浙江省元濟高級中學(314300) 丁晨芳 姜巍

1.問題的提出

學科關鍵能力和學科核心素養(yǎng)是近期國家新課程標準修訂中提出的最新概念,從“雙基”到“三維目標”再到“學科關鍵能力和核心素養(yǎng)”反映了中國教育的發(fā)展與進步.那么該以什么樣的教學路徑和方法去養(yǎng)成學生的數(shù)學學科關鍵能力和核心素養(yǎng),是我們一線教師需要與時俱進去考慮的一個問題.

在平時的教學反饋中,我發(fā)現(xiàn)兩方面問題：(1)在針對學生解題錯誤的習題講評教學中,課堂氣氛沉悶,學生參與度不高;(2)學生在解決某些數(shù)學問題時會反復的犯錯、“屢教不改”.而我對學生的解題錯誤原因進行調查后得到的回答通常是“算錯了”、“計算粗心了”、“沒見過一樣的題型就不會做了”等等.這些浮于皮毛的原因并非關鍵,計算和題型只是數(shù)學知識應用的一種承載方式,通過它們承載的是一個龐大的數(shù)學體系和一類解決問題的思想方法,而支撐這個體系的是各種數(shù)學概念、定理和公式,即數(shù)學核心概念.如果學生對數(shù)學核心概念的理解和掌握不夠透徹甚至是模糊的,那他就缺失解決數(shù)學問題的數(shù)學關鍵能力和數(shù)學素養(yǎng),不能實現(xiàn)對數(shù)學知識的正確、巧妙應用,發(fā)生解題錯誤.

數(shù)學的學習是一個螺旋上升的過程,因此,在學生的學習發(fā)生錯誤的時候,如何講評習題,為學生提供從意義建構到能力生成的學習環(huán)境,引導學生建立知識點之間的聯(lián)系,構建自己的結構化知識網(wǎng)絡系統(tǒng),增強數(shù)學關鍵能力,進而提升數(shù)學核心素養(yǎng)是筆者時時思考的一個問題.下面筆者結合平時的教學經(jīng)驗談談在習題講評課中深化學生對核心概念的理解與掌握,提高學生的數(shù)學關鍵能力,形成數(shù)學核心素養(yǎng)所做的探究和思考.

2.對核心概念和核心素養(yǎng)的理解

2.1 何謂數(shù)學核心概念?

數(shù)學概念是從現(xiàn)象、事實中抽象出來的理性知識,是數(shù)學問題構建的理論背景和基本材料.正確理解并靈活運用數(shù)學概念,是掌握數(shù)學基礎知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.從一定意義上說,學生學習知識主要是掌握概念和由概念組成的系統(tǒng),通過對概念的學習加深了客觀事物之間的聯(lián)系.數(shù)學核心概念是本源概念,是指以其反映的數(shù)學思想貫穿內(nèi)容體系,或標志著其在整個內(nèi)容體系中起著核心關鍵作用的一類概念.核心概念在整個高中數(shù)學的學習中起到一個統(tǒng)領、主導的作用.學生抓住核心概念就等于抓住了高中學習的命脈,學生掌握核心概念就等于掌握高中數(shù)學的根本.

2.2 何為數(shù)學核心素養(yǎng)?

王尚志、史寧中等專家根據(jù)教育部的研制計劃,結合數(shù)學學科的特點,對數(shù)學核心素養(yǎng)給出了界定,即數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力,是數(shù)學課程目標和育人價值的集中體現(xiàn),它是在數(shù)學學習過程中逐步實形成的.數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析共六個方面.參照數(shù)學素養(yǎng)的界定模型(PISA2012),筆者認為可以通過以下教學模型來培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)(圖1).

圖1

圖1 中闡述的可以是從一個生活實際問題出發(fā),到問題解決的一個實際流程,一般的數(shù)學應用題的解決過程符合上述路徑.然而,在數(shù)學的教學中不可能只講應用題,從廣義的角度來說建模也不一定是實際問題的模型建立,可以是數(shù)學問題本身的本質模型識別與建構,如何在不同問題中分離出共同的本質性的核心和實質特征,建構為熟悉的數(shù)學問題求解.在平時作業(yè)中學生發(fā)生錯誤的習題,可以重組建模處理,輔助學生提高數(shù)學能力和素養(yǎng).

