李小軍

【摘要】線段和角是中學幾何學習中非常重要的知識點，也是中考的必考點.本文通過介紹兩道數(shù)學題的解題思路，發(fā)現(xiàn)線段、角此類題共通性問題，以便學生掌握線段和角的相關問題的設計與解決方法.

【關鍵詞】線段;角;共通性

在幫助學生處理線段、角的相關練習時，有一道題目引起了我的濃厚興趣.它是這樣描述的：已知線段AB=m，點C是AB上的一點，點D，E分別是AB和BC的中點，求兩中點之間的長度.乍看起來沒什么特別的，就是一個不相干的數(shù)學問題，沒什么價值.認真琢磨琢磨，發(fā)現(xiàn)原來別有洞天.

這道習題的解題過程如下：

解題過程：

解因為點D，E分別是線段AC，BC的中點，

所以DC=1/2AC，CE=1/2BC.

又因為DE=DC+CE，

所以DE=1/2AC+1/2BC=1/2（AC+CB）=1/2AB.

又因為AB=m，所以DE=1/2m.

通過此題發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象——它在問題設計和解題過程上存在一定的共通性.

線段、角的很多問題是不是都具有共通性呢？經過搜集、整理、對比相關資料后發(fā)現(xiàn)，線段、角的問題中至少在以下幾個方面具有共通性.

一、數(shù)線段、數(shù)角的個數(shù)相關問題具有共通性

例如，數(shù)線段的問題：已知2個端點，可以得到一條線段，3個點則可以得到3條線段，4個點則可以得到6條線段，5個點則可以得到_____條線段，n點則可以得到_____條線段.（5個點可以得到10條線段，n個點則可以得到n（n-1）2條線段）

與之對應的數(shù)角的問題：從一個點引出2條射線，可以得到1個角，引出3條射線，可以得到3個角，引出4條射線，可以得到6個角，引出5條射線可以得到個角，引出n條射線則可以得到個角.（5條射線可以得到10個角，n條射線可以得到n（n-1）2個角）

二、線段的和差、角的和差問題具有共通性

在線段的問題中經常要求某條線段的長度，我們通?？梢詭讞l線段之間的加減運算得到，而角呢，也會涉及求某個角的度數(shù)，也是通過幾個角之間的加減運算得到.

例如，線段的問題：如圖所示，已知AB=12，點C是AB上的一點，點D是AC的中點，且DC=4，求線段BC的長.

與之對應的角的問題：

如圖所示，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB內部的一條射線，OD平分∠AOC，且∠DOC=40°，求∠BOC的度數(shù).

有一個線段的和差問題，就應當有一個與之對應的角的和差問題.

三、動點、動線問題具有共通性

線段的問題中，有一類叫作動點問題，而角的問題中也有動線問題，它們也存在共通性.

例如，線段的問題：已知線段AB=12，在線段AB上有一動點P，點P從A向B以每秒2個單位的速度做勻速運動，P點出發(fā)多少秒后，線段AP=12AB？

與之對應的角的問題：

已知∠AOB=120°，射線OP從OA開始出發(fā)，繞點O向OB邊以每秒20°的速度，做勻速旋轉，試問多少秒后，∠AOP=12∠AOB？

再如，線段的問題：直線上有A，B兩動點，A，B在某一時刻相距12 cm，已知點A、點B分別以1 cm/s，2 cm/s的速度做勻速運動.請解決以下問題：（1）若A，B兩點相向而行，則多少秒后，兩點相距8 cm？（2）若A，B同向而行，則多少秒后兩點相距8 cm？

對應的角的問題如下：

射線OA，OB是繞O點做勻速旋轉的射線，在某一時刻，OA，OB的夾角為120°，已知OA，OB的速度分別為10°/s，20°/s.請解決以下問題：（1）若OA，OB相向旋轉，多少秒后夾角為80°？（2）若OA在前，OA，OB做同向旋轉一周，則多少秒后夾角為80°？

綜上所述，線段與角的問題中有著諸多的共通性，我們在設計和解決此類問題時，可以利用這一特點來幫助我們用“此”思路或方法解決“彼”的問題.

【參考文獻】

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