■■

=■C■■■■…■■…■

=C■■p■（1-p）■

2.2泊松分布近似二項(xiàng)分布

在實(shí)際應(yīng)用中，我們常遇到n很大，p很?。ㄒ话鉷<0.1）的伯努利分布，而乘積np的大小適中，此時(shí)可以用泊松分布逼近二項(xiàng)分布，而泊松分布的計(jì)算形式較為簡單。

定理2：在獨(dú)立試驗(yàn)中，以pn表示結(jié)果A出現(xiàn)的概率，與試驗(yàn)總數(shù)n有關(guān)，如果λn=npn→λ，則當(dāng)n→∞時(shí)，C■■p■■（1-p■）■→■e■。

證明：C■■p■■（1-p■）■=■■■1-■■=■1-■1-■…1-■1-■■，當(dāng)k固定時(shí)■λ■■=λ■，且■1-■■=■1-■■=e■，■1-■1-■…1-■=1，所以■C■■p■■（1-p■）■=■e■。

2.3正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布

定理3：對(duì)于隨機(jī)變量Xn～b（n，p）（0

通過上述公式我們在n很大的時(shí)候可以計(jì)算p{t1≤xn≤t2}，證明可以參見文獻(xiàn)[3]。

2.4正態(tài)分布逼近泊松分布

定理4：對(duì)任意正實(shí)數(shù)t，有■■■=■■e■dx=φ（t）

其中β=■，證明參見文獻(xiàn)[3]。

3.分布近似關(guān)系的應(yīng)用

事實(shí)上只有在λ很大的情形正態(tài)分布才能很好的逼近泊松分布，所以當(dāng)n很大，而p不大也不小的時(shí)候，λ=np較大，此時(shí)正態(tài)分布能夠很好的近似泊松分布。但是泊松分布近似二項(xiàng)分布則需要p很小，此時(shí)即使n不是很大也可以近似的很好，但是在這種情況下正態(tài)分布很難近似泊松分布，所以也很難近似二項(xiàng)分布。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅軍和.二項(xiàng)分布和泊松分布的剖析[J].統(tǒng)計(jì)教育，2006（10）：10-11.

[2]付安民.超幾何分布與二項(xiàng)分布的有機(jī)聯(lián)系[J].岳陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003（01）：46-48.

[3]于洋.淺析二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系[J].企業(yè)科技與發(fā)展，2008（20）：108-110.