劉瑤 張占月 黃梓宸 趙程亮

彈道導(dǎo)彈的飛速發(fā)展,使得未來的空天安全面臨著極大挑戰(zhàn).反導(dǎo)作戰(zhàn)成為未來戰(zhàn)爭(zhēng)的重要形式之一,中段反導(dǎo)具有攔截次數(shù)多、實(shí)施攔截早、附帶傷害少等特點(diǎn)[1],所以中段反導(dǎo)作戰(zhàn)在導(dǎo)彈防御中有著至關(guān)重要的作用.反導(dǎo)火力單元的部署問題是進(jìn)行反導(dǎo)作戰(zhàn)的前提,如何進(jìn)行合理的部署,對(duì)整體作戰(zhàn)效能有極大的影響.中段反導(dǎo)武器單個(gè)火力單元?dú)麉^(qū)范圍的確定是各個(gè)火力單元進(jìn)行銜接,和火力之間進(jìn)行互補(bǔ)的前提,也是有效地使用中段反導(dǎo)武器的基本條件之一[2].假定當(dāng)來襲目標(biāo)進(jìn)入火力單元的殺傷區(qū)內(nèi)時(shí),便可以以一定的概率進(jìn)行攔截[3].來襲目標(biāo)在殺傷區(qū)內(nèi)的時(shí)間越長,對(duì)攔截越有利.來襲目標(biāo)從進(jìn)入火力單元的殺傷區(qū)到飛出殺傷區(qū)之間的軌跡成為火力單元對(duì)該來襲目標(biāo)的攔截縱深[4].火力單元的不同部署位置對(duì)來襲目標(biāo)的攔截縱深有直接的影響.目前國內(nèi)外對(duì)于殺傷區(qū)的研究主要是針對(duì)防空作戰(zhàn),對(duì)于防空導(dǎo)彈的殺傷區(qū)主要用最大最小射程,最大最小射高和最大航路角等基本參數(shù)來描述[5].對(duì)于反導(dǎo)武器的殺傷區(qū)概念沒有統(tǒng)一的定義標(biāo)準(zhǔn),并且殺傷區(qū)邊界范圍也沒有解析的計(jì)算公式,針對(duì)中段反導(dǎo)問題沒有使用殺傷區(qū)計(jì)算模型求解其可攔截弧段即攔截縱深的具體模型.

本文將中段反導(dǎo)武器在空間中的可達(dá)集中可用于中段攔截的彈道軌跡的集合作為中段反導(dǎo)武器的殺傷區(qū).將殺傷區(qū)的邊界點(diǎn)用最小二乘法擬合出數(shù)學(xué)解析方程,并在此基礎(chǔ)上對(duì)不同航路捷徑的垂直殺傷區(qū)[6]和攔截縱深進(jìn)行建模,并以攔截縱深為優(yōu)化指標(biāo),完成了針對(duì)某一確定來襲目標(biāo)的火力單元的位置最優(yōu)部署.

1 中段反導(dǎo)武器系統(tǒng)典型殺傷區(qū)形狀和主要參數(shù)模型

選取一典型的中段反導(dǎo)武器,其發(fā)動(dòng)機(jī)大致參數(shù)如表1所示[7?8].

該中段反導(dǎo)武器在其第三級(jí)關(guān)機(jī)后[9],直到其下降段之前的范圍內(nèi)可以進(jìn)行攔截,該武器在發(fā)射平面內(nèi)的殺傷區(qū)如圖1所示.當(dāng)來襲導(dǎo)彈的彈道軌跡進(jìn)入該包絡(luò)面時(shí)認(rèn)為可以對(duì)其進(jìn)行攔截.

表1 攔截彈發(fā)動(dòng)機(jī)大致參數(shù)

圖1中顯示的是攔截彈從關(guān)機(jī)時(shí)刻到下降段之前的運(yùn)動(dòng)軌跡,由圖1可知該武器可以對(duì)高度大約在80km～450km飛行的導(dǎo)彈進(jìn)行攔截,水平攔截距離可以到達(dá)接近于450km.

