江蘇省蘇州市吳中區(qū)藏書中學(xué) 顧米根

精心設(shè)計(jì)教案，有效形成概念
——淺談數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法

江蘇省蘇州市吳中區(qū)藏書中學(xué) 顧米根

數(shù)學(xué)是由概念與命題組成的邏輯體系。現(xiàn)代一些學(xué)者認(rèn)為“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，就是不斷地建立各種數(shù)學(xué)概念的過(guò)程?！彼?，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)的最基本因素，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體。正確理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提。下面結(jié)合本人教學(xué)實(shí)踐，和大家分享一下在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程中的一些做法和體會(huì)。

一、生活實(shí)際出發(fā)，引出概念

【案例1】數(shù)軸的概念。

一上課，我就問(wèn)學(xué)生：通過(guò)預(yù)習(xí)，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)什么是“數(shù)軸”？學(xué)生的回答大多不夠完整。

于是我拿出一根溫度計(jì)，將橫放的溫度計(jì)來(lái)類比數(shù)軸，讓學(xué)生觀察，歸納畫數(shù)軸的三要素。

學(xué)生由0℃聯(lián)想到數(shù)軸中的原點(diǎn)，由橫放的溫度計(jì)上的讀數(shù)左邊小、右邊大聯(lián)想到了數(shù)軸中的正方向，由溫度計(jì)上大小相等的每一格聯(lián)想到數(shù)軸中的單位長(zhǎng)度。

回顧了畫數(shù)軸的三要素以后，我又補(bǔ)充了一點(diǎn)：“數(shù)軸是一條直線”。

【點(diǎn)評(píng)】在本案例中，通過(guò)實(shí)物（溫度計(jì)）啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)來(lái)表示數(shù)，從而引出數(shù)軸的概念。這種形象的講述符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生容易理解，給學(xué)生留下的印象也比較深刻。這樣的例子很多，例如，在講“平行線”時(shí)，從“鐵軌、路燈的電線”談起；在講“三角形任意兩邊之和大于第三邊”時(shí)，從“抄近路”談起；在講“相似形”時(shí)，從“放大照片”談起等等。

二、抓住本質(zhì)特征，講清概念

用實(shí)例引入概念，無(wú)疑能加強(qiáng)學(xué)生的形象思維，但是如果僅注重實(shí)例，而不注意概念的本質(zhì)抽象，不強(qiáng)調(diào)概念的本質(zhì)特征，還不能真正講清概念。

【案例2】互為補(bǔ)角的概念。

學(xué)生易把180°的角叫補(bǔ)角，或把兩個(gè)和為180°的角中的一個(gè)叫作補(bǔ)角。因此，我在講解時(shí)講清其本質(zhì)特征是“兩個(gè)角”，“和為180°”，還強(qiáng)調(diào)“互為”的意思。

【案例3】直線、射線、線段的概念。

我在講解上述概念時(shí)，講清其本質(zhì)差異是“端點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，還強(qiáng)調(diào)“直線和射線的無(wú)限延伸”問(wèn)題。

【點(diǎn)評(píng)】本案例對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)垂線、角平分線、垂直平分線、射影等概念起關(guān)鍵作用，否則，學(xué)生容易混淆概念，造成科學(xué)性錯(cuò)誤。比如把“垂線段最短”敘述成“垂線最短”；把“線段的垂直平分線”說(shuō)成是“直線的垂直平分線”等。

三、從已學(xué)的概念，引新概念

數(shù)學(xué)概念要在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中不斷加深認(rèn)識(shí)，從數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系中來(lái)學(xué)習(xí)概念，可以深化對(duì)所學(xué)概念的認(rèn)識(shí)。

【案例4】二元一次方程的概念。

結(jié)合母親節(jié)即將到來(lái)的時(shí)間背景，我一上課就向?qū)W生拋出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“母親節(jié)即將來(lái)臨，小麗決定拿出自己的30元零花錢購(gòu)買一束康乃馨，向母親送上節(jié)日的祝福。這束康乃馨由紅色和粉紅色兩種顏色組成。已知紅色康乃馨2元一枝，粉紅色康乃馨1.5元一枝，那么這束康乃馨可以由幾枝紅花，幾枝粉紅色的花組成？”

面對(duì)這樣一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生有些無(wú)所適從，無(wú)法明確解題的方向。于是，我引導(dǎo)學(xué)生設(shè)這束康乃馨中有x枝紅花，y枝粉紅色的花，通過(guò)引入兩個(gè)未知數(shù)，并列方程進(jìn)行求解，學(xué)生很快就列出了關(guān)于x和y的方程：2x+1.5y=30。

接下來(lái)，我請(qǐng)學(xué)生判斷這個(gè)方程是不是一元一次方程，然后，我讓學(xué)生比較一元一次方程和這個(gè)方程的特征，歸納出兩種方程的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而得出二元一次方程的概念。

【點(diǎn)評(píng)】本案例中，通過(guò)比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩種方程都是一次方程，區(qū)別在于未知數(shù)的個(gè)數(shù)不同，從而幫助學(xué)生在一元一次方程的概念的基礎(chǔ)上建立二元一次方程這一新概念。

