王瑞群?李久省

即將開(kāi)始的最新一輪的課程改革將以發(fā)展核心素養(yǎng)體系為依據(jù)，進(jìn)一步修訂課程及教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科在此基礎(chǔ)上給出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象和數(shù)據(jù)分析。為了提升學(xué)科核心素養(yǎng)，需要我們更加有效地利用信息技術(shù)和課堂，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和觀(guān)察，去主動(dòng)探究和學(xué)習(xí)。在上述思想的指引下，“拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”探究活動(dòng)就以借助TI（德州儀器，Texas Instruments）手持技術(shù)圖形計(jì)算器等技術(shù)手段，讓學(xué)生積極參與探究，充分激發(fā)潛能為核心進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)。

TI手持技術(shù)是依托TI圖形計(jì)算器進(jìn)行問(wèn)題探索研究的技術(shù)，TI圖形計(jì)算器（見(jiàn)圖1）體積小、攜帶方便，更有利于教師與學(xué)生進(jìn)行課堂互動(dòng)。TI圖形計(jì)算器不僅具有強(qiáng)大的計(jì)算功能，更融合了幾何畫(huà)板的繪圖功能，更適合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中探究活動(dòng)的展開(kāi)。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

拋物線(xiàn)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。關(guān)于拋物線(xiàn)圖形，初中已經(jīng)在二次函數(shù)部分作了簡(jiǎn)單說(shuō)明，本節(jié)對(duì)拋物線(xiàn)定義的研究，與二次函數(shù)圖象遙相呼應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美，使知識(shí)體系更加完善。

拋物線(xiàn)是本章中三種圓錐曲線(xiàn)的最后一種，其研究方法與前面已經(jīng)學(xué)過(guò)的橢圓、雙曲線(xiàn)一致，所以本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有“承上”功能：把前面的思想方法統(tǒng)一起來(lái)，學(xué)生可以從具體的情境中抽象出拋物線(xiàn)模型，感受拋物線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的作用，再通過(guò)分析幾何特征畫(huà)出拋物線(xiàn)，讓學(xué)生直觀(guān)感知幾何圖形的曲線(xiàn)美、簡(jiǎn)潔美和對(duì)稱(chēng)美，進(jìn)一步落實(shí)求曲線(xiàn)方程的一般方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力。同時(shí)，本課可以為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊，所以又起到了“啟下”的重要作用。

二、學(xué)情分析

第一，學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓及雙曲線(xiàn)，并能用TI手持圖形計(jì)算器畫(huà)出相應(yīng)圓錐曲線(xiàn)，了解了用坐標(biāo)法求曲線(xiàn)方程的一般方法，有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備。第二，對(duì)于圖形計(jì)算器，一部分學(xué)生喜歡利用它作為輔助工具完成數(shù)學(xué)探究，積極性較高。但并不是所有的學(xué)生都喜歡使用圖形計(jì)算器，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生們的選擇。第三，高二年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年多的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有了一定的探究意識(shí)，能主動(dòng)參與到課堂中來(lái)，是課堂的主人，是學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)者和探究者。

三、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

1.知識(shí)與技能

理解拋物線(xiàn)的定義和焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2.過(guò)程與方法

經(jīng)歷拋物線(xiàn)軌跡的生成探究過(guò)程，建構(gòu)拋物線(xiàn)的概念，并探求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步掌握解析幾何的基本思想方法，提高觀(guān)察分析、比較概括的能力。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受“形”與“數(shù)”的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，體驗(yàn)研究解析幾何的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力和協(xié)作探究精神，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；通過(guò)對(duì)核心知識(shí)的掌握，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀(guān)想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：拋物線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

難點(diǎn)：拋物線(xiàn)的畫(huà)法。

四、教法分析

為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，采用了“問(wèn)題、引導(dǎo)、探究”式的教學(xué)模式，在課堂教學(xué)中始終貫徹“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，探究為主線(xiàn)”的教學(xué)思想，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀(guān)察、比較、分析和總結(jié)，使學(xué)生充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，參與教學(xué)的全過(guò)程。

在教學(xué)工具方面，使用自制教具、TI 手持圖形計(jì)算器、PAD實(shí)物投影、幾何畫(huà)板。在技術(shù)準(zhǔn)備方面，準(zhǔn)備一個(gè)教學(xué)班的TI手持圖形計(jì)算器，讓學(xué)生掌握其基本操作原理，并利用圖形計(jì)算器即時(shí)發(fā)送問(wèn)題的功能，對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況有準(zhǔn)確的把握，便于教師給予及時(shí)的反饋。

五、活動(dòng)設(shè)計(jì)