考慮到中段反導(dǎo)武器可能的部署位置,在緯度較高的地區(qū)科氏力的影響相對(duì)較小,本文采取簡(jiǎn)化的模型,認(rèn)為火力單元在空間中,朝著任意方位發(fā)射殺傷區(qū)的范圍都相同,所以火力單元在空間中的殺傷區(qū)域可以由二維平面旋轉(zhuǎn)一定的角度得到.考慮到中段反導(dǎo)武器攔截來襲彈頭要滿足迎頭撞擊的條件,所以火力單元必須部署在攔截點(diǎn)的前面,故將二維平面內(nèi)的殺傷區(qū)旋轉(zhuǎn)360°得到其在空間的三維殺傷區(qū)范圍.選取的某一攔截在空間中殺傷區(qū)如圖2所示.

圖2中火力單元部署在原點(diǎn)O位置,攔截的來襲導(dǎo)彈的方向?yàn)檠刂鴜軸的負(fù)方向.殺傷區(qū)由4個(gè)曲面和一個(gè)平面組合而成,具有良好的軸對(duì)稱性.

圖2中火力單元的殺傷區(qū)域在地面上的投影區(qū)域是一個(gè)半圓形區(qū)域,與火力單元在二維平面內(nèi)的殺傷區(qū)對(duì)應(yīng)的航路捷徑關(guān)系如圖3所示.

圖3中火力單元部署在O點(diǎn),下半部分表示火力單元在迎擊來襲方向?yàn)閥軸負(fù)方向時(shí)的殺傷區(qū)在地面的投影,考慮到左右的對(duì)稱性,現(xiàn)在只分析在x軸正方向上的殺傷區(qū).x軸表示殺傷區(qū)的航路捷徑P.結(jié)合圖2中殺傷區(qū)的形狀,可以得到不同航路捷徑下火力單元對(duì)來襲導(dǎo)彈的垂直殺傷區(qū).

火力單元在空間中的殺傷區(qū),可以分為4個(gè)曲面和一個(gè)平面.

曲面AA1B1B,為殺傷區(qū)的高界面.由曲線AB繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°而成,曲線AB的方程記為則曲面AA1B1B的方程為

曲面ADD1A1,為殺傷區(qū)的近界面.由曲線AD繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°而成,曲線AD的方程為則曲面ADD1A1的方程為

曲面CDD1C1,為殺傷區(qū)的低界面,由曲線CD繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°而成,曲線CD的方程為則曲面CDD1C1的方程為

曲面CBB1C1,為殺傷區(qū)的遠(yuǎn)界面.由曲線CB繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°而成,曲線CB的方程為則曲面CBB1C1的方程為

曲面ABCD,為殺傷區(qū)的側(cè)面,為火力單元在二維平面的殺傷區(qū).

反導(dǎo)火力單元?dú)麉^(qū)在發(fā)射平面內(nèi)包絡(luò)的邊界曲線,采用最小二乘法對(duì)其進(jìn)行擬合,擬合的結(jié)果如圖4所示.

由圖4中可見,利用最小二乘法能夠較好地對(duì)攔截彈在二維平面內(nèi)的殺傷區(qū)邊界進(jìn)行擬合.圖中DA曲線點(diǎn)為攔截彈在助推段最大負(fù)攻角絕對(duì)值選擇最小值時(shí)的彈道軌跡,A點(diǎn)為攔截彈在上升段的最大高度處,D點(diǎn)為攔截彈關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的位置.同樣CB曲線為攔截彈在助推段最大負(fù)攻角絕對(duì)值選擇最大值時(shí)的彈道軌跡,B點(diǎn)為攔截彈在上升段的最大高度處,C點(diǎn)為攔截彈關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的位置.

以攔截彈在水平方向上的距離為自變量x,高度值為應(yīng)變量,經(jīng)過擬合計(jì)算可以得到邊界曲線的表達(dá)式為:

左側(cè)邊界線AD為:

右側(cè)邊界線為BC:

底側(cè)邊界線為CD:

上邊界線為AB:

2 火力單元的垂直殺傷區(qū)形狀參數(shù)

文獻(xiàn)[5]中用垂直于航路捷徑的平面切割殺傷區(qū)得到的平面稱作垂直殺傷區(qū).在圖2中用垂直于x軸的平面去切割殺傷區(qū)可以得到,不同航路捷徑P下的垂直殺傷區(qū)[10].

