對(duì)于微分學(xué)，我們?cè)诟咧芯烷_(kāi)始接觸到導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，微分學(xué)同時(shí)也是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。其中微分中值定理是微分學(xué)中的重要定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。本文主要介紹這幾個(gè)主要的微分中值定理和洛必達(dá)法則，并加以證明。

微分中值定理概述

微分中值定理充當(dāng)了溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系紐帶，可以用來(lái)計(jì)算，判定和證明等。在應(yīng)用過(guò)程中比較靈活。但是微分中值定理同時(shí)存在理論性較強(qiáng)，內(nèi)容抽象等特點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)難于理解和應(yīng)用。微分中值定理，是研究函數(shù)的有力工具，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。

關(guān)于微分中值定理的證明

費(fèi)馬引理

在證明微分中值定理前，我們首先引進(jìn)費(fèi)馬引理，對(duì)于費(fèi)馬定理通過(guò)證明函數(shù)的每一個(gè)極值都是駐點(diǎn)（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)為零），該定理給出了一個(gè)求出可微函數(shù)的最大值和最小值的方法。

定義：函數(shù)f（x）在點(diǎn)ξ的某鄰域U（ξ）內(nèi)有定義，并且在ξ處可導(dǎo)，如果對(duì)于任意的x∈U（ξ），都有f（x）<=f（ξ）（或f（x）>=f（x）），那么f（ξ）=0。

證明：設(shè)f（x）在ξ處最大，故不論Δx是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，我們總會(huì)得到：

羅爾定理

定義：如果R上的函數(shù)f（x） 滿足以下條件：1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，3）f（a）=f（b），則至少存在一個(gè)ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。

證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，且f（a）=f（b）。所以存在最大值與最小值，不妨設(shè)為M與m，分兩種情況討論：

拉格朗日中值定理

拉格朗日的幾何意義在于：若連續(xù)曲線y=f（x）在A（a，f（a）），B（b，f（b））兩點(diǎn)間的每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點(diǎn)P（c，f（c）），使得該曲線在P點(diǎn)的切線與割線AB平行。

定義：設(shè)函數(shù)f（x）滿足條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)ε∈（a，b），使得f（b）- f（a）=f（ε）（b-a）

證明：已知f（x）在[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)：

證明洛必達(dá)法則

求極限是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，因此熟練掌握求極限的方法對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)具洛必達(dá)法則有重要的意義。洛必達(dá)法則主要是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算具有不定項(xiàng)式的極限。

結(jié)論

微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，這三個(gè)定理相互聯(lián)系。羅爾定理是朗格朗日中值定理和柯西中值定理的基礎(chǔ)，而拉格朗日中值定理和柯西中值定理是羅爾定理的延伸，另外三者在幾何意義上也相互聯(lián)系。三個(gè)定理作為溝通函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的橋梁，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中非常重要。

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（作者簡(jiǎn)介：龔睿，杭州市學(xué)軍中學(xué)。）endprint