索宇航，劉敬娜，趙立純，尹振雪，高亞珍

（1.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，遼寧 鞍山 114007；2.遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

為害草莓的蚜蟲有多種，以桃蚜、棉蚜為主，其傳播草莓病毒使草莓產(chǎn)量減少，給種植者帶來重大經(jīng)濟(jì)損失［1］。由于草莓蚜蟲繁殖快，蔓延迅速，必須及時(shí)防治。為此在實(shí)際生產(chǎn)中，一般采用以噴灑殺蟲劑為主的化學(xué)防治，不僅對(duì)環(huán)境造成污染還會(huì)降低草莓品質(zhì)［2-3］，因此需要環(huán)保的控制措施，如以投放瓢蟲、草蛉、食蚜蠅、蚜繭蜂等天敵為主的生物防治［4］。結(jié)合生物防治在蟲害爆發(fā)前預(yù)防效果好的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)科學(xué)合理的控制策略是對(duì)蚜蟲類害蟲進(jìn)行有效防控的關(guān)鍵問題，也是值得進(jìn)一步探討的問題。

目前，關(guān)于草莓蚜蟲病的防治問題多采用定性研究方法，受種植者的經(jīng)驗(yàn)影響，有一定的盲目性。為了定量研究蚜蟲類害蟲的防控問題，了解其種群的動(dòng)態(tài)規(guī)律也很重要。近年，一些學(xué)者將以折疊突變模型為基礎(chǔ)的多種突變模型應(yīng)用到蚜蟲生態(tài)系統(tǒng)中，不僅成功刻畫其種群爆發(fā)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，還分析出蚜蟲類害蟲生態(tài)系統(tǒng)具有雙峰性、不連續(xù)性（突變性）、滯后性和發(fā)散性等基本突變性質(zhì)［5-6］。而這些突變性質(zhì)還可以利用廣義系統(tǒng)模型特有的脈沖行為刻畫。一般來說，廣義系統(tǒng)模型在揭示和預(yù)測(cè)被調(diào)查系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性方面具有重要優(yōu)勢(shì)，對(duì)生物生態(tài)系統(tǒng)的建模、分析和控制產(chǎn)生了巨大的影響，并且獲得一系列重要研究成果［7-10］。文獻(xiàn)［11-12］關(guān)于廣義系統(tǒng)向前/向后障礙點(diǎn)的定義、判定和特性的研究是運(yùn)用廣義系統(tǒng)特有的脈沖行為刻畫蚜蟲種群突跳的基礎(chǔ)與有力工具。但是這些研究均以單純微分方程表示的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)出發(fā)，附以由代數(shù)方程表示的靜態(tài)限制來建立廣義生物系統(tǒng)模型，沒有將刻畫系統(tǒng)突變性作為建模的重點(diǎn)。有鑒于此，本文基于代數(shù)方程表示的生態(tài)系統(tǒng)的靜態(tài)行為，即突變流形，結(jié)合微分方程表示的動(dòng)態(tài)描述構(gòu)建廣義系統(tǒng)模型。

1 模型建立

基于Logistic模型Holling II功能反映函數(shù)，考慮天敵脅迫下草莓蚜蟲種群的折疊突變模型［13］

式中：N,P分別為草莓蚜蟲種群密度及其天敵種群密度；r，k分別為草莓蚜蟲種群的內(nèi)并增長(zhǎng)率和環(huán)境容納量；m為天敵種群對(duì)草莓蚜蟲種群的捕獲效率；d1為由天敵種群引起蚜蟲種群的死亡率。

模型（1）通過坐標(biāo)變換可化為標(biāo)準(zhǔn)的折疊突變模型，其草莓蚜蟲種群密度隨著天敵種群密度從小到大連續(xù)變化會(huì)出現(xiàn)突跳現(xiàn)象［5-6］。實(shí)際上，天敵種群密度是隨時(shí)間有規(guī)律變化，考慮到食餌草莓蚜蟲種群的影響，天敵種群密度的變化率可用微分方程描述

式中：e為草莓種群轉(zhuǎn)化為天敵種群的轉(zhuǎn)化率；d2為天敵種群的死亡率。

耦合模型（1）和模型（2），得到一個(gè)廣義草莓蚜蟲生態(tài)系統(tǒng)模型

式中：r,m,k,d1,d2和e的定義如上且均為正常數(shù)。

根據(jù)生態(tài)意義，隨后關(guān)于廣義系統(tǒng)模型（3）的定性分析和控制器設(shè)計(jì)都在區(qū)域D={(P,N)|P≥0,N≥0}上進(jìn)行討論。

2 定性分析

為了探討模型（3）復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，首先根據(jù)文獻(xiàn)［11］中的定義給出如下三類點(diǎn)集及相應(yīng)結(jié)論。

（1）平衡點(diǎn)