一部分同學(xué)能靈活運(yùn)用手持圖形計(jì)算器解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，但仍有一部分同學(xué)雖然接觸過(guò)，操作卻不太熟練。所以要提供給學(xué)生不同的作圖工具，如作圖紙等，實(shí)現(xiàn)可選擇性。通過(guò)不同方式畫(huà)拋物線(xiàn)，讓學(xué)生全員參與，感悟和體驗(yàn)由拋物線(xiàn)的定義生成拋物線(xiàn)軌跡的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)機(jī)器繪圖和手工繪圖的完美結(jié)合，為后續(xù)繼續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。所有學(xué)生利用無(wú)線(xiàn)導(dǎo)航登錄教師管理平臺(tái)，教師通過(guò)管理平臺(tái)即時(shí)發(fā)送問(wèn)題，對(duì)學(xué)生給予及時(shí)的評(píng)價(jià)和反饋。

六、探究過(guò)程

1. 視頻引入，明確課題

先播放本班同學(xué)打籃球時(shí)投籃的視頻，快速抓住學(xué)生的眼球，然后展示生活中與拋物線(xiàn)有關(guān)的實(shí)例，例如探照燈、雷達(dá)天線(xiàn)等。

師：某同學(xué)縱身一躍投籃，籃球的運(yùn)行軌跡呈現(xiàn)什么形狀？

生：拋物線(xiàn)。

師：拋物線(xiàn)是我們生活中常見(jiàn)的重要曲線(xiàn)，在日常生活中有重要應(yīng)用，例如太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線(xiàn)等都呈現(xiàn)拋物線(xiàn)的形狀，這節(jié)課我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)。

【設(shè)計(jì)意圖】感受拋物線(xiàn)的直觀(guān)形狀，引入課題， 使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的必要性。

2.探究軌跡，直觀(guān)感知

師：數(shù)學(xué)中規(guī)定，平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)（）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線(xiàn)，請(qǐng)大家根據(jù)定義畫(huà)一畫(huà)拋物線(xiàn)。要求：4人一小組，探討畫(huà)圖方案，可以使用繪圖紙手工畫(huà)圖，也可以用老師提供的教具，還可以使用TI 圖形計(jì)算器畫(huà)圖，選取的方式根據(jù)本組討論情況而定，8分鐘后匯報(bào)設(shè)計(jì)方案，并用實(shí)物投影儀展示。（教師關(guān)注每個(gè)人的活動(dòng)情況，從同學(xué)們的探究中，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的不同程度和思考的不同角度，同時(shí)注意收集有代表性的方案。）

第一組：學(xué)生用作圖紙作圖

學(xué)生甲：到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都是在以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓上，且到定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)是在與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)上，那么到定點(diǎn)和到定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)就在上述圓與直線(xiàn)的交點(diǎn)上，重復(fù)上述做法，用平滑的曲線(xiàn)連接即得到拋物線(xiàn)（見(jiàn)圖2）。

學(xué)生乙：在直線(xiàn)上任選一點(diǎn)A，做出到點(diǎn)A與定點(diǎn)F距離相等的點(diǎn)，重復(fù)上述做法，用平滑的曲線(xiàn)連接即得到拋物線(xiàn)（見(jiàn)圖3）。

第二組：學(xué)生借助圖形計(jì)算器作圖

學(xué)生丙：利用了圖形計(jì)算器強(qiáng)大的度量功能，平面任意選擇一點(diǎn)B，分別度量出點(diǎn)到定直線(xiàn)與點(diǎn)B到定點(diǎn)的距離，兩距離作差（或者作商）等于0時(shí)，即為符合題意的點(diǎn)，追蹤該點(diǎn)生成軌跡，完成作圖（見(jiàn)圖4）。

學(xué)生?。褐本€(xiàn)上任選一點(diǎn)C，做出到點(diǎn)C與定點(diǎn)F距離相等的點(diǎn)，追蹤該點(diǎn)生成軌跡，完成作圖（見(jiàn)圖5）。

第三組：利用教師提供的教具，完成探究任務(wù)

學(xué)生戊：利用教具，先畫(huà)一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)，借助圖釘和細(xì)繩構(gòu)造到定點(diǎn)和定直線(xiàn)距離相等的一個(gè)點(diǎn)，拖動(dòng)細(xì)繩畫(huà)出軌跡（見(jiàn)圖6）。

師：學(xué)生乙與學(xué)生丁的作圖方式，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器繪圖與手工繪圖的完美融合。機(jī)器繪圖要求對(duì)機(jī)器操作的熟練度比較高，理論上能想清楚，但操作上可能會(huì)遇到很多困難。手工繪圖重復(fù)性工作比較多，但是大家根據(jù)各自的實(shí)際情況，采取不同方式完成任務(wù)，達(dá)到了兩種形式并存。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)讓學(xué)生親身體驗(yàn)，感受定義的要素，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自身的“數(shù)學(xué)觀(guān)察”與思維能力，對(duì)問(wèn)題做出解釋、加工，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質(zhì)，“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)，建構(gòu)正確的概念。

