王 君 ?？思?聶良益 何紅秀 陳智龍 汪 泉 任 軍

1.湖北工業(yè)大學機械工程學院,武漢,4300682.中國地質大學機械與電子信息學院，武漢，430074

0 引言

平面連桿機構的奇異位置(死點)也是連桿機構可動性問題的主要研究方面之一。目前，已有不少學者提出了不同的解決辦法。江國憲等[1]采用等效機械手工作空間分析了平面四桿機構的可動性問題。宋杰等[2]采用虛桿等效方法研究了RRP-RRP型六連桿機構的曲柄存在條件。于紅英等[3]運用平面鉸鏈五連桿機構的雅可比矩陣求出了機構奇異位置。王文格等[4]采用機構的雅可比矩陣研究了七桿機構的可動性特點。沈惠平等[5]提出了任意復雜多回路平面連桿機構或機械手奇異位形分析的模塊法。GOSSELIN等[6]基于雅可比矩陣的特性將閉鏈機構的奇異性分為三種類型。WANG等[7]用判別式法研究了Stephenson六桿機構的奇異性。 GAO等[8]分析了對稱五桿機構在解空間的奇異位形。MERLET[9]采用線匯與線叢原理對奇異位形進行了研究。COLLINS等[10]應用Clifford 代數研究了并聯操作平臺的奇異性問題。WANG等[11]采用機構自由度退化方法分析了一系列復雜平面機構的死點位置。TING等[12]對一些復雜機構的曲柄存在條件做了初步討論。這些方法大多針對特定機構，且基本上是采用幾何分析與代數計算的方法。

本文利用連桿機構本身的特性，采用等效四桿機構的概念來分析單自由度復雜連桿機構的奇異性問題。

1 等效四連桿機構

1.1 等效四連桿機構概念提出

HAIN[13]首先使用一階等效機構的概念分析多桿機構的速率問題。DIJKSMAN[14]提出了一種能保持一階等效運動特性的連桿機構簡化方法。一階等效連桿機構是由構件的瞬心組成，并保持與原機構中連桿之間瞬時運動特征不變的機構。其中，這些瞬心可以看作是原始連桿機構中相鄰兩構件的瞬時運動關節(jié)。由此，等效連桿機構的桿件數量比實際機構的桿件數量少，這就提供了另一種方法來研究機構的運動狀態(tài)。對于單自由度復雜平面連桿機構，其一階運動特性可以用它的等效四桿機構來體現。等效四桿機構是由原連桿機構中4個原始連桿之間兩兩相鄰連桿間的4個速度瞬心構成的，其中一個瞬心可以作為輸入關節(jié)。因為瞬心既能用來判斷給定連桿的速度分布，又可以判斷連桿間的運動傳遞特性，所以等效四桿機構可以代表單自由度復雜平面連桿的一階運動特性。

從原始的復雜連桿機構中找到4個連桿或相應的4個速度瞬心來組成等效四桿機構成為研究的重點。等效四桿機構包含一個輸入關節(jié)，這個輸入關節(jié)連接著復雜連桿機構中的兩個連桿，這兩桿可以看作是機架桿和輸入桿；還需要另外的兩桿來構成等效四桿機構的四桿，這兩桿可以看作是連架桿和輸出桿，輸出桿和連架桿可以是原復雜連桿機構中的任意兩桿。把這4個桿件按照機架、輸入桿、連架桿、輸出桿的順序組合，這些桿件兩兩相鄰的瞬心就構成了等效四桿機構的4個瞬時關節(jié)。這樣的等效四桿機構可保持復雜平面連桿機構中原始連桿之間的瞬時運動特性。

1.2 等效四連桿機構的構成

由上述分析可知，等效四連桿機構由4個原始桿以及它們對應的4個運動瞬心組成。4個原始桿中，連接機架和輸入桿組成輸入關節(jié)，另外兩桿為原復雜連桿機構中的任意兩個桿件。如圖1所示，找出Stephenson六桿機構的瞬心，則其瞬時運動特性可以由A0ECC0組成的等效四桿機構來決定。

圖1 Stephenson Ⅱ型六桿機構Fig.1 Stephenson type Ⅱ six-bar linkage

復雜機構的等效四連桿機構可以按照以下步驟找出：①選擇機架和輸入桿，其所相連的關節(jié)即為輸入關節(jié)；②任選兩桿為其余兩桿；③按照機架、輸入桿、連架桿、輸出桿的順序組合構成等效機構的原始四桿，并找出相鄰兩桿之間對應的瞬心。這4個相鄰的瞬心就構成了等效四桿機構的4個關節(jié)，相鄰兩個關節(jié)之間的桿或等效桿就成為等效機構的4個桿件。

