遼寧撫順市四方高級中學(113122) 孟慶杰

數(shù)學老師和他的學生

遼寧撫順市四方高級中學(113122) 孟慶杰

一、數(shù)學老師教會學生的方案

1.學生眼中的數(shù)學老師

學生眼中的數(shù)學老師非?！皞ゴ蟆?因為好像他什么都會.講課時常說:這個問題很容易,因為…,所以…就解決了.有時我們還沒弄清題設(shè)和結(jié)論,老師就解答完了(其實老師有多年經(jīng)驗,這個問題可能講過多次,而且課前已經(jīng)備過,再有老師常用綜合法…).上課提問時常說:提問一個簡單的問題或提問一個你能會的問題.有時老師提問的我們很多都不會,甚至不知道老師問什么(其實這個問題可能是老師備課時設(shè)計好的非常熟悉).我們問老師問題時,老師常說:這個題都不會?這個題不是我剛講過嗎?我們問就是不會,老師講過的題有許多我們都不會(其實老師不了解你們).考數(shù)學時,我們要是數(shù)學老師就好了(其實老師不比你們聰明,只是老師對數(shù)學概念公式等理解深刻,數(shù)學題比你們做得多).總之,對待數(shù)學問題老師的眼神好像是小學算數(shù)1+2,而我們好像是數(shù)學家陳景潤研究的1+2.

2.數(shù)學老師眼中的學生

數(shù)學老師眼中的學生好像很“渺小”,因為好像他們什么都不會.講課時感到:這個定義講了多遍他們還是不理解…(其實這個定義老師講過多年,而學生是一張白紙).上課提問時:怎么啟發(fā)他們都不會…(其實問題是老師備課時設(shè)計好的,而學生無準備或前面的沒聽懂后面的也不會).學生問的問題:就是公式的直接應(yīng)用或簡單變形應(yīng)用,他們都不會…(其實老師對公式的正用、逆用和變形用非常熟悉,而學生剛學公式,有時對公式中字母的含義都不清楚).每個數(shù)學老師都希望他的學生:一講就會,一問就答會,一算就對,一考就滿分…,要想達到這種效果,老師必須了解學生的認知水平,不斷的研究探索適合學生學習數(shù)學的教學法.

3.數(shù)學老師教會學生的方案

(1)備課

①備基礎(chǔ)再現(xiàn),即找出本節(jié)涉及到的學過的基礎(chǔ)知識或可能影響新知識學習的學過的知識.

②考慮學生的認知水平,把課備到熟時似生的境界.

大數(shù)學家希爾伯特的老師富克斯,在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推,常把自己置于危險的境地,然后再走出來,這使他的學生“得到一個機會,瞧一瞧最高超的數(shù)學思維的實際過程”.如果數(shù)學老師能考慮學生的認知水平,適當?shù)挠袦蕚涞膶W生看不出來的設(shè)計一條或兩條錯路(或?qū)W生可能走錯的路),然后再走回正路(有可能是學生發(fā)現(xiàn)了錯路讓你走回來,這是最好的,達到了預(yù)期效果.),把思考問題的全過程展現(xiàn)給學生看,那么你的學生不僅學會解題,更重要的是學會分析和思考問題的方法.因此備課不在于把教材背熟,而在于設(shè)法讓學生看到數(shù)學思維的全過程.備課很熟(老師教起來容易,學生聽起來高高在上,與學生的認知水平銜接不上)不是最好目標,備課備到熟時似生才是最高境界.這個“生”是“熟”的基礎(chǔ)上的“生”,即對所教內(nèi)容好像第一次接觸一樣有新奇感(這可以感染學生)、有一個從未知到已知的過程(這是學生需要的)、有一種逐步獲取知識的體驗(這與學生認知水平接近,學生容易學到知識).

③精選漸近反復(fù)試題,試題以教材為主課外為輔.

“反復(fù)”就是學過定義解題,會解題后總結(jié)由定義能解決什么問題,這是第一次反復(fù)(一般是定義的直接應(yīng)用,學生模仿老師可以解決).總結(jié)好解題方法后再做題,會做題后再總結(jié)由定義能解決什么問題,這是第二次反復(fù)(一般是定義的逆用和變形用,課堂上讓學生研討交流可以完成).每一次反復(fù)都是螺旋式提高,所以叫“漸近”.第三次反復(fù)是課后作業(yè),用課堂總結(jié)的方法,獨立完成老師精選的試題;完成作業(yè)后必須總結(jié)由定義能解決什么問題,或什么問題可以用定義解決,將總結(jié)的方法寫在作業(yè)本上一起上交,老師將選擇較好的方法在班級固定位置展示(這是定義正用、逆用和變形用的綜合).一節(jié)課完成了兩個反復(fù),加上作業(yè)完成三個反復(fù)(這是數(shù)學初級),這足可以學會本節(jié)知識.而數(shù)學老師已經(jīng)達到了四個反復(fù)(定義深層次的內(nèi)涵及綜合,這是數(shù)學中級)或五個反復(fù)(定義的外延及綜合,這是數(shù)學高級)或更多的反復(fù).

④考慮一下講課或提問時的語氣、語調(diào)及學生愛聽或聽起來舒服的數(shù)學語言.

