陳 波

（浙江省寧波市鄞江中學(xué)，浙江寧波 315100）

引 言

高中學(xué)習(xí)知識(shí)和以前學(xué)習(xí)的知識(shí)有所差別，在以前的基礎(chǔ)上上了很大的一個(gè)臺(tái)階，這尤其體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)上，其中復(fù)雜的解題思路更是成了數(shù)學(xué)中的難題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)換元思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)解題方法。函數(shù)換元就是將復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)或復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行替換，通過替換轉(zhuǎn)換了一種思想，一種解題思路，從而讓學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，只要巧用一些數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)會(huì)變得簡單些。

一、以形助數(shù)，聯(lián)結(jié)數(shù)與式

一直以來，數(shù)形互變就是所有老師最為提倡的一種解題方法，這種方法在高中數(shù)學(xué)中更是體現(xiàn)得淋漓盡致。教師應(yīng)該采取適當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)計(jì)課程，寓數(shù)于形，以形于數(shù)來幫助學(xué)生解決抽象的數(shù)學(xué)問題，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，將高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到極致。

1.轉(zhuǎn)化斜率，求最值

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。在解題的時(shí)候，如何運(yùn)用圖形來更快更準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)題，是好多學(xué)生不能感受到的解題思路。

為了讓學(xué)生能深刻地體會(huì)與掌握數(shù)形結(jié)合這種數(shù)學(xué)思路，我設(shè)計(jì)了這樣的課程。例如，已知：圖1有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q坐標(biāo)分別為P（-1，1），Q（2，2）。若直線l∶x+my+m=0與有向線段PQ延長相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。在求解這道題的時(shí)候直線l的方程x+my+m=0可化為點(diǎn)斜式：y+1=-1/m（x-0），易知直線l過定點(diǎn)M（0，-1），且斜率為-1/m。

因?yàn)椋簂與PQ的延長線相交，由數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)過M且與PQ平行時(shí)，直線l的斜率趨近于最小；當(dāng)過點(diǎn)M、Q時(shí)，直線l的斜率趨近于最大。在給同學(xué)們講解題方法的時(shí)候，比如說上面的例子，可以巧妙地根據(jù)題目已知條件，常常可以根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思路，轉(zhuǎn)化為求解斜率的問題，有效地把復(fù)雜問題進(jìn)行簡單化，將抽象的問題進(jìn)行具體化，在解決高中生數(shù)學(xué)題的時(shí)候具有較為重要的指導(dǎo)意義。

圖1

2.構(gòu)造函數(shù)，解方程

同學(xué)們在解一些高中函數(shù)題目的時(shí)候，常常可以根據(jù)題目已知條件結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，畫出題目所給的函數(shù)的圖像，然后將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程或者方程組，通過構(gòu)造函數(shù)解方程或方程組。

比如在給同學(xué)們講解這道題的時(shí)候，題目是：若關(guān)于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三個(gè)整數(shù)解，則a的值是[ ]首先我讓同學(xué)們畫了圖像如圖2所示：

其中：方程｜｜x-2｜-1｜=a的解是函數(shù)y=｜｜x-2｜-1｜的圖像與y=a的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以原方程有三個(gè)整數(shù)解的條件，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=｜｜x-2｜-1｜的圖像與y=a的圖像有三個(gè)公共點(diǎn)。作y=｜｜x-2｜-1｜的圖像。因?yàn)閥=a的圖像是平行于x軸的直線，從圖像知，當(dāng)y=a的圖像過點(diǎn)(0，1)時(shí)，兩圖像才有三個(gè)交點(diǎn)(其橫坐標(biāo)是整數(shù))，此時(shí)a=1。

構(gòu)造函數(shù)或者構(gòu)造方程，結(jié)合圖像可以很輕松地解決掉數(shù)學(xué)問題中的一些疑難雜癥，比如說在所給問題中本質(zhì)上是關(guān)于學(xué)過的函數(shù)問題，或者是學(xué)過的方程，可以考慮構(gòu)造輔助函數(shù)和方程，使得問題得以解決。

圖2

二、以數(shù)輔形，解決幾何題

在數(shù)學(xué)這門科學(xué)中，數(shù)學(xué)理論形式可以通過一定的圖形將數(shù)學(xué)理論展現(xiàn)出來，從而將有些數(shù)學(xué)問題簡單化。同樣的，有時(shí)將圖形數(shù)字化也會(huì)起到簡化數(shù)學(xué)的作用，將圖形從形象化到數(shù)據(jù)的定量分析，會(huì)在解決實(shí)際問題起到事半功倍的效果。

1.分析數(shù)據(jù)，證中有算

高中數(shù)學(xué)，無疑在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上上了一個(gè)臺(tái)階，這使許多學(xué)生立馬感到學(xué)習(xí)的難度，遇到圖形題時(shí)更是無從下手。這時(shí)，以形變數(shù)，將圖形問題定量化分析，會(huì)使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不那么困難。

比如我就此觀點(diǎn)設(shè)計(jì)了這樣一道例題，讓學(xué)生深深地體會(huì)到以形變數(shù)的重要性。f(m)=m2-2nm+2，條件當(dāng)m在[-1，+∞]，f(m)＞n恒成立，求n的取值范圍。通過分析可以發(fā)現(xiàn)f(m)＞n恒成立，即可以寫成m2-2nm+2-n＞0恒成立。令g(m)=m2-2nm+2-n，此時(shí)畫出g(m)的圖形在m在[-1，+∞]的情況下都是大于0都在x軸的上方。此時(shí)，運(yùn)用圖形顯然不能解決這道題，于是換個(gè)角度講，如此時(shí)利用判別式這個(gè)數(shù)學(xué)方法來做，問題就迎刃而解了。通過這題的解答可以看出，雖然圖形可以直觀地展示出來，讓我們直觀地看出來，但對于一些涉及量化的知識(shí)圖形就做不到了，此時(shí)借助一些特有的數(shù)字公式或結(jié)論，會(huì)使問題變得無比簡單。