需要注意的是，如果復雜平面連桿機構含有一個四桿環(huán)，且該四桿環(huán)包括了機架與輸入桿，則該四桿環(huán)可作為該復雜機構的一種等效四桿機構。由此，復雜連桿機構的等效四桿機構可分成如下兩種類型。

類型Ⅰ 等效四桿機構的4個桿件由原復雜連桿機構內的四桿環(huán)組成。

類型Ⅱ 等效四桿機構的4個桿件由原復雜連桿機構內的非四桿環(huán)組成。

類型Ⅰ的復雜連桿機構的等效四連桿機構直接為該機構內的四桿環(huán)。對于類型Ⅱ中的等效四連桿機構，其構成的桿件可能來自四桿環(huán)的一部分但不能是全部，或來自其他不同環(huán)。因復雜連桿機構中存在多個桿件，因此有多個等效四連桿機構的桿件組合方式。這些等效四桿機構都從屬于類型Ⅰ或類型Ⅱ。圖1等效四連桿機構A0ECC0中，連桿EC和復雜連桿機構中的三元桿BCD具有相同的運動狀態(tài)。當桿1作為機架，桿2作為輸入桿，或瞬心I12作為輸入關節(jié)時，桿A0E和桿A0AB0可等效成同一個單元。該六連桿機構能被等效為四連桿機構A0ECC0。需要注意的是，點E為桿AD、B0B延長線的交點，同時也是瞬心I25。由此，等效四連桿機構A0ECC0可以看作是由原始四桿1、2、5和6按順序排列的兩兩相鄰的4個關節(jié)瞬心I12、I25、I56和I61組成的，即等效四桿機構的4個關節(jié)就是原四桿中相鄰兩桿之間的瞬心，它是類型Ⅱ等效四連桿機構。

選擇其他桿件組合也能構成等效四桿機構。如選擇桿件1作為機架，桿件2為輸入桿，桿件3和桿件5為剩余兩桿，并按順序排列的四桿件1、2、3和5形成的瞬心I12、I23、I35和I51就構成了等效四連桿機構A0ADF。其余的等效四連桿機構也可以用相同的方法得到。

2 運用等效四連桿機構分析機構的死點

平面四桿機構出現運動死點的位置是在連桿和輸出桿共線或三個非輸入關節(jié)共線的位置。因復雜平面連桿機構具有更多的桿件、更復雜的環(huán)和更多樣的輸入方式，故很難分析其出現死點的位置與機構在死點位置的構型。等效四連桿機構概念的提出為研究單自由度復雜平面連桿機構的死點位置提供了一種新方法。

等效四桿機構包含一個輸入關節(jié)和三個非輸入關節(jié)。如果復雜連桿機構對應的等效四連桿機構處在死點位置，則原復雜平面連桿機構也必處在死點位置。由此，單自由度復雜平面連桿機構的死點可以按照以下判別準則來分析。

判別準則1 單自由度復雜平面機構死點出現的條件是該機構的等效四連桿機構中的三個非輸入關節(jié)處在同一直線上。

判別準則2 任一個該復雜機構的等效四連桿機構處在死點位置，則整個原機構一定也處于死點位置。

需要說明的是，如果類型Ⅰ等效四連桿機構處在死點位置，那么原復雜機構也必處于死點位置，并且所有類型Ⅱ等效四連桿機構也處于死點位置。如果任一該機構類型Ⅱ等效四連桿機構處于死點位置，該復雜機構也處于死點位置，其余所有類型Ⅱ等效四桿機構也都處于死點位置，但此時該復雜機構的類型Ⅰ等效四連桿機構不一定處于死點位置。也就是說，該復雜連桿處于死點位置時，該機構的任一個類型Ⅱ的等效四桿機構機構都處于死點位置。這是因為類型Ⅱ的等效四連桿機構中的桿件是來自該復雜機構中不同的環(huán)。當所有類型Ⅰ和類型Ⅱ等效四桿機構都處于死點位置時，則原機構必處于死點位置。

下面對以上準則進行進一步解釋。如圖2所示，以桿件1作為機架，桿件2為輸入桿，桿件p和桿件q是該復雜機構中不同于桿件1、桿件2的其余任意兩桿。該等效四桿機構對應的瞬心為I12、I2p、Ipq和I1q。

圖2 四連桿機構Fig.2 A four-bar linkage

桿件p、桿件q以及桿件2的速度關系可以表示為

(1)

(2)

