張成卓

【摘要】連續(xù)函數(shù)是一類極其常見(jiàn)的函數(shù)類型，其無(wú)論在理論研究方面還是實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中都具有很高的價(jià)值。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有很多優(yōu)良的性質(zhì)，這些性質(zhì)往往是開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)所不具有的。本文研究總結(jié)了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)，并對(duì)這些性質(zhì)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的推廣。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極限 ?連續(xù)函數(shù) ?閉區(qū)間

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）42-0124-02

1.引言

連續(xù)函數(shù)是一類常見(jiàn)的函數(shù)，例如高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)基本都是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)具有諸多優(yōu)良的性質(zhì)，特別是在閉區(qū)間上，連續(xù)函數(shù)具有很多在實(shí)際中極其常用的性質(zhì)。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，自變量的取值不一定構(gòu)成閉區(qū)間，故很多學(xué)者都對(duì)這些性質(zhì)進(jìn)行過(guò)推廣，如聶錫軍[1]考慮將這些性質(zhì)推廣到開區(qū)間上;郭玉立[2]對(duì)這些性質(zhì)的條件作了一些更改;溫麗萍[3]則進(jìn)一步考慮了無(wú)限區(qū)間的情況。但是這些討論都是孤立的，且僅給出了性質(zhì)成立的新的條件，沒(méi)有從比較的角度分析這些性質(zhì)成立的根源。

本文研究總結(jié)了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)，并將這些性質(zhì)推廣到了更一般的區(qū)間上。此外，本文對(duì)比討論了這些性質(zhì)所需條件的強(qiáng)弱，給出了對(duì)這些定理整體上的理解。

2.連續(xù)函數(shù)及其基本性質(zhì)

2.1函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)

我們首先給出函數(shù)極限的定義。

定義1 ?設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義。A是實(shí)數(shù)，若對(duì)任意正實(shí)數(shù)ε>0，都有δ>0，使得當(dāng)0

定義1中自變量和函數(shù)值均接近一個(gè)有限數(shù)。事實(shí)上，當(dāng)自變量趨于無(wú)窮大或從單邊趨于某個(gè)有限值、函數(shù)值趨于有限數(shù)或無(wú)窮大時(shí)也可以給出類似的定義。類似數(shù)列極限，函數(shù)極限也具有唯一性等諸多性質(zhì)[4]。對(duì)函數(shù)極限補(bǔ)充定義和基本性質(zhì)感興趣的讀者可以參考陳紀(jì)修等人[5]所著的《數(shù)學(xué)分析》。

根據(jù)定義1，我們可以進(jìn)一步定義連續(xù)函數(shù)。

定義2 ?設(shè)函數(shù)f（x）定義域包含點(diǎn)x0及其附近，且■f（x）=f（x0），則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)，x0為f（x）的連續(xù)點(diǎn)。

如果在某個(gè)開區(qū)間內(nèi)每個(gè)點(diǎn)上函數(shù)都連續(xù)，則稱函數(shù)在這個(gè)開區(qū)間內(nèi)連續(xù)。此外，類似單側(cè)極限，我們還可以定義函數(shù)的單側(cè)連續(xù)，并以此定義函數(shù)在閉區(qū)間等其他類型區(qū)間上的連續(xù)性。具體定義可以參考文獻(xiàn)[5]。

接著，我們定義一致連續(xù)：

定義3 ?設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間X上有定義，如果對(duì)任意正實(shí)數(shù)ε>0，都有δ>0，使得對(duì)任意X內(nèi)的x1，x2滿足0

連續(xù)性是函數(shù)的點(diǎn)態(tài)性質(zhì)，但一致連續(xù)則是函數(shù)的非點(diǎn)態(tài)性質(zhì)。顯然，一致連續(xù)蘊(yùn)含連續(xù)，但反過(guò)來(lái)不一定成立。

2.2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)

連續(xù)函數(shù)簇具有諸多優(yōu)良的性質(zhì)。在一定條件下，它們對(duì)四則運(yùn)算、求反函數(shù)以及復(fù)合運(yùn)算都封閉。此外，若函數(shù)定義域是閉區(qū)間，則我們還有如下性質(zhì)：