四、數(shù)學(xué)史的發(fā)展，引入概念

【案例5】有理數(shù)的概念。

我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生一起回顧了數(shù)的概念的發(fā)展歷程：

人類是動(dòng)物進(jìn)化的產(chǎn)物，最初沒有數(shù)量的概念。在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐步產(chǎn)生了數(shù)的概念。例如，捕獲了一頭野獸，就用一塊石頭代表，也有用繩子打結(jié)來(lái)記數(shù)，還有的用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上記數(shù)。這些方法用得多了，就逐步形成了數(shù)的概念和記數(shù)的符號(hào)。

數(shù)的概念最初是從1,2,3,4，…這樣的正整數(shù)開始的，只是記數(shù)的符號(hào)不相同。但“零”的出現(xiàn)稍晚，不過(guò)當(dāng)時(shí)“零”不表示“空無(wú)所有”，而是表示“零碎”的意思。例如，“一百零一”的意思是：在一百以外，還有一個(gè)零頭一。隨著阿拉伯?dāng)?shù)字的引進(jìn)，“零”字與“0”對(duì)應(yīng)，有了“0”的含義，記數(shù)時(shí)表示一個(gè)也沒有。

隨著社會(huì)的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)了許多具有相反意義的量。例如，增加與減少、前進(jìn)與后退、上升與下降等，這樣又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，如：零下5攝氏度，記為-5℃。正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

后來(lái)，隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅用整數(shù)表示是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。如果分配獵物時(shí)，5個(gè)人分4種東西，每個(gè)人該得多少？于是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生了。整數(shù)再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)就統(tǒng)稱為有理數(shù)。

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)數(shù)學(xué)史的介紹，幫助學(xué)生了解每一次數(shù)的概念的擴(kuò)充的背景知識(shí)，使學(xué)生對(duì)于數(shù)的分類有一種感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到“生活中處處有數(shù)學(xué)”，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

【案例6】實(shí)數(shù)的概念。

通過(guò)拼圖操作得到面積為2的正方形，進(jìn)一步探究這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)有理數(shù)“不夠用”，從而引入無(wú)理數(shù)。

在講解無(wú)理數(shù)的概念時(shí)，我講述了古希臘數(shù)學(xué)家希帕斯發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的故事。而無(wú)理數(shù)與希帕斯所在的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“世間萬(wàn)物皆數(shù)。這些數(shù)不是整數(shù)，就是整數(shù)之比”的理論相矛盾，為此，希帕斯獻(xiàn)出了自己的生命。

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的運(yùn)算問(wèn)題，幫助學(xué)生理解每一次數(shù)的概念的擴(kuò)充的意義。通過(guò)數(shù)學(xué)史的介紹，幫助學(xué)生了解無(wú)理數(shù)概念的來(lái)龍去脈，使學(xué)生體會(huì)人類理性思維和科學(xué)精神的偉大勝利，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

五、采用變式圖形，理解概念

【案例7】鈍角三角形的高的概念。

在講授鈍角三角形的高時(shí)，我先照課本上（圖1）的圖形講，接著變化為圖2、圖3的圖形。三角形位置一變，不少學(xué)生就不會(huì)作鈍角三角形的高了。

圖1

圖2

圖3

【案例8】直角三角形、等腰三角形的概念。

我在講直角三角形、等腰三角形時(shí)，先按標(biāo)準(zhǔn)圖形講（圖4），接著變化為圖5、圖6的圖形講。

圖4

圖5

圖6

【點(diǎn)評(píng)】 采用變式圖形教學(xué)，不但能使學(xué)生更好地理解概念，而且使學(xué)生容易找到圖形的本質(zhì)特征。只用標(biāo)準(zhǔn)圖形教學(xué)，情況正好相反。強(qiáng)調(diào)變式圖形教學(xué)，并不是說(shuō)可以放松標(biāo)準(zhǔn)圖形的教學(xué)。恰恰相反，標(biāo)準(zhǔn)圖形是變式圖形的基礎(chǔ)，我們應(yīng)當(dāng)在教好標(biāo)準(zhǔn)圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式。

例如，同位角的標(biāo)準(zhǔn)圖形應(yīng)該是圖7，而不是圖8，圖8只不過(guò)是一種特殊情況。在講同位角的概念時(shí)，首先要教好標(biāo)準(zhǔn)圖形，不能用特殊圖形來(lái)代替一般圖形，更不能用特殊圖形的性質(zhì)代替一般圖形的性質(zhì)。如果教師稍有疏忽，就會(huì)使學(xué)生造成“同位角相等”的錯(cuò)覺。事實(shí)上，即使我們照?qǐng)D7的情況來(lái)講，在今后教到平行線的性質(zhì)和判定后仍會(huì)出現(xiàn)知識(shí)的負(fù)遷移，仍有不少學(xué)生腦子里的同位角僅是圖8中的∠1和∠2。教師在教學(xué)中要充分注意這種心理現(xiàn)象，努力抑制或避免負(fù)遷移。在講每一個(gè)新概念時(shí)，都應(yīng)注意新舊概念之間的比較；在變式時(shí)，一定要注意保留概念的本質(zhì)屬性，變化非本質(zhì)屬性。

圖7

圖8

概念是進(jìn)行正確思維的前提和依據(jù)。概念教學(xué)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)起著至關(guān)重要的作用。教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中尤其要精心設(shè)計(jì)概念的引入環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生有效地形成概念，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維能力，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。