于凌濤， 楊景， 王嵐， 湯澤旭， 莊忠平

(哈爾濱工程大學(xué) 機電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

機器人輔助微創(chuàng)外科手術(shù)作為目前研究的熱點領(lǐng)域，隨著機器人技術(shù)的發(fā)展也變得更加成熟。機器人輔助微創(chuàng)外科手術(shù)相比較于傳統(tǒng)的微創(chuàng)外科手術(shù)具有獨特的優(yōu)勢，例如，從根本上改變了醫(yī)生的手術(shù)方法和手術(shù)環(huán)境，有效減少了操作醫(yī)生的疲勞和手術(shù)中的誤操作，從而大大提高了微創(chuàng)外科手術(shù)的效果[1]?，F(xiàn)在微創(chuàng)外科手術(shù)機器人的結(jié)構(gòu)已經(jīng)逐漸成熟，其中較為有名的商業(yè)化的手術(shù)機器人系統(tǒng)有AESOP系統(tǒng)[2]、Zeus系統(tǒng)[3]和Da Vinci手術(shù)系統(tǒng)[4]等。

由于機械臂的尺寸和結(jié)構(gòu)對自身的運動性能影響很大，因此如何通過優(yōu)化幾何參數(shù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到較優(yōu)的運動性能在機械臂的設(shè)計過程中具有重要的意義。鄧宗全等[5]基于變密度法對搖臂懸架進(jìn)行了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。賈世元等[6]提出了姿態(tài)可操作度的指標(biāo)，并利用該指標(biāo)對機械臂的尺寸進(jìn)行了優(yōu)化。丁淵明等[7]提出一種基于工作空間和能量消耗的綜合指標(biāo)對機械臂的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。岳龍旺等[8]將條件數(shù)的倒數(shù)作為靈活度指標(biāo)實現(xiàn)對雙四連桿機構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化。楊世強等[9]基于對模型的有限元分析，對關(guān)鍵構(gòu)件進(jìn)行了減重設(shè)計和結(jié)構(gòu)優(yōu)化。杜志江等[10]利用條件數(shù)和可操作度建立了綜合性能指標(biāo)，并基于該指標(biāo)實現(xiàn)了對遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)的桿件參數(shù)的優(yōu)化，王宏民等[11]基于全域性能指標(biāo)對主操作手結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。趙凱等[12]以可操作度為性能指標(biāo)，對機械臂被動關(guān)節(jié)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，提高了整體的靈活性。Surbhi Gupta等[13]基于手術(shù)中可能的切口位置數(shù)量和空間可達(dá)性，實現(xiàn)了對三自由度串聯(lián)手術(shù)機械手桿長參數(shù)的優(yōu)化。

結(jié)合實際手術(shù)機械臂的運動要求，以機械臂運動的靈活性和平穩(wěn)性為首要要求，建立能夠反映該要求的評價指標(biāo)。通過對手術(shù)機械臂遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)運動學(xué)性能的分析，建立了基于全域空間內(nèi)的條件數(shù)均值和條件數(shù)波動值的手術(shù)機械臂的綜合靈巧度評價指標(biāo)，實現(xiàn)對手術(shù)機械臂遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)的尺寸優(yōu)化?；趯κ中g(shù)機械臂的有限元分析，對被動關(guān)節(jié)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

1 通用手術(shù)機械臂結(jié)構(gòu)

優(yōu)化的微創(chuàng)外科手術(shù)通用機械臂如圖1所示，分為主動關(guān)節(jié)與被動關(guān)節(jié)，主動關(guān)節(jié)主要用于手術(shù)過程中調(diào)整腹腔鏡或者微器械末端的位姿，被動關(guān)節(jié)主要用于術(shù)前調(diào)整遠(yuǎn)心點位姿。機械臂末端可以安裝腹腔鏡或者微器械，對應(yīng)的成為持鏡臂和持械臂。一般的手術(shù)系統(tǒng)由一條持鏡臂和兩條持械臂組成，如圖2所示。在手術(shù)過程中，持鏡臂實時為醫(yī)生提供病人腹腔內(nèi)的手術(shù)視野，持械臂通過醫(yī)生控制的主手實現(xiàn)手術(shù)過程中對病灶區(qū)域的操作。

圖1 微創(chuàng)外科手術(shù)機械臂結(jié)構(gòu)Fig.1 The CAD model of surgical robot arm

圖2 機器人輔助微創(chuàng)外科手術(shù)系統(tǒng)Fig.2 The minimally invasive surgical robot system