3.在課堂中養(yǎng)育學生的核心素養(yǎng)

3.1 當前數(shù)學“習題講評課”教學中存在的不足

習題課是我們?nèi)粘Ｉ詈艹Ｒ姷囊环N課型,它是根據(jù)學生近期學習中對于數(shù)學知識模糊、數(shù)學思維或者數(shù)學方法模糊的學情,特定安排的有針對性的解題教學課程,是學習中的重要環(huán)節(jié).作為新授課的一種延伸,一節(jié)好的習題講評課可以根據(jù)學生在平時作業(yè)練習中暴露的問題從學生思維的角度引導學生分析、探究問題,從根本上解決學生學習中的疑難點、困惑點,進一步鞏固數(shù)學基礎知識,讓學生真正掌握、理解、應用知識,提升其數(shù)學學科關鍵能力和核心素養(yǎng).通過分析學生在學習過程中存在的缺失,并結合觀察教師在針對學生解題錯誤的數(shù)學習題講評課課堂教學的實施情況,發(fā)現(xiàn)當前數(shù)學“講評課”教學中存在以下不足：

3.1.1 忽視教學“核心概念”的提煉

習題課是對所學內(nèi)容進行復現(xiàn),鞏固與內(nèi)化的教學活動,同時,它又是一個有針對性地診斷教學.通過一定的復習,老師應解決一些學生混淆不清的知識,彌補一定的知識漏洞,并幫助他們建構起自身的知識體系.教師如果不分輕重,面面俱到,只要有錯就講解,重點不突出,學生在上完課后就會感覺純粹是一節(jié)作業(yè)訂正課.在此過程中教師對學生的解題錯誤盲目地、機械地進行反復的講評和操練,卻忽略了隱含在錯誤中的核心概念而沒有進行教學內(nèi)容重組,教學切入點不夠精確,不能對癥下藥,不能很好地幫助學生理清知識間的聯(lián)系、建構起自己的知識體系,從而無法突破學生學習的薄弱點和思維的拐點,更別提提高數(shù)學思維能力.

3.1.2 教學方式陳舊單一、缺乏吸引力

習題講評課是復習課的一種,復習是對所學知識的復現(xiàn),那勢必會存在一定的重復,而重復教學卻是教學中最忌諱的,因為學生生性好奇,他們熱衷于新鮮的事物,一旦一樣東西重復兩次以上,他們就會感到索然無味,失去學習興趣.很多數(shù)學習題講評課都是圍繞知識復習、作業(yè)和試卷錯題講評展開的,不能吸引學生參與其中,不能引起學生的學習共鳴,使學生游離在體驗、感悟知識的發(fā)生、發(fā)展過程之外,導致學生對復習缺乏熱情.

3.1.3 忽視學生學習能力不足,缺乏適當?shù)囊龑?/h4>

高中生的思維意識不夠成熟,在數(shù)學學習中存在對題型死記硬背、機械學習的問題,沒有去思考問題的本質、梳理知識體系,從而只會模仿不會變通,無法形成自己的數(shù)學思維能力.而教師在習題講解的過程中,在學生站在突破問題的岔路口時,沒有給予適當?shù)囊龑?使得學生沒有看透問題的核心本質,沒有獲得解決問題的關鍵能力,只能模仿,不會變通,進而無法提升數(shù)學核心素養(yǎng).

3.2 提煉習題核心本源,提升學生核心素養(yǎng)

在數(shù)學學習的過程中,學生解題錯誤的出現(xiàn)在所難免,它是認知過程中必然的思想產(chǎn)物,也是學生思維上各種缺陷的真實暴露.如何利用學生“提供的錯誤資源”設計習題課,引導學生從根本上解決學習中的疑難點、困惑點,進而鞏固知識,提高數(shù)學素養(yǎng)呢?

元認知理論認為學習的過程就是一個不斷提高認知的過程,學習是認知結構的組織和重新組織,是一個積極主動并不斷內(nèi)化的過程.學生學習的過程是提高元認知能力的過程.教師可以基于學生的作業(yè)等學情反饋,對學生的錯誤資源分析、剖解、提煉出與問題本質相關的核心概念,遵從學生的實際學習需求,并以此為教學生長點為學生提供從意義建構到能力生成的學習環(huán)境,使得學生在明顯的邏輯主線中能夠充分經(jīng)歷學習的過程、知識獲得的過程和方法得出的過程,以一種螺旋上升的方式深化學生對核心概念的本質的理解,理清問題表象下知識本質之間的密切聯(lián)系,進而靈活應用數(shù)學概念,實現(xiàn)數(shù)學關鍵能力和核心素養(yǎng)的提升.

【案例】《運用數(shù)形結合思想解決復合函數(shù)零點個數(shù)問題》的習題講評課教學

(1)創(chuàng)設情境――提煉核心本質

基于學生的認知水平,這個問題是很容易得出答案的,教師要做的是引導學生抽象出問題的核心本質——函數(shù)的概念.由此做如下的問題引領：

①如何由自變量3求出f(f(3))?

令u=f(x),y=f(u).