其中：點(diǎn)M3是PON平面上拋物線和直線的交點(diǎn)。

定理1 當(dāng)且僅當(dāng)em-d2＞0，k(em-d2)-d1d2＞0時(shí)，模型（3）存在正平衡點(diǎn)。

在定理1基礎(chǔ)上，根據(jù)廣義系統(tǒng)平衡點(diǎn)、奇異點(diǎn)和障礙點(diǎn)的特點(diǎn)和性質(zhì)［12］，利用幾何分析方法，得到如下定性分析結(jié)果。

定理2 對(duì)于模型（3）：

1和M2，且均為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，而點(diǎn)S2為向后障礙點(diǎn)，見圖1a；

1和M2，且點(diǎn)M1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)、點(diǎn)M2為鞍點(diǎn)，而點(diǎn)S2為向后障礙點(diǎn)，見圖1b；

從上述定性分析可得兩個(gè)重要結(jié)論，一是若點(diǎn)S2為向前障礙點(diǎn)，則系統(tǒng)到達(dá)此點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)突跳（脈沖）現(xiàn)象，系統(tǒng)瞬間從點(diǎn)S2落到P軸上，再穩(wěn)定于穩(wěn)定平衡點(diǎn)M1；二是若平衡點(diǎn)M3存在且落在點(diǎn)S2的上方，則其為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，那么以點(diǎn)S2的上方任何點(diǎn)為初始狀態(tài)，系統(tǒng)最后都會(huì)穩(wěn)定在草莓蚜蟲種群密度較高的點(diǎn)M3，這不是人們期望看到的，也是本文要施加人工干預(yù)的情況。

圖1 定理2的幾何分析圖Fig.1 Geometric analysis figure for theorem 2

3 控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)平衡點(diǎn)M3存在且落在點(diǎn)S2的上方的情況，不失一般性，在點(diǎn)M3下方取初始點(diǎn)，其種群密度的時(shí)間響應(yīng)見圖2a，以蚜蟲種群密度較低的曲線段S1S2為控制目標(biāo)，采用投放天敵種群的手段，建立草莓蚜蟲控制模型

式中：u為控制輸入量，也是投放天敵總量，且u≥0。

考慮控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、控制措施易于實(shí)現(xiàn)等問題，設(shè)控制輸入量?jī)H與當(dāng)前天敵種群密度相關(guān)并取線性形式，則取

為了實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，即施加控制后，拋物線與直線的交點(diǎn)在曲線段S1S2上，為此令

圖2a是控制實(shí)施前模型（4）的時(shí)間響應(yīng)圖，圖2b～圖2d是不同控制強(qiáng)度下模型（4）的時(shí)間響應(yīng)圖。在控制器（5）作用下，系統(tǒng)從蚜蟲種群密度較高的狀態(tài)穩(wěn)定于蚜蟲種群密度較低的狀態(tài)，可以保證草莓的產(chǎn)量和品質(zhì)。與圖2c～圖2d對(duì)比，圖2b給出了一種較特殊的情況，即避開了系統(tǒng)的障礙點(diǎn)。此時(shí)投放天敵的強(qiáng)度不夠大，雖然可使系統(tǒng)最終停留在蚜蟲種群密度較低的狀態(tài)，但用時(shí)較長(zhǎng)可能錯(cuò)過了草莓的采摘期。通過比較圖2c與圖2d，可以看到投放天敵的強(qiáng)度越大，蚜蟲種群密度下降越快，控制器的效果越明顯。

與文獻(xiàn)［13］的研究結(jié)果相比較，本文所建廣義系統(tǒng)模型的數(shù)值模擬結(jié)果，即圖2c～圖2d顯示的蚜蟲種群密度隨天敵種群密度的連續(xù)變化而出現(xiàn)的驟降現(xiàn)象，更準(zhǔn)確地刻畫了蚜蟲生態(tài)系統(tǒng)的突變現(xiàn)象，且與實(shí)際數(shù)據(jù)更相近。

圖2 模型（4）的時(shí)間響應(yīng)Fig.2 Time response of model（4）

4 結(jié)論

本文首先基于草莓蚜蟲生態(tài)系統(tǒng)折疊突變流形，考慮其中有關(guān)天敵種群參數(shù)的變化率及其對(duì)蚜蟲種群的作用，提出一個(gè)廣義系統(tǒng)模型。其次，結(jié)合廣義系統(tǒng)理論和突變理論，通過幾何分析方法對(duì)草莓蚜蟲生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行了定性分析，探討其復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為及相應(yīng)的生態(tài)學(xué)機(jī)制。最后，針對(duì)蚜蟲種群密度較高的情況，采用投放天敵的控制手段，設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定于蚜蟲種群的避難狀態(tài)，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了控制器的效果。在控制器有效約束條件下，通過逐步增加控制力度的方式，進(jìn)一步驗(yàn)證了控制器的效果隨著天敵投放力度的增加而明顯增大，這與實(shí)際情況的研究相符。

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