(2)基礎(chǔ)再現(xiàn)

法國生物學家貝爾納說過:妨礙學習的最大障礙,并不是未知的東西,而是已知的東西.基礎(chǔ)再現(xiàn)的目的就是掃清學習新知識的障礙.把本節(jié)涉及到的學過的知識,以試題的形式在上課的前一天發(fā)給學生,要求必須完成,這不僅能掃清學習障礙,還能讓學生學會學習方法.

(3)上課

①講課時老師多用分析法,少用綜合法.適當?shù)陌丛O(shè)計好的走一條或兩條錯路,再走回來,讓學生看到數(shù)學思維的全過程.

②講完定義,老師按定義做題,然后學生模仿開始漸近反復(fù)訓練.

③老師講課提問注意教學語言.

(4)課后作業(yè)即第三次反復(fù).

二、具體實施教會學生的方案

以高中數(shù)學人教B版數(shù)學選修2-1“2.2.1橢圓的標準方程”為例,具體說明教會學生的方案.

1.備課

除常規(guī)備課外,重點放在(1)找出橢圓一節(jié)的基礎(chǔ)再現(xiàn);(2)精心設(shè)計兩條錯路,讓學生看到數(shù)學思維的過程.有準備的走錯路和不知路線走錯路,在感覺、語言、表情等方面是有很大區(qū)別的.如果讓學生看不出來,好像就是第一次接觸,那就是教學藝術(shù);(3)備好漸近反復(fù)試題;(4)想好教學語言.

2.基礎(chǔ)再現(xiàn)

這些問題你還會嗎?老師相信你能完成下列問題:

(1)求動點M的軌跡方程的一般步驟是____;

(2)已知點A(a,?b)和B(x,y),則|AB|=____;

(6)你還記得待定系數(shù)法嗎?請用你自己的語言敘述___.

3.上課

推導(dǎo)完橢圓標準方程后,進行第一次反復(fù)訓練.老師示范解如下問題:

例1.求適合下列條件的橢圓的標準方程:

例2.求下列方程表示的橢圓的焦點坐標:

學生模仿解如下問題:

(1)求適合下列條件的橢圓的標準方程:

①焦點坐標為(?5,0)和(5,0),橢圓上一點與兩焦點的距離的和是26;

(2)求下列方程表示的橢圓的焦點坐標:

做完上述試題后,學生按下列提綱總結(jié)并且寫在筆記本上:

(1)什么條件下可以求得橢圓的標準方程(包括坐標系);

(2)如何判斷橢圓的焦點在哪個軸上;

(3)已知橢圓標準方程你能知道什么?給學生機會展示總結(jié)成果,經(jīng)過研討、補充得到較完整的解題方法及經(jīng)驗.

再給出如下問題,讓學生思考、討論、交流等解決,進行第二次反復(fù)訓練.

(1)已知橢圓方程2x2+4y2=t(t＞0),求橢圓的焦點坐標及橢圓標準方程中的a、b、c;

(2)設(shè)M是橢圓9x2+25y2=225上一點,F1,F2是橢圓的焦點.如果點M與焦點F1的距離為4,則點M與焦點F2的距離是___;

(3)已知橢圓的一個焦點為F1(0,?3),作一個三角形,使它的一個頂點為焦點F1,另兩個頂點D、E在橢圓上且邊DE過焦點F2.如果三角形的周長是16,求橢圓的標準方程;

(4)已知B、C是兩個定點,|BC|=8,且△ABC的周長等于18,試判斷三角形頂點A的軌跡,若軌跡是橢圓,求出橢圓的標準方程.

探討解決上述試題后,學生按下列提綱總結(jié)并且寫在筆記本上:

(1)已知橢圓標準方程你能解決什么問題?

(2)求橢圓標準方程需要幾個獨立的條件?你能舉幾個實例嗎?

(3)什么條件下動點的軌跡可能是橢圓?

(4)舉例說明橢圓定義的作用.給學生機會展示總結(jié)成果,經(jīng)過研討、補充得到較完整的解題方法及經(jīng)驗.

4.課后作業(yè)即第三次反復(fù)

(1)判斷方程Ax2+By2=1(A,B≠0)所表示的曲線;

(3)已知橢圓的兩個焦點分別為F1(?1,0)和F2(1,0),點A是橢圓上一點且AF2⊥F1F2.若線段AF1的中點到原點的距離為1,求橢圓的標準方程.

(4)設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,點A(1,0)是圓內(nèi)一定點,Q為圓周上任意一點,AQ的垂直平分線與CQ的連線的交點為M,求點M的軌跡方程.

完成作業(yè)后,按下列提綱總結(jié)并且寫在作業(yè)本上一起上交:

(1)已知橢圓標準方程你都能知道什么?(至少寫出四個)

(2)什么條件下你能求出橢圓標準方程?(至少寫出四個)

(3)利用橢圓定義你能解決什么問題?(至少寫出三個)

總之,若按上述方案教學,數(shù)學老師和他的學生的矛盾就可以解決.解決了矛盾就是學生學會了數(shù)學,學會了數(shù)學就是學生能像老師那樣“什么都會”或超過老師.