2.建坐標(biāo)系，測量距離

在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)。它具有重大的研究意義，主要在于使數(shù)學(xué)的基本研究對象：數(shù)和形得到統(tǒng)一。所以利用坐標(biāo)系集合數(shù)形結(jié)合的思想，既可以用運(yùn)算這種處理數(shù)的方法，方便地處理圖形，也可以用圖形的特性，直觀地解釋函數(shù)的性質(zhì)，所以說，坐標(biāo)系是數(shù)形結(jié)合的利器。

比如說在講解關(guān)于空間直角坐標(biāo)系這道題的時(shí)候，如果直接給學(xué)生講解答案，他們可能會(huì)一下子反應(yīng)不過來，但如果以圖形作為載體，在圖形上直觀地表現(xiàn)出已知條件以及盡可能地畫出所要求的答案，同學(xué)們就可以很容易地理解了。這道選擇題是這樣的：以棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA4所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AA1B1B對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）。

A．（0，0．5，0．5） B．（0．5，0，0．5）

B．（0．5，0．5，0） D．（0．5，0．5，0．5）

在給同學(xué)們講解的時(shí)候，我首先指導(dǎo)同學(xué)們畫出由已知條件所給的空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)所要求的，先將答案在圖上標(biāo)出來，所畫的圖形如圖3所示。

由這個(gè)圖形可以很直觀地看出平面AA1B1B對角線交點(diǎn)是橫坐標(biāo)為AB的中點(diǎn)值，豎

坐標(biāo)為AA1的中點(diǎn)值，縱坐標(biāo)為0，所以平面AA1B1B對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0．5，0，0．5）。故選 B。

“數(shù)形轉(zhuǎn)換”就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立又統(tǒng)一的特征，通過觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。從而更好地應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中的一種方法。

圖3

三、數(shù)形串聯(lián)，突出綜合性

以數(shù)化形是數(shù)學(xué)解題中最常用的一種方法，學(xué)生在理解那些抽象性比較高的數(shù)量關(guān)系時(shí)可能有一定的難度，無法形成深刻的理解和認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)效果不理想。此時(shí)若引入“形”這一解題思路，通過直觀的圖形將數(shù)學(xué)難題展現(xiàn)出來，那么學(xué)生學(xué)習(xí)就不再感到有壓力了。

1.深度觀察，尋找互變條件

作為數(shù)學(xué)一種較為重要的思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性；或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系。

在數(shù)學(xué)解題中，遇到難的數(shù)字化太強(qiáng)的題目，無從下手時(shí)，不妨試著換個(gè)思路，將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，說不定就柳暗花明了。“以數(shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。

2.梳理關(guān)系，明晰解題缺口

數(shù)形結(jié)合，可以深度梳理題目中的相關(guān)關(guān)系，準(zhǔn)確地抓住題目的解題缺口，比如：從一些題目的解題過程可以看出，有時(shí)候綜合使用“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，理解數(shù)形轉(zhuǎn)換的實(shí)質(zhì)，遇到實(shí)際問題從數(shù)形轉(zhuǎn)換著手，就一定在有限的時(shí)間解出問題。

例如在給同學(xué)們講解下面這道例題的時(shí)候，就運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形深度梳理題目中的已知條件，將已知與未知聯(lián)系起來。這道題是這樣的：已知點(diǎn)(3，5)M，在y軸和直線y，x上分別找一點(diǎn)P和N，使得MNP△的周長最小。

我給同學(xué)們在講解這道題目前的時(shí)候，畫了直角坐標(biāo)系，將已知條件和未知條件都盡可能用圖形表示出來，圖形如圖4所示。在圖像上，作點(diǎn)(3，5)M，關(guān)于y軸和直線y=x的對稱點(diǎn) 12M1M2，則點(diǎn) 12 M1M2的坐標(biāo)分別為 (-3，5)，（5，3）。

圖4

根據(jù)已知條件，可以整理式子得：x+4y-17=0，即是直線M1M2的方程，它與y軸和直線y=x的交點(diǎn)分別可以得到（0，17/4），(17/5，17/5)，即可以得到△MNP周長最小的點(diǎn)P和N的坐標(biāo)分別為（0，17/4），（17/5，17/5）。

這道題，主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想，梳理了題目中的已知條件，并且利用“對稱關(guān)系”，幾種思想相互結(jié)合，明確這道題到底在考什么，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，巧妙地解開了問題。

結(jié) 語

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)解題中起到了至關(guān)重要的作用，學(xué)生靈活地使用它可以將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)生動(dòng)、形象地展示出來，從而降低了學(xué)生理解數(shù)學(xué)題的難度，拓展了學(xué)生的思維，也提升了學(xué)生的解題能力。因此，教師在教學(xué)中，要積極合理地引入數(shù)形結(jié)合思想，積極培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)發(fā)散性思維，讓數(shù)形結(jié)合在教育道路上越走越遠(yuǎn)！

[1] 徐先榮．談初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略[J]．考試周刊，2007(04)．

[2] 冉正偉．淺談在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想[J]．科學(xué)咨詢，2012(06)．

[3] 楊云美．?dāng)?shù)形結(jié)合的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略及實(shí)現(xiàn)[J]．語數(shù)外學(xué)習(xí)，2013(07)．

[4] 張福慶．例談高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題法教學(xué)的有效策略[J]．高中數(shù)理化，2013(16)．