函數(shù)值f(f(3))產(chǎn)生的過程：

可逆的過程：

同理：

【設計意圖】中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員李邦河院士認為數(shù)學根本上是玩概念,而不是玩技巧,所以對概念的清晰認識顯得尤為重要.“函數(shù)”是高中數(shù)學的核心概念之一.借助問題(1)(2)(3)引導學生抽象出函數(shù)概念的本質：對應關系,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象與邏輯推理素養(yǎng).借助問題(4)提煉數(shù)學思想：數(shù)形結合,培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

(2)建構數(shù)學——凝煉總結方法

結合例1的解題經(jīng)驗,學生應該有了相應的解題思路,教師要乘勝追擊幫助學生進一步凝練問題的核心本質——函數(shù)的概念.由此做如下的問題引領：

①結合例1的解題經(jīng)驗,如何解方程f(f(x))=2?

②自變量與函數(shù)值之間的對應關系如何能夠直觀的呈現(xiàn)?

③你能夠總結一下復合函數(shù)零點問題的解決方法嗎?

【設計意圖】數(shù)學概念是從現(xiàn)象、事實中抽象出來的理性知識,是數(shù)學問題構建的理論背景和基本材料,因此問題解決的關鍵,在于對問題中隱含的本質概念的掌握.以變式為背景,通過追問來展現(xiàn)學生的思維成果,解除小部分學生的困惑,啟發(fā)學生共同思考,同時增強學生的應用意識,滲透建模思想,加深對核心概念及核心概念解讀的必要性的理解.

(3)類比強化——增強應用意識

【設計意圖】在解決問題的過程中,進一步感受將客觀化的問題凝煉為函數(shù)核心概念——對應關系的思維過程,幫助學生固化、內(nèi)化核心概念,學會識別問題的本質和處理方法.

(4)變式延伸——促其知識交匯

很多學生在遇到本題時一開始束手無策,讀不懂題.造成困難的原因主要是加了“對任意給定的t∈(1,+∞),都存在唯一的x∈”這一條件,使得學生對題目的解讀產(chǎn)生偏差,模糊了問題的核心本質.對學生來講是全新的問題情境,要想突破此難點,關鍵在于如何引導學生撥開重重迷霧,識得盧山真面目,由此設計了以下問題：

①針對“對任意給定的t∈(1,+∞)”這一條件,t變化,導致什么在變化?

②令m=2a2t2+at,當實數(shù)m變化時,都存在唯一的x∈R滿足方程f(f(x))=m,方程的根有幾個?

③當實數(shù)m取值如何時,方程f(f(x))=m有唯一實數(shù)根?如何求解?

④對任意給定的t∈(1,+∞),m=2a2t2+at的取值已知,求正實數(shù)a的最小值是什么數(shù)學問題?

⑤2a2t2+at＞1,任意給定的t∈(1,+∞)恒成立,求正實數(shù)a的最小值.

【設計意圖】通過問題串讓學生感悟到一些復雜的客觀表征下,隱含的是函數(shù)核心概念的對應關系,解決問題的關鍵是能夠抽絲剝繭的去除一些非本質的特征,抓住問題的核心本質是解決問題的關鍵.同時讓學生體會數(shù)形結合、等價轉換、分類討論思想在處理知識直接內(nèi)在聯(lián)系是發(fā)揮的作用,提高學生的數(shù)學素養(yǎng)、滲透數(shù)學思想.

(5)課外思考——深化概念理解

思考2f(x)=x|x-a|-2x,若對任意a∈(-2,4),關于x的方程f(x)=tf(a)總有3個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.

【設計意圖】基于習題講評課的課外思考,給予學生在學習基礎上應用知識的機會,進一步深化概念理解、提升核心素養(yǎng),同時也對學生的學習成果起到評價的作用.適當改變的題干,對知識有適當?shù)难由?使學生的思維水平不滯留在某一層面上,而且獲得更大的發(fā)展空間.

4.總結語

數(shù)學素養(yǎng)是數(shù)學學科所固有的內(nèi)蘊特征,是在數(shù)學學習活動中獲得的、融于身心的一種品格和關鍵能力.教師在習題講評課方面,可以結合學生的作業(yè)反饋,圍繞問題的根本核心概念開展教學,以對一類問題的層層遞進的研究為主線,在環(huán)環(huán)相扣的變式設計中,設置問題串,以問題引領學生清晰地識別深層知識的核心思想、不斷深化對函數(shù)核心概念的理解,籍以發(fā)展學生超越客觀問題的構想思維,促進其思想與感覺,觀念與實體的統(tǒng)一,并有助于學生將學習結果內(nèi)化并加以應用,不斷的將學習過程引向更深、更有意義的方向,養(yǎng)成數(shù)學素養(yǎng).