定理1 （有界性定理） ?設(shè)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上有界。

顯然，定理1中的閉區(qū)間必不可少，如f（x）=■， 當(dāng)x在0和1之間時(shí)結(jié)論就不成立。又如f（x）=tan（x）， 當(dāng)x在-■和■之間時(shí)結(jié)論亦不成立。

第二個(gè)性質(zhì)是最值定理。

定理2（最值定理）閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x）一定能在[a，b]上取得最大（最小）值。

最值定理在優(yōu)化理論的分析證明中極其常用，例如我們可以用最值定理說(shuō)明最優(yōu)解的存在性。

此外還有介值定理。

定理3（介值定理）若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則其能取到[a，b]上f（x）最大值和最小值之間的任何一個(gè)值。

介值定理的一個(gè)推論就是零點(diǎn)存在定理。即若f（x）于[a，b]上連續(xù)，且f（a）和f（b）異號(hào)，則存在ξ∈[a，b]，f（ξ）=0。零點(diǎn)存在定理是高中數(shù)學(xué)所述二分法求零點(diǎn)的理論基礎(chǔ)。

3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣

我們?cè)谏弦恍」?jié)中總結(jié)的性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中十分常見(jiàn)，比如最值定理就可以應(yīng)用在最優(yōu)化問(wèn)題中，為最優(yōu)解的存在性提供保證。然而在實(shí)際中，自變量的取值不一定構(gòu)成閉區(qū)間，因而討論更一般區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是必須的也是必要的。本節(jié)嘗試將這些性質(zhì)拓展到開區(qū)間和無(wú)限區(qū)間上，并討論這些優(yōu)良性質(zhì)的本源。

3.1有界性定理的推廣

定理5 ?設(shè)f（x）在有限開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，且f（x）在a處的右極限和b處的左極限存在有限，則f（x）在開區(qū)間（a，b）上有界。

證明：由于f（a+）和f（b-）有限，不妨設(shè)f（a+）=A，f（b-）=B，則由局部有界性，存在δ>0，使得f（x）在（a，a+δ）∪（b-δ，b）上有界。而在[a+δ，b-δ]上，f（x）連續(xù)，由定理1，f（x）有界。故f（x）在（a，b）上有界，證畢。

進(jìn)一步的，若我們將上述定理的區(qū)間改成無(wú)限區(qū)間，則有：

定理6 ?f（x）于區(qū)間（a，+∞）上連續(xù)，f（x）在a處的右極限存在且為有限數(shù)，且■f（x）=A（有限數(shù)），則f（x）在區(qū)間（a，+∞）上有界。

證明：由于f（a+）有限，不妨設(shè)f（a+）=A，則由局部有界性，存在δ>0，使得 f（x）在（a，a+δ）上有界;另一方面，由■f（x）=A可知，存在G，當(dāng)x>G時(shí)， f（x）有界。而在[a+δ，G]上，f（x）連續(xù)，由定1，f（x）有界，故f（x）在（a，+∞）上有界，證畢。

從上述推廣中我們可以看出，廣義上說(shuō)，決定連續(xù)函數(shù)有界性是否成立的一個(gè)關(guān)鍵因素是該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的性態(tài)。對(duì)于有限區(qū)間，只要函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的局部是有界的，則在整個(gè)區(qū)間有界;對(duì)于無(wú)限區(qū)間，只要當(dāng)自變量在無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)函數(shù)是有界的，則函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上有界。

若考慮一致連續(xù)函數(shù)的有界性，我們有下面的定理：

定理7 ?設(shè)f（x）于有限開區(qū)間（a，b）上一致連續(xù)，則f（x）在（a，b）上有界。

證明：首先考慮a。任取一個(gè)收斂到a的數(shù)列{xn}，不妨設(shè)xn∈（a，b），n=1，2，3…，由于f（x）于（a，b）上一致連續(xù)，故 ？坌ε>0，？堝δ>0，對(duì)任意x1，x2∈（a，b）滿足x1-x2<δ，有f（x1）-f（x2）<ε，而根據(jù)Cauchy收斂原理，{xn}是基本列，故？堝N，使得？坌n，m>N，xn-xm<δ，從而f（xn）-f（xm）<ε。故{f（xn）}是基本列，故收斂。由Heine定理，f（a+）有限。同理可證f（b-）有限。故由定理5，結(jié)論立得，證畢。