3.圖象特征，正確分析

教師用幾何畫(huà)板展示一條拋物線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀(guān)察，通過(guò)對(duì)幾個(gè)問(wèn)題的探究達(dá)到深度認(rèn)識(shí)和掌握拋物線(xiàn)圖象特征的目的（見(jiàn)圖7）。

師 ：請(qǐng)大家認(rèn)真觀(guān)察，拋物線(xiàn)在無(wú)限遠(yuǎn)處的形狀是什么樣的？

生 ：無(wú)限伸展的。

師：拋物線(xiàn)在頂點(diǎn)處的形狀是圓的一部分嗎？

生：不是，不符合圓的定義。

師：拋物線(xiàn)定義中，定點(diǎn)與定直線(xiàn)間的距離（教師邊說(shuō)邊拖動(dòng)鼠標(biāo)，改變定點(diǎn)與定直線(xiàn)之間的距離）會(huì)影響拋物線(xiàn)的哪些方面？

生：定點(diǎn)和定直線(xiàn)的距離越大，開(kāi)口也越大，距離越小，開(kāi)口也越小。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾何畫(huà)板、TI手持圖形計(jì)算器，學(xué)生觀(guān)察并完成上述問(wèn)題的討論，明確拋物線(xiàn)圖象的幾何特征，構(gòu)建正確的概念體系，為之后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

4.數(shù)形結(jié)合，研究方程

由拋物線(xiàn)的定義，研究拋物線(xiàn)的方程，理解并應(yīng)用求曲線(xiàn)方程的步驟（建系→設(shè)點(diǎn)→等量關(guān)系坐標(biāo)化）。

師：如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？

生：過(guò)作的垂線(xiàn)為軸。

方案一：以的中垂線(xiàn)為軸；

方案二：以準(zhǔn)線(xiàn)為軸；

方案三：以過(guò)焦點(diǎn)的垂線(xiàn)為軸。

師：設(shè)定點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離為（） ，則點(diǎn)坐標(biāo)、直線(xiàn)的方程如何？點(diǎn)滿(mǎn)足什么條件？以上不同建系的情況下拋物線(xiàn)的方程是怎樣的？請(qǐng)板演（見(jiàn)圖8）。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生對(duì)拋物線(xiàn)量化，確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)觀(guān)察、比較得出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，提升學(xué)生觀(guān)察、分析、比較、概括的能力，為之后的進(jìn)一步研究做好準(zhǔn)備。

5.新知運(yùn)用，鞏固所學(xué)

教師利用圖形計(jì)算器的文檔功能發(fā)布調(diào)查，學(xué)生答題提交后，教師運(yùn)用圖形計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能查看結(jié)果并分析（快速便捷，能第一時(shí)間掌握學(xué)生聽(tīng)課情況）（見(jiàn)圖9、圖10）。

【設(shè)計(jì)意圖】 鞏固新知，教師運(yùn)用手持技術(shù)的統(tǒng)計(jì)功能快速掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并對(duì)有問(wèn)題的同學(xué)及時(shí)給予有針對(duì)性的指導(dǎo)。

6.小結(jié)提升，認(rèn)知升華

師：我們學(xué)習(xí)了這一節(jié)課，大家有什么收獲？

生：在知識(shí)層面，了解了拋物線(xiàn)的定義，能用軌跡法畫(huà)出拋物線(xiàn)，了解了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；在方法層面，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合，掌握了轉(zhuǎn)化和劃歸的思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用；通過(guò)探索性學(xué)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的自信心與學(xué)習(xí)的積極性。

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)，總結(jié)知識(shí)內(nèi)容，建構(gòu)知識(shí)體系的能力。

7.結(jié)尾

開(kāi)口設(shè)計(jì)，設(shè)疑啟思，為下一節(jié)課做準(zhǔn)備。

師：由于建立坐標(biāo)系時(shí)，軸和軸的選取不同，橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程各有兩種形式，請(qǐng)思考拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式。 另外，為了增強(qiáng)數(shù)學(xué)的使用價(jià)值，拋物線(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，請(qǐng)同學(xué)們查閱資料，以“太陽(yáng)灶為什么是拋物線(xiàn)的形狀”為題完成一篇數(shù)學(xué)小論文。

本節(jié)課是“應(yīng)用信息技術(shù)轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式”的一次成功案例，教師明確了運(yùn)用信息技術(shù)的目的——不是用信息技術(shù)替代以前的工作，而是利用它去做過(guò)去不易做、不能做的工作，以保證技術(shù)能真正促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，激發(fā)學(xué)生潛能，為學(xué)生成長(zhǎng)助力。

（作者單位：北京市第二十中學(xué)）

責(zé)任編輯：孫昕

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