■山東省東營市第一中學(xué) 謝宇琪

歸納概率統(tǒng)計、簡易邏輯、計數(shù)原理、算法語言、復(fù)數(shù)中創(chuàng)新題的解法

■山東省東營市第一中學(xué) 謝宇琪

編者的話：“創(chuàng)新題追根溯源”欄目里的例、習(xí)題都非常新穎,有的是原創(chuàng)題,有的是改編題,每一道題都非常注重多解多變。當(dāng)然,在注重數(shù)學(xué)閱讀的高考大背景下,同學(xué)們還要把握核心考點,擴大知識視野,用扎實的基本功應(yīng)對數(shù)學(xué)試題的萬千變化。

數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新題型的特點是:通過給出一個新概念,或約定一種新運算,或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識和方法,實現(xiàn)信息的遷移,達到靈活解題的目的。

例1 為了確保信息安全,信息需要加密后再傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則如圖1所示。例如:明文(1,2,3,4)對應(yīng)的密文是(5,7,1 8,1 6)。則當(dāng)接收方收到密文(1 4,9,2 3,2 8)時,解密得到的明文是( )。

A.(4,6,1,7)

B.(7,6,1,4)

C.(6,4,1,7)

D.(1,6,4,7)

圖1

點評:本題以信息需要加密后再傳輸為背景,考查程序框圖、順序結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)是完成一個步驟,再進行另一個步驟,即按順序完成一組工作。

例2 在三位正整數(shù)中,若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字,則該數(shù)為“駝峰數(shù)”。比如“1 0 2”“5 4 6”為“駝峰數(shù)”,由數(shù)字1,2,3,4,5這五個數(shù)字構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為____。

點評:本題通過新定義的“駝峰數(shù)”考查排列組合知識,考查有條件的排列問題。要搞清組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系:組合與順序無關(guān),排列與順序有關(guān);排列可以分成先選取(組合)后排列兩個步驟進行。

例3 一個三位自然數(shù)的百位,十位,個位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b

解析：由1,2,3組成的三位自然數(shù)為1 2 3,1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1,共6個;同理,由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個;由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個;由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個。所以共有6+6+6+6=2 4(個)。

當(dāng)b=1時,有2 1 4,2 1 3,3 1 4,4 1 2,3 1 2,4 1 3,共6個“凹數(shù)”。

當(dāng)b=2時,有3 2 4,4 2 3,共2個“凹數(shù)”。

點評:本題通過新定義的“凹數(shù)”對古典概型知識進行考查,求基本事件的常用方法:①列舉法,適合于較簡單的試驗;②樹狀圖法,適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求。另外在確定基本事件時,(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)與(2,1)不同;有時也可以看成是無序的,如(1,2)與(2,1)相同。

例4 用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+a b表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球,而“a b”表示把紅球和藍球都取出來。以此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法是( )。

解析：從5個無區(qū)別的紅球中取出若干個球,可以1個球都不取,或取1個、2個、3個、4個、5個球,共6種情況,則其所有取法為1+a+a2+a3+a4+a5;從5個無區(qū)別的藍球中取出若干個球,由所有藍球都取出或都不取出,得其所有取法為1+b5;從5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,可以1個球都不取,或取1個、2個、3個、4個、5個球,共6種情況。則其所有取法為根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得適合要求的所有取法是(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5。故選A。

點評:本題以摸球游戲為背景,考查分步計數(shù)原理和歸納推理,合理地利用題目中所給的實例,遵循其規(guī)律,即可解決問題。

點評:通過題目引入新符號,定義運算法則,把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識再求解,這個新的運算法則不能用于其他問題的求解。

跟蹤練習(xí)：

1.一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為( )。

解析：由已知條件可知,蜜蜂只能在一個棱長為1的小正方體內(nèi)飛行,結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為故選C。

2.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B為集合M的非空子集,若?x∈A,y∈B,x

解析：A=1{}時,B有23-1種情況;

A=2{}時,B有22-1種情況;

A=3{}時,B有1種情況;

A=1,2{}時,B有22-1種情況;

A=1,3{},2,3{},1,2,3{ }時,B均有1種情況。

故滿足題意的“子集對”共有7+3+1+3+3=1 7(個)。

3.如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”。在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是( )。

A.4 8 B.1 8 C.2 4 D.3 6

解析：(分類討論)第1類,對于每一條棱,都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有2×1 2=2 4(個);

第2類,對于每一條面對角線,都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有1 2個。

所以正方體中“正交線面對”共有3 6個。

(責(zé)任編輯 王福華)