注意到，定理7中有限開區(qū)間不能改成無(wú)限區(qū)間，如（a，+∞）。反例很多，如：f（x）=x2，x>0

3.2最值定理的推廣

定理8 ?設(shè)f（x）在開區(qū)間（a，b）（可以為無(wú)限區(qū)間）上連續(xù)，且f（x）在a處的右極限和b處的左極限存在且相等（可以同為無(wú)窮大），則f（x）一定能在區(qū)間（a，b）上取到最大值或最小值。

證明：我們只證明（a，b）有限的情況，（a，b）為無(wú)限區(qū)間證明類似。若f（a+）和f（b-）有限，令

f（x）=f（a+） ? x=af（x） ? ?a

則f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。若f（x）是常值函數(shù)，則顯然f（x）能在（a，b）上取到最大值或最小值。若f（x）不是常值函數(shù)，由定理2，f（x）能在[a，b]上取到最大值和最小值，且其中之一不等于f（a+）。故f（x）能在（a，b）上取到最大值或最小值。如果f（a+）=f（b-）=+∞，則固定G>0，？堝δ>0，使得當(dāng)x∈（a，a+δ）∪（b-δ，b）時(shí)，f（x）>G，而在[a+δ，b-δ]上，f（x）連續(xù)，故由定理2，f（x）可以在[a+δ，b-δ]上取到最小值。由f（x）在兩點(diǎn)a+δ，b-δ連續(xù)可知，該最小值亦是f（x）在（a，b）上的最小值。類似可證f（a+）=f（b-）=-∞時(shí)，f（x）在（a，b）上可取到最大值，證畢。

最值定理是否成立不僅取決于函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的性態(tài)，還與函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的性態(tài)有關(guān)。對(duì)于定理8，如果我們僅要求f（x）在端點(diǎn)處的單側(cè)極限存在，那么結(jié)論不一定成立。如f（x）=x，x∈（0，1）。

3.3介值定理的推廣

定理9 ?設(shè)f（x）在有限開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，f（a+）

證明：若f（a+）和f（b-）有限，令：

f（x）=f（a+） ? x=af（x） ? ?a

則f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。則由定理3，？坌ρ∈（f（a+），f（b-）），？堝γ∈[a，b]，f（r）=ρ。但顯然γ≠a，γ≠b，故f（x）可以取到（f（a+），f（b-））內(nèi)的任意值。若f（a+）=-∞，f（b-）有限，則令

f（x）=f（x） ? a

則f（x）是（a，b]上的連續(xù)函數(shù)。？坌ρ∈（-∞，f（b-）），？堝δ>0，當(dāng)x

定理9可以進(jìn)一步放寬條件，把有限開區(qū)間換成無(wú)限區(qū)間結(jié)論也是成立的。從推廣中可以看出，介值定理與函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的性態(tài)關(guān)系不大，但與中間值的取法有很大關(guān)系。

4.結(jié)語(yǔ)

本文研究總結(jié)了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)，并將這些性質(zhì)推廣到了更一般的區(qū)間上。此外，本文對(duì)比討論了這些性質(zhì)所需條件的強(qiáng)弱，分析了這些性質(zhì)成立的條件，給出了對(duì)這些定理整體上的理解和把握，具有一定的理論意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]聶錫軍.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其推廣[J]. 丹東師專學(xué)報(bào)， 1994（1）：20-22.

[2]郭玉立.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣[J]. 廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2004（s1）：2-4.

[3]溫麗萍. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的再推廣[J]. 高等繼續(xù)教育學(xué)報(bào)， 2007（3）：34-35.

[4]唐海波. 數(shù)列極限與函數(shù)極限的統(tǒng)一[J]. 河池學(xué)院學(xué)報(bào)， 2017（5）：70-75.

[5]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析-第2版[M]. 高等教育出版社，2004.