雙平行四邊形機構(gòu)可以從機械角度保證手術(shù)過程中遠(yuǎn)心點的固定位置(如圖3所示)，防止遠(yuǎn)心點偏移術(shù)前規(guī)劃位置發(fā)生手術(shù)事故。

圖3 雙平行四邊形機構(gòu)Fig.3 Double tandem parallelogram mechanism

2 遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)尺寸優(yōu)化

遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)對機械臂的靈活擺位有重要的影響，因此針對遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)的尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

2.1 遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)運動學(xué)分析

根據(jù)通用手術(shù)機械臂的結(jié)構(gòu)分析，建立被動關(guān)節(jié)部分的運動學(xué)坐標(biāo)系，如圖4所示。機構(gòu)初始的連桿參數(shù)如表1所示。

圖4 通用手術(shù)機械臂被動關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Fig.4 The coordinate system of general surgical arm passive joints

關(guān)節(jié)li/mmai/raddi/mmθi/rad100a102a200θ13a300θ240-(π/2+p1)a4θ3

根據(jù)圖4中的運動學(xué)坐標(biāo)系及表1中的D-H參數(shù)，可以得到各個關(guān)節(jié)之間的齊次轉(zhuǎn)換矩陣：

式中p1=π/4。

聯(lián)立關(guān)節(jié)之間的轉(zhuǎn)換矩陣，即可得到遠(yuǎn)心點坐標(biāo)系xnynzn在基坐標(biāo)系x0y0z0下的位姿矩陣:

0Tn=0Tn1Tn2Tn3Tn

(1)

各關(guān)節(jié)的運動范圍為

由于第一被動關(guān)節(jié)對機械臂的運動性能不存在影響，因此優(yōu)化過程不考慮該關(guān)節(jié)。為驗證運動學(xué)模型的正確性，在Matlab中搭建Simulink模型，如圖5所示。以被動關(guān)節(jié)Simmechanics模型的輸出為實際值，運動學(xué)模型的輸出為理論值。設(shè)置仿真時間為10 s，運行仿真可以得到關(guān)節(jié)的輸入角度和遠(yuǎn)心點位置誤差，如圖6所示。仿真結(jié)果顯示建立的被動關(guān)節(jié)的運動學(xué)模型是正確的。

圖5 機構(gòu)正運動學(xué)模型Simulink驗證模型Fig.5 The Simulink model of the forward kinematics model

圖6 正運動學(xué)驗證結(jié)果Fig.6 The verification results of forward kinematic model

2.2 建立綜合靈巧度評價指標(biāo)

根據(jù)遠(yuǎn)心點調(diào)整機構(gòu)的正運動學(xué)模型，可以得到遠(yuǎn)心點在基座標(biāo)系下的坐標(biāo)：

式中:a1、a2、a3、a4為遠(yuǎn)心點機構(gòu)幾何尺寸，θ1、θ2、θ3為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。

由于第一被動關(guān)節(jié)對機構(gòu)的靈巧度沒有影響，因此不考慮第一被動關(guān)節(jié)。雅可比矩陣可以通過對θ1、θ2、θ3求導(dǎo)得到：

(3)

機械臂的運動性能評價指標(biāo)有很多，這些指標(biāo)也被廣泛應(yīng)用于機構(gòu)尺寸的優(yōu)化中。其中應(yīng)用最廣泛的是機構(gòu)的靈巧度，機構(gòu)靈巧度是指末端沿任意方向到達(dá)指定位姿的運動能力。雅可比矩陣的條件數(shù)是一個重要的靈巧度指標(biāo)，條件數(shù)越接近于1，說明在該位姿下的運動性能越優(yōu)[14]，定義如下

KJ=‖J‖·‖J-1‖

(4)

式中J為雅可比矩陣：

(5)

式中:λmax為雅可比矩陣最大特征值,σmax為雅可比矩陣最大奇異值。

由于條件數(shù)只與機械臂關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角和結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)，反映了機械臂在指定位姿下的運動能力，但不能反映在全域空間內(nèi)的運動能力，對此提出了全域空間條件數(shù)均值(GCI)這一指標(biāo)，即對條件數(shù)在整個運動空間內(nèi)取平均值，這一指標(biāo)可以反映在整個運動空間內(nèi)運動學(xué)靈巧度和位置誤差的總體性能:

(6)