式中,ωi(i=2,p,q)為桿件i的角速度。

當復雜連桿機構處于死點位置時，式(1)和式(2)的值應該是無窮大的，此時等式的右半部分的分母應等于0，即I1pI2p=0和I1qI2q=0，這時瞬心I1j和I2j(j=p,q)重合。根據Aronhold-Kennedy理論，瞬心Ipq在直線I1pI1q和直線I2pI2q上。由此，等效四連桿機構中的三個非輸入關節(jié)I2p、Ipq和I1q處在同一直線上。如果等效四連桿機構中的三個非輸入關節(jié)I2p、Ipq和I1q處在同一直線上，同理，根據Aronhold-Kennedy理論，瞬心I1j和I2j(j=p,q)必重合。當桿件p和桿件q被任意地選取時，一個類型Ⅱ的等效四連桿機構處于死點位置，其余所有類型Ⅱ的等效四連桿機構一定同時處于死點位置。由此，該判別準則是單自由度復雜平面連桿機構死點位置的充分必要條件，這些準則能簡單判別單自由度復雜平面連桿機構死點的幾何構型。

3 實例分析

3.1 含有兩個移動關節(jié)的平面六連桿機構死點位置分析

如圖3所示,Stephenson六連桿機構中的2個轉動關節(jié)用移動關節(jié)代替時，其死點問題也能利用等效四連桿機構的方法來判定。當給定輸入在關節(jié)A時，如選擇構件3和構件4為其余兩桿，運用等效機構的概念和方法，機構的死點位置出現在類型Ⅰ等效四桿機構I12I24I34I13中的瞬心I24、I34和I13共線(圖3a)。同時四桿環(huán)ABCD在物理上形成一個曲柄滑塊機構，即類型Ⅰ的等效四桿機構，根據上述準則1和2，此時四桿環(huán)ABCD一定處在死點位置,BC桿垂直于滑塊的導路方向。若選擇桿4和桿5為其余的兩桿，運用三心定理容易得到桿2和桿5的運動瞬心I25、桿1和桿5的運動瞬心I15，機構的奇異位置出現在類型Ⅱ等效四桿I12I25I45I15中的瞬心I25、I45和I15共線(圖3b)，此時桿件EF將垂直于平面內滑塊所運動的導路方向。

(a)

(b)圖3 含有兩個移動關節(jié)的六桿機構Fig.3 A six-bar linkage with two sliders

3.2 含有三個移動關節(jié)的六桿機構的死點位置

將六桿機構中三個旋轉關節(jié)用移動關節(jié)替換，如圖4所示。若以旋轉關節(jié)A為輸入關節(jié)，則默認桿1為機架，桿2為輸入桿，任選桿3和桿4為其他兩桿，機構的奇異位置出現在等效四桿I12I24I34I13中的瞬心I24、I34和I13共線，或任選桿4和桿5為任意兩桿，機構的奇異位置出現在等效四桿I12I25I45I15中的瞬心I25、I45和I15共線。

圖4 含有三個移動關節(jié)的六桿機構Fig.4 A six-bar linkage with three sliders

3.3 單自由度雙蝶八連桿機構死點位置分析

單自由度雙蝶八桿機構的死點位置是很難找出來的。這里將運用PENNOCK等[15]提出的方法求得單自由度雙蝶八桿機構所有的瞬心。利用本文提出的等效機構方法，復雜的單自由度雙蝶八桿機構的奇異性很容易就被分析出來,通過任一等效機構可以得到其死點位置。如圖5所示，任意選擇原機構的4根桿如桿1、2、3和7，并把它們按照機架、輸入桿、連桿、輸出桿的順序組合。由相鄰兩桿之間的運動瞬心組成相應的等效四桿機構I12I23I37I17。如果該等效機構的三個被動關節(jié)I23、I37、I17位于同一直線上，則這個等效四桿機構位于死點位置，進而判定整個單自由度雙蝶八桿機構必定位于死點位置。如選擇其他任意連桿及輸出桿，也會得出相同的結論。由此，運用等效四桿機構的概念，像單自由度雙蝶八桿機構的死點位置也可很容易地判別出來。

圖5 單自由度雙蝶八桿機構的死點位置Fig.5 A dead center position for the double butterfly eight-bar linkage

4 結束語

本文根據機構的瞬心能表示該機構的運動特性的特點，提出了用等效四連桿機構的概念和方法來研究單自由度復雜平面連桿機構奇異性的方法。以Stephenson六連桿機構為例介紹了等效四連桿機構構成，并利用其來分析更復雜的單自由度平面連桿機構如帶移動關節(jié)的六連桿機構、雙蝶八桿機構的奇異性，體現了該方法的簡單直觀性。該方法是一種幾何分析方法，能為研究復雜平面機構在奇異位置的構型提供一種新的思路。

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