■河南省南陽市第一中學(xué) 鄭書芬

復(fù)數(shù)知識結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省南陽市第一中學(xué) 鄭書芬

一、知識結(jié)構(gòu)

二、結(jié)構(gòu)分析

復(fù)數(shù)內(nèi)容在高考中一般會以選擇題的形式單獨命題,重點是代數(shù)運算,屬于容易題。高考考綱要求:(1)理解復(fù)數(shù)的概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件;(2)了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義;(3)能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算,了解兩個具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義。復(fù)習(xí)時重視“化虛為實”的思想方法,切忌盲目拔高要求。

三、典例分析

題型一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

方法規(guī)律：(1)復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部和虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時,需把所給的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可。(2)求復(fù)數(shù)模的常規(guī)思路是利用復(fù)數(shù)的有關(guān)運算先求出復(fù)數(shù)z,然后利用復(fù)數(shù)模的定義求解。

題型二：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算

例2 已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若(1+i)(1-bi)=a,則

答案解析：因為(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,所以

方法規(guī)律：復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式的運算,除法關(guān)鍵是分式的分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),注意要把i的冪寫成最簡形式。

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

例3 設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,已知z1=2+i,則z1z2=( )。

A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i

答案解析：因為z1=2+i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(2,1),又z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,則z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-2,1),即z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5。

易錯防范：(1)判定復(fù)數(shù)是實數(shù)時,僅注重虛部等于0是不夠的,還需考慮它的實部是否有意義。(2)兩個虛數(shù)不能比較大小。(3)利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時,應(yīng)注意a,b,c,d∈R的前提條件。(4)注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來。例如,若z1,z2∈C,就不能推出z1=z2=0;z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)