式中:KJ為指定位姿下的條件數(shù)，W為全域工作空間。

考慮到GCI指標(biāo)并沒有反映出隨著各個位置變化時的空間靈巧度波動情況，對此提出了運動學(xué)雅可比矩陣條件數(shù)波動性能指標(biāo)(GCIF)，即在全域工作空間內(nèi)對雅可比矩陣條件數(shù)取方差：

(7)

考慮到以上兩個指標(biāo)對機械臂的運動靈巧度同樣重要，因此對兩個指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)處理，作為綜合靈巧度評價指標(biāo)CDI：

CDI=k1GCI+k2GCIF

(8)

式中k1、k2為對應(yīng)項加權(quán)系數(shù)。

2.3 設(shè)計優(yōu)化變量及分析

在優(yōu)化前利用初始參數(shù)對機械臂進(jìn)行分析，根據(jù)實際手術(shù)中的擺位角度研究，關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍為35°≤θ1≤85°,-90°≤θ2≤-55°，-160°≤θ3≤-135°遠(yuǎn)心點的工作空間如圖7所示，條件數(shù)的分布如圖8所示。

圖7 遠(yuǎn)心點運動空間XY投影Fig.7 XY plane projection of the workspace of the remote center

圖8 初始桿長條件下的條件數(shù)分布Fig.8 The distribution of condition number under initial geometry

由于運動學(xué)性能指標(biāo)主要由關(guān)節(jié)角度變化范圍和關(guān)節(jié)桿長所決定的，而常用角度取值范圍主要依據(jù)手術(shù)過程中醫(yī)生的觀察角度及方便術(shù)前擺位要求等其他條件所確定，變化范圍不大，故此項約束不做研究。三個關(guān)節(jié)桿長與角度變化范圍決定了運動學(xué)性能、工作空間及關(guān)節(jié)內(nèi)部零件的安裝尺寸等，故以工作空間為約束，以三個桿長(a2，a3，a4)為設(shè)計變量。考慮到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的結(jié)構(gòu)相似，因此設(shè)置l0=a2=a3，l1=a4sinp1，限定桿長范圍為140≤l0≤260 mm，310≤l1≤400 mm。

為了更全面的研究手術(shù)機械臂的運動目標(biāo)性能，采用逐步求解的方法分析每個被動關(guān)節(jié)桿長對目標(biāo)性能的靈敏度。通過編寫M文件得到全域空間內(nèi)條件數(shù)均值與條件數(shù)波動值在變量約束范圍內(nèi)的分布，如圖9、10所示。

圖9 變量對條件數(shù)均值的影響Fig.9 The influence of variables on the mean condition number

圖10 變量對條件數(shù)波動值的影響Fig.10 Effect of variables on the fluctuation of conditional number

從以上仿真結(jié)果可以得到：在設(shè)計變量約束范圍內(nèi)，隨著桿長的變化，全域空間內(nèi)的條件數(shù)均值變化范圍為(4,9)，而條件數(shù)波動值變化范圍為(6,10)，兩者變化范圍在同一數(shù)量級?？紤]到這兩項指標(biāo)在優(yōu)化指標(biāo)中地位同等重要，將其進(jìn)行線性加權(quán)處理，權(quán)重因子分別取0.5，即k1=k2=0.5。

2.4 優(yōu)化算法和優(yōu)化結(jié)果

通過編寫M文件，分析設(shè)計變量對綜合目標(biāo)性能的靈敏度，如圖11所示。從仿真結(jié)果中可以看出綜合靈巧度指標(biāo)隨著桿3的長度增加呈現(xiàn)先遞減后遞增的趨勢；而隨著桿1長度的逐漸增大，目標(biāo)性能開始階段一直遞減，后半段變成一直遞增的趨勢。綜合靈巧度指標(biāo)隨桿長的變化趨向如圖12所示。

減小設(shè)計變量的變化梯度，得到設(shè)計變量對綜合靈巧度指標(biāo)的影響關(guān)系如圖13所示，從中選擇對應(yīng)最優(yōu)綜合靈巧度指標(biāo)的參數(shù)為最終的優(yōu)化桿長，得到l0=185 mm，l1=370 mm。利用優(yōu)化后的桿長參數(shù)分析遠(yuǎn)心點的工作空間和條件數(shù)的分布，相比于優(yōu)化前的結(jié)果，遠(yuǎn)心點的工作空間基本不變，全域空間內(nèi)的條件數(shù)分布更加平緩，綜合靈巧度指標(biāo)CDI提高了14.8%，全域條件數(shù)均值GCI降低了15.5%，全域條件數(shù)波動值GCIF減少了14.2%，如圖14、15所示。