由圖3可知當(dāng)P＜P d時(shí),P d為D點(diǎn)的航路捷徑,可知P d=S d.為了表示航路捷徑的概念,后面的A,B,C各點(diǎn)的航路捷徑分別用P a,P b,P c來表示,在圖3中平面ABCD各點(diǎn)的航路捷徑為其x軸的坐標(biāo).即P a=S a,P b=S b,P c=S c.

用X=P的平面切割殺傷區(qū),得到航路捷徑為P的垂直殺傷區(qū).

X=P平面與曲面AA1B1B的交線方程為:

X=P平面與曲面ADD1A1的交線方程為:

X=P平面與曲面CBB1C1的交線方程為:

X=P平面與曲面CDD1C1的交線方程為:

選定航路捷徑P=8km,該火力單元的垂直殺傷區(qū)如圖5所示:

由圖3中可知當(dāng)P d＜P＜P a時(shí),用X=P的平面切割殺傷區(qū),得到航路捷徑為P的垂直殺傷區(qū).

X=P平面與曲面AA1B1B的交線方程為:

X=P平面與曲面ADD1A1的交線方程為:

X=P平面與曲面ABCD的交線方程為:

X=P平面與曲面CBB1C1的交線方程為:

X=P平面與曲面CDD1C1的交線方程為:

選定航路捷徑P=40km,該火力單元的垂直殺傷區(qū)如圖6所示:

由圖3可知當(dāng)P a＜P＜P c時(shí),用X=P的平面切割殺傷區(qū),得到航路捷徑為P的垂直殺傷區(qū).

X=P平面與曲面AA1B1B的交線方程為:

X=P平面與曲面ABCD的交線方程為:

X=P平面與曲面CBB1C1的交線方程為:

X=P平面與曲面CDD1C1的交線方程為:

選定航路捷徑P=75km,該火力單元的垂直殺傷區(qū)如圖7所示:

由圖3可知當(dāng)P C＜P＜P B時(shí),用X=P的平面切割殺傷區(qū),得到航路捷徑為P的垂直殺傷區(qū)[11].

X=P平面與曲面AA1B1B的交線方程為:

X=P平面與曲面ABCD的交線方程為:

X=P平面與曲面CBB1C1的交線方程為:

選定航路捷徑P=250km,該火力單元的垂直殺傷區(qū)如圖8所示:

3 火力單元對(duì)來襲目標(biāo)的攔截縱深分析

3.1 火力單元防護(hù)區(qū)分析

火力單元的防護(hù)區(qū)定義為由于火力單元對(duì)來襲目標(biāo)進(jìn)行攔截使得地面目標(biāo)成為被保護(hù)的區(qū)域,它是彈道導(dǎo)彈通過反導(dǎo)火力單元?dú)麉^(qū)落點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域[12].則針對(duì)y軸負(fù)方向來襲的彈頭,火力單元在地面的防護(hù)區(qū)如圖9所示.

圖中反導(dǎo)火力單元部署在O點(diǎn)位置,導(dǎo)彈來襲方向?yàn)檠刂鴜軸負(fù)方向,曲線T A B1B2T B B3B4包圍的區(qū)域?yàn)榛鹆卧姆雷o(hù)區(qū).圖8中表明部署在O點(diǎn)的火力單元能夠?qū)铰方輳皆赱?P B,P B]范圍內(nèi)的來襲彈頭進(jìn)行攔截,例如當(dāng)來襲導(dǎo)彈在航路捷徑為P k處,可對(duì)彈頭落點(diǎn)在線段T1T2范圍內(nèi)的來襲目標(biāo)進(jìn)行攔截.整個(gè)包絡(luò)面的邊界上任一點(diǎn)與火力單元部署點(diǎn)關(guān)系為B(D,?)[13],?為包絡(luò)面邊界上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與X軸的夾角,D為部署點(diǎn)與邊界點(diǎn)的距離.包絡(luò)面上幾個(gè)邊界點(diǎn)的角度計(jì)算方程為:

則邊界B(D,?)的方程為:

則部署在O點(diǎn)火力單元可以攔截落點(diǎn)在B1B2T B B3B4T A包圍的區(qū)域范圍內(nèi)的來襲彈頭,火力單元部署點(diǎn)與可攔截的彈頭落點(diǎn)之間的關(guān)系為:

F表示火力單元的部署位置,T表示彈頭落點(diǎn)位置,R(F,T)表示火力單元與彈頭之間的距離.D(?)表示火力單元在?方向上的防護(hù)區(qū)的邊界距離.

