廣東省深圳市坪山中學(xué)(518118) 李巧莉

江蘇第二師范學(xué)院(210013) 章飛

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊《圖形的相似》中有一個有趣的例子：用一根中間打了結(jié)的橡皮筋將一個圖形放大為原來的2倍!事實(shí)上,這根橡皮筋發(fā)揮的作用相當(dāng)于一個最簡易的“放縮尺”,其原理是三角形的相似.具體解釋如下：

圖1

[啟示]

圖2

利用這一結(jié)論,我們可以輕松地解決下面的問題.

例題1如圖3,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠A=60°,⊙O半徑為4,當(dāng)點(diǎn)P在劣弧BC上由B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時,弦AP的中點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為___.

圖3

圖4

解答連結(jié)OB、OC,得∠BOC=120°,

例題2如圖5,已知AB=12,P是線段AB上的動點(diǎn),分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊三角形ACP和等邊三角形PDB,連接CD,設(shè)CD的中點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時,點(diǎn)G運(yùn)動的路徑長為＿＿.

圖5

圖6

以上兩題都是借助已知點(diǎn)的運(yùn)動軌跡獲知結(jié)果,其中圖4中的AP與圖6中的PE就像兩把放縮尺,我們可以迅速由點(diǎn)P的運(yùn)動路徑得到相應(yīng)點(diǎn)的運(yùn)動路徑,無論是例題1中的曲線,還是例題2中的線段,

[探究]

圖7

圖8

證明如圖8,因?yàn)椤螦OB=∠A1OB1,

所以∠BOB1=∠AOA1.

圖9

我們用這個結(jié)論來解決一些路徑中所謂的“難題”.

例題3如圖10,有一個等腰直角三角形OPQ,點(diǎn)O與邊長為1的正方形頂點(diǎn)O重合,頂點(diǎn)P在正方形的邊AB上運(yùn)動時,試探索點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑形狀及長度.

圖10

拓展1如圖11,當(dāng)點(diǎn)P在此正方形的四周運(yùn)動一圈時,動點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑也會成為一個大正方形,長度為原正方形周長的倍,即.

圖11

圖12

[應(yīng)用]

當(dāng)我們在解決路徑問題時,如果遇上這一類型時,就可以考慮這種圖形變換的方式解決,迅速準(zhǔn)確.

例題4如圖13,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)B(-4,0),點(diǎn)P從點(diǎn)B處向點(diǎn)O運(yùn)動,連結(jié)AP,并以AP為斜邊作等腰直角三角形APQ.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時,點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為___.

圖13

圖14

分析這個問題滿足,在運(yùn)動過程中∠PAQ為定角,且PA/QA為定值,所以,點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑與點(diǎn)P的運(yùn)動路徑形狀相同,且長度為它的,因?yàn)辄c(diǎn)P的運(yùn)動路徑為OB,所以點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑也是一條線段,又因?yàn)镺B=4,所以點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為.

變式如圖14,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)B(-4,0),點(diǎn)P從點(diǎn)B處向點(diǎn)O運(yùn)動,連結(jié)AP,并以AP為斜邊作等邊三角形APQ.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時,點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為____.

答案：4

[小結(jié)]

兩個結(jié)論：

簡言之,在“形狀不變”的運(yùn)動路徑問題中,可以巧妙地借助以上結(jié)論迅速解決路徑形狀和長度的問題.