3 結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化

首先對機械臂的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，對整個手術(shù)機械臂進(jìn)行靜力學(xué)分析、振動模態(tài)分析和關(guān)鍵零部件的疲勞分析，從而得到主要零件的強度分布及可優(yōu)化空間，機械臂靜力學(xué)應(yīng)力及形變云圖如圖16所示。

圖11 變量對綜合靈巧度指標(biāo)的影響Fig.11 The effect of variables on the comprehensive dexterity

圖12 單獨變量對綜合靈巧度指標(biāo)的影響Fig.12 The effect of individual variables on the comprehensive dexterity

圖13 變量對綜合靈巧度指標(biāo)CDI影響分布Fig.13 The distribution of design variable for CDI

從仿真結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，整個機構(gòu)應(yīng)力值較低且分布很不均勻，存在較大的材料冗余，需要對其優(yōu)化。

對整個機械臂來說，過渡關(guān)節(jié)不單要承受整個主動關(guān)節(jié)的重力以及力矩，還要承受手術(shù)過程中關(guān)節(jié)變化所帶來的交變載荷，所以將過渡關(guān)節(jié)作為關(guān)鍵零部件進(jìn)行分析。

圖14 優(yōu)化后遠(yuǎn)心點工作空間XY投影Fig.14 The XY plane projection of optimized workspace

圖15 優(yōu)化后全域空間條件數(shù)分布Fig.15 The optimized condition index on global workspace

圖16 機械臂應(yīng)力及形變云圖Fig.16 The nephogram of static stress and deformation

關(guān)鍵零件的分析結(jié)果如圖17所示，由分析結(jié)果可知，該過渡關(guān)節(jié)即使在加大載荷的情況下，疲勞壽命數(shù)量級也很大而且安全因子主要集中在轉(zhuǎn)軸的過渡變形部位，基本滿足手術(shù)要求。

根據(jù)最優(yōu)受力結(jié)構(gòu)對小臂進(jìn)行參數(shù)化建模，以最大應(yīng)力、變形和振動頻率為約束對其進(jìn)行輕量化設(shè)計，分析及優(yōu)化結(jié)果如圖18、19所示。

圖17 疲勞分析的安全系數(shù)分布Fig.17 The distribution of safety factor for fatigue analysis

圖18 優(yōu)化前后的一階固有頻率Fig.18 The nephogram of first-order modal

圖19 優(yōu)化后被動關(guān)節(jié)的應(yīng)力應(yīng)變云圖Fig.19 The nephogram of stress and strain for optimized joint

比較優(yōu)化前后的指標(biāo)可以得到：優(yōu)化后各項指標(biāo)有明顯的提升，優(yōu)化后被動關(guān)節(jié)質(zhì)量減少了21.9%，一階固有頻率減少26.9%，最大應(yīng)力減小了22%，如表2所示。

表2優(yōu)化前后指標(biāo)對比

Table2ThecontrastofeachIndexbeforeandafteroptimization

指標(biāo)質(zhì)量/kg一階頻率/Hz最大應(yīng)力/MPa優(yōu)化前1.469454.136.18優(yōu)化后1.147331.664.83比例/%21.926.922.0

4 結(jié)論

1) 借助于運動學(xué)雅可比矩陣的奇異值，構(gòu)造了基于全域空間的條件數(shù)均值和條件數(shù)波動值加權(quán)的綜合靈巧度評價指標(biāo)，并利用該指標(biāo)對機械臂桿長參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使優(yōu)化后的機械臂靈活性指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。

2) 基于靈巧度指標(biāo)得到的最優(yōu)參數(shù)，以質(zhì)量最小為目標(biāo)，以最大變形、最大應(yīng)力、一階固有頻率為約束，對被動關(guān)節(jié)進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，得到最優(yōu)的受力結(jié)構(gòu)及尺寸。

3) 優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后的手術(shù)機械臂具有良好的運動性能，且實現(xiàn)手術(shù)機械臂輕量化的設(shè)計要求，從而提高了機械臂的整體的運動性能。優(yōu)化后的機械臂很好地滿足了微創(chuàng)手術(shù)對機械臂機構(gòu)靈活性的要求。

基于靈巧度指標(biāo)對主動關(guān)節(jié)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化和加權(quán)系數(shù)的細(xì)分將是下一步的工作。

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