3.2 攔截縱深的求解模型

來襲目標(biāo)在中段一般具有固定的彈道,首先依據(jù)預(yù)警系統(tǒng)預(yù)測(cè)來襲導(dǎo)彈的彈道軌跡以及落點(diǎn),確定與火力單元部署點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系D(d,?),d為火力單元部署點(diǎn)與來襲彈頭落點(diǎn)之間的距離[14],?為部署點(diǎn)與落點(diǎn)之間的連線與x軸正方向之間的夾角.

部署點(diǎn)和落點(diǎn)之間的航路捷徑(來襲目標(biāo)彈道平面與部署點(diǎn)的最短距離)P,依據(jù)上面公式建立相應(yīng)目標(biāo)航路捷徑P上的垂直殺傷區(qū),其示意圖如圖10所示.

圖中反導(dǎo)火力單元部署在O點(diǎn),來襲導(dǎo)彈的彈道軌跡平面與火力單元部署點(diǎn)的航路捷徑為P.

包絡(luò)面ABCD即為火力單元在航路捷徑P處的垂直殺傷區(qū).將來襲導(dǎo)彈在火力單元可攔截的高度范圍內(nèi)的軌跡簡(jiǎn)化為直線軌跡,并預(yù)測(cè)其導(dǎo)彈落點(diǎn),設(shè)落點(diǎn)為T,導(dǎo)彈彈頭在殺傷區(qū)內(nèi)的平均速度與地平面的夾角為θ,則在該段軌跡的斜率為tan(θ),則彈道軌跡方程可以簡(jiǎn)化為[15]:

確定彈道與殺傷區(qū)相交的的兩條邊界線,選定某一條邊界曲線,由于曲線的曲率都比較小,所以不會(huì)出現(xiàn)與某條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的情況.以曲線AB為例,其兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(s a,h a),B(s b,h b).將這兩個(gè)端點(diǎn)帶入方程則彈頭運(yùn)動(dòng)到航向距離為s a和s b時(shí),其彈頭的高度為:

則彈道軌跡是否穿過該條邊界曲線的判斷條件為:

將殺傷區(qū)的所有邊界曲線按照上式方法進(jìn)行判定,最后選擇出彈道軌跡穿過的兩條邊界曲線.若是相交的曲線少于兩條,則彈道軌跡不過該垂直殺傷區(qū),或者彈道軌跡穿過垂直殺傷區(qū)兩條邊界曲線的某個(gè)交點(diǎn),判斷條件為:

在計(jì)算火力縱深,若來襲彈道軌跡穿過垂直殺傷區(qū),則必定與垂直殺傷區(qū)有兩個(gè)交點(diǎn).依據(jù)方程式,選定與來襲彈道軌跡相交的兩條邊界曲線,并將來襲彈道軌跡方程帶入相交的邊界曲線求出兩個(gè)交點(diǎn)記為Tin(sin,hin),Tout(sout,hout).

來襲導(dǎo)彈在垂直殺傷區(qū)內(nèi)的飛行距離為:

由式(29)可知,在已知來襲導(dǎo)彈的彈道軌跡和落點(diǎn)以及反導(dǎo)火力單元的部署位置時(shí),便可以求得火力單元對(duì)來襲導(dǎo)彈的殺傷縱深.

由式(29)可以得出殺傷區(qū)縱深L是航路捷徑P,導(dǎo)彈落點(diǎn)T,和殺傷區(qū)內(nèi)平均速度與水平面夾角θ的函數(shù),記為:

在火力單元部署問題中總是期待有較大的火力縱深,以便火力單元能夠?qū)硪u導(dǎo)彈有更多的反應(yīng)時(shí)間和更多的攔截次數(shù).如果來襲導(dǎo)彈的彈道軌跡已經(jīng)確定,為了能夠以最大的攔截概率對(duì)來襲導(dǎo)彈進(jìn)行攔截,需要找到反導(dǎo)火力單元的最優(yōu)位置,使得在該部署位置時(shí)對(duì)來襲導(dǎo)彈的殺傷縱深最大.即式中落點(diǎn)T和θ都為已知量.

針對(duì)此問題利用上述建立坐標(biāo)方程先求解出在火力單元部署點(diǎn)確定的情況下,使得攔截縱深最大的來襲目標(biāo)的落點(diǎn)位置,再利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求得在落點(diǎn)確定的情況下,使得攔截縱深最大的火力單元最優(yōu)部署點(diǎn)位置.

則所求目標(biāo)函數(shù)的方程為:

約束條件為:

θ依據(jù)可能來襲導(dǎo)彈的種類型號(hào)取相應(yīng)的值.

在以部署點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中,假設(shè)使得攔截縱深最大的彈頭落點(diǎn)與部署點(diǎn)的位置關(guān)系為D(d,?),則在以落點(diǎn)為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系中,最優(yōu)部署點(diǎn)位置為D(d,?+π).

4 實(shí)例仿真

假設(shè)來襲導(dǎo)彈在火力單元可攔截的高度范圍內(nèi)的平均速度為4km/s,平均速度與水平面的夾角為 45°. 由于垂直殺傷區(qū)的左右對(duì)稱性,為了簡(jiǎn)化計(jì)算量,選定航路捷徑為正值的區(qū)域進(jìn)行求解. 落點(diǎn)的搜索區(qū)域選定為{(x,y)|0 ＜x＜s b,?h a/tan(θ)＜y＜s b?h a/tan(θ)} 的矩形區(qū)域,該火力單元在發(fā)射面內(nèi)殺傷區(qū)的高近點(diǎn)為A(s a,h a),高遠(yuǎn)點(diǎn)為B(s b,h b).火力單元對(duì)不同的落點(diǎn)的來襲目標(biāo)的攔截縱深如圖11所示

圖11中火力單元部署在O點(diǎn),xy平面的矩形區(qū)域?yàn)檫x取的搜索區(qū)域,對(duì)比圖8中的防護(hù)區(qū)域,可以看出落點(diǎn)在防護(hù)區(qū)范圍的時(shí)候,火力單元對(duì)來襲目標(biāo)的攔截縱深大于零,當(dāng)落點(diǎn)在防護(hù)區(qū)域之外的時(shí)候,火力單元對(duì)來襲目標(biāo)的攔截縱深為零.針對(duì)再入角θ=45°的來襲目標(biāo),當(dāng)其落點(diǎn)在(90000,?81900)時(shí),部署在O點(diǎn)火力單元對(duì)其攔截縱深最長,最大攔截縱深為411300m.

依據(jù)方程式,可以求得部署點(diǎn)與落點(diǎn)之間的距離為121690m,方位角為?=?42.3.

針對(duì)此種類型的來襲目標(biāo),依據(jù)火力單元部署與落點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系可知當(dāng)落點(diǎn)確定時(shí),在以落點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中,使得攔截縱深最大的火力單元部署的部署位置為(121 690,137.7).

5 結(jié)論

本文針對(duì)中段反導(dǎo)作戰(zhàn)部署規(guī)劃,依據(jù)防空導(dǎo)彈殺傷區(qū)的理論模型,結(jié)合中段反導(dǎo)特性建立了單個(gè)中段反導(dǎo)火力單元在空間區(qū)域的殺傷區(qū),將其邊界擬合出數(shù)學(xué)解析方程,便于對(duì)中段反導(dǎo)殺傷區(qū)進(jìn)行解析求解.并針對(duì)某一確定的來襲彈道建立了在該殺傷區(qū)內(nèi)不同航路捷徑下火力單元的垂直殺傷區(qū)的求解模型.

在此基礎(chǔ)上分析了火力單元對(duì)來襲目標(biāo)攔截縱深與部署點(diǎn)和落點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系,以攔截縱深為優(yōu)化指標(biāo),將整個(gè)反導(dǎo)部署模型以及優(yōu)化攔截建立了解析計(jì)算模型,該模型通用性較強(qiáng),可為實(shí)施中段反導(dǎo)多次攔截和部署提供參考.本文中采用簡(jiǎn)化的中段反導(dǎo)武器在空間中的殺傷區(qū),在實(shí)際部署問題中,由于地球旋轉(zhuǎn)所造成的科氏力會(huì)對(duì)殺傷區(qū)的范圍求解造成一定誤差,在實(shí)際部署中也受到多方面的影響,為了能夠達(dá)到精確部署的要求,必須綜合考慮到各種因素,建立更為精